长沙市长郡中学2024届高三下学期模拟（一）数学试卷(含答案)

这是一份长沙市长郡中学2024届高三下学期模拟（一）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数,则复数z在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知向量,,若,则( )
A.B.1C.D.2
4．已知函数,若在上单调递增,则实数的范围是( )
A.B.C.D.
5．设集合,现对M的任意一非空子集X,令表示X中最大数与最小数之和,则所有这样的的算术平均数为( )
A.501B.500C.1002D.1001
6．若直线与曲线相切,直线与曲线相切,则的值为( )
A.1B.eC.D.
7．某校A,B,C,D,E五名学生分别上台演讲,若A须在B前面出场,且都不能在第3号位置,则不同的出场次序有( )
A.18种B.36种C.60种D.72种
8．在中,D为边BC上一点,,,,且ADC的面积为,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知双曲线，则( )
A.的取值范围是B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C.C的焦距为6D.C的离心率e的取值范围为
10．某次数学考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况,计算得到这100名学生中,成绩位于内的学生成绩方差为12,成绩位于内的同学成绩方差为10.则( )
参考公式：样本划分为2层,各层的容量､平均数和方差分别为：m、、；n、、.记样本平均数为,样本方差为,.
A.
B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
11．设函数,则以下说法中正确的是( )
A.B.
C.的图象存在对称轴D.的图象存在对称中心
三、填空题
12．已知,,,,成等比数列,且2和8为其中的两项,则的最小值为_______.
13．若正四面体ABCD的顶点都在一个表面积为的球面上,过点C且与BD平行的平面分别与棱AB,AD交于点E,F,则空间四边形BCFE的四条边长之和的最小值为______________.
14．已知O为坐标原点,过作x轴的垂线交直线于点B,C满足,过B作x轴的平行线交于点P（P在B的右侧）,若,则____________.
四、解答题
15．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.
（1）若,求的面积;
（2）若,求b.
16．如图所示,圆台的上、下底面圆半径分别为4cm和6cm,,为圆台的两条不同的母线.
（1）求证：;
（2）截面与下底面所成的夹角大小为,且截面截得圆台上底面圆的劣弧的长度为,求截面的面积.
17．面试是求职者进入职场的一个重要关口,也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工,首先要进行笔试,笔试达标者进入面试,面试环节要求应聘者回答3个问题,第一题考查对公司的了解,答对得2分,答错不得分,第二题和第三题均考查专业知识,每道题答对得4分,答错不得分.
（1）若一共有100人应聘,他们的笔试得分X服从正态分布,规定为达标,求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）;
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为,后两题答对的概率均为,每道题是否答对互不影响,求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.
附：若（）,则,,.
18．已知等轴双曲线（实轴与虚轴长相等）N的顶点分别是椭圆的左,右焦点,.
（1）求等轴双曲线N的方程;
（2）Q为该双曲线N上异于顶点的任意一点,直线和与椭圆C的交点分别为E,F和G,H,求的最小值.
19．已知函数,且与x轴相切于坐标原点.
（1）求实数a的值及的最大值;
（2）证明：当时,;
（3）判断关于x的方程实数根的个数,并证明.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：A
解析：
3．答案：B
解析：
4．答案：D
解析： , ,
若在上单调递增,则在恒成立,
令,则,,又,
故,所以问题转化为不等式在上恒成立,
即不等式在上恒成立.令,,则有,
解得.
5．答案：D
解析：可设M的非空子集为（,,,…,）,
又把这样的子集分为两类：（1）一类满足,这样的子集;
（2）另一类满足,此时可把两个非空集合与配对,易知这是两个不同的集合,且都是M的非空子集,它们的最大数与最小数之和是,所以此时非空子集的的平均数为1001.
综上,M的所有非空子集的特征数的平均数为1001.
6．答案：A
解析：设直线与曲线相切于点,直线与曲线相切于点,
则,且,所以,,且,所以,
令,则,
当时,,单调递减,当时,,单调递增,
且,,所以当时,,因为,,即,所以,,所以,故.
7．答案：B
解析：因为A在B的前面出场,且A,B都不在3号位置,则情况如下：
①A在1号位置,B有2,4,5号三种选择,有种出场次序；
②A在2号位置,B有4,5号两种选择,有种出场次序；
③A在4号位置,B有5号一种选择,有种出场次序,故不同的出场次序共有种.
故选：B.
8．答案：A
解析：因为,解得,
所以为等腰三角形,则,
在中,由正弦定理可得,解得,
因为,所以为锐角,所以,
所以
.
9．答案：AC
解析：对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；
对于B，由，可知，的焦点只能在x轴上，故B错误；
对于C，设C的半焦距为，则，，焦距为，故C正确；
对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误.
10．答案：BCD
解析：对于A选项,在频率分布直方图中,所有直方图的面积之和为1,
则,解得,A错；
对于B选项,前两个矩形的面积之和为,
前三个矩形的面积之和为,
设计该年级学生成绩的中位数为m,则,
根据中位数的定义可得,解得,
所以,估计该年级学生成绩的中位数约为77.14,B对；
对于C选项,估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为
分,C对；
对于D选项,估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为
,D对.
故选：BCD.
11．答案：ABC
解析：对于A：,,
则当时,取到最大值1,取到最小值,
此时的值最大,最大值为,而不存在最小值,所以,故A正确,
对于B：当时,,当时,,
即,所以,故B正确,
对于C：,分子分母所对应的函数的图象的对称轴都为直线,所以的图象的对称轴为,故C正确,
对于D：假设曲线存在对称中心,又由C选项知曲线存在对称轴,则函数必是周期函数,而不是周期函数,故D错误,所以正确的是ABC.
12．答案：-16
解析：
13．答案：
解析：如图,将正四面体放置到正方体中,易知正四面体外接球即正方体的外接球,
设正四面体ABCD的棱长为,所以正方体的边长为a,
易知正方体的外接球直径为体对角线DH的长,又,所以正四面体的半径,
依题有,得到,即正四面体ABCD的棱长为2,
因为平面CEF,平面平面,平面ABD,所以,
设,
因为,则,,
在中,因为,所以,
在中,,,则,
所以空间四边形BCFE的四条边长之和
,
又,当时,.
14．答案：
解析：依题意不妨设,则,,
因为,所以,
所以,又,所以,,
所以,即,设,则,,
所以,所以,,
即,所以,由得,
解得,所以,所以,
在△COP中,
所以.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,由正弦定理可知：
可化为,
故可得,又,所以,
所以,故,（*）
在中,由余弦定理可得,代入数据和（*）式可得,
所以三角形面积为.
故三角形△ABC的面积为.
（2）因为且,故代入可得,
因此,化简可得,
情况一：当时,由,化简可得,
在△ABC中,由正弦定理可得;
情况二：当时,同理,可得,又因为,故,
故b的值为.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）因为圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到,所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.可知母线与母线的延长线必交于一点,即A,,B,四点共面,
又因为圆面圆面O,且平面圆面,平面圆面,
所以.
（2）如图,分别取AB,的中点为C,,连接,,OC,
由题意可得,,
所以为截面与底面所成夹角,即,
过点作于点D,由,,得,
则（即梯形的高）,
所以.
17．答案：（1）16
（2）
解析：（1）因为X服从正态分布，所以，，，
所以.
进入面试的人数，.
因此，进入面试的人数大约为16.
（2）由题意可知，Y的可能取值为0，2，4，6，8，10，
则；
；
；
；
；
.
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由椭圆C：可得,所以等轴双曲线N的顶点为,
设等轴双曲线N为,所以,所以N的方程.
（2）设,,,,
设直线的方程为,直线的,
由得,
所以显然成立,所以,,
同理可得,,
所以,
,
联立直线和：,解得,所以,
因为Q在双曲线上,所以,解得,
所以
.
当且仅当,即时,取得最小值.
19．答案：（1）的最大值为0
（2）见解析
（3）有2个不相等的实数根
解析：（1）由题意知,且,
,
,解得,
,
,
当时,,.故,
在区间上单调递减,
.
当时,令,
则,
,,
在区间上单调递减,
则,
在区间上单调递增,
则.
综上所述,,的最大值为0.
（2）证明：,要证,即证,
记,
当时,,,
;
当时,,
记,
则,
在区间上单调递减,
则,
则在区间上单调递减,
,
综上所述,当时,.
（3）设,
,
当时,由（1）知,
故,
故在区间上无实数根.
当时,,因此0为的一个实数根.
当时,单调递减,又,,
存在,使得,
在区间上单调递增,在区间上单调递减,,
又,
在区间上有且只有一个实数根,在区间上无实数根.
当时,,
令,
,
故在区间上单调递减,,
于是恒成立.故在区间上无实数根,
综上所述,有2个不相等的实数根.