四川省泸州市纳溪区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份四川省泸州市纳溪区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的定义（根指数是2，被开方数是非负数）判断即可．
【详解】解：A．被开方数小于0，无意义，故A不是二次根式；
B．是三次根式，故B不是二次根式；
D．被开方数有可能小于0，故D不是二次根式；
只有选项C符合．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义（形如的式子叫二次根式）是解答此题的关键．
2. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义条件，根据二次根式有意义的条件可知，求出解集即可．
【详解】根据题意可知，
解得．
故选：B．
3. 下列各组数据中，能构成直角三角形的是（ ）
A. ，， B. 6，7，8C. 2，3，4D. 8，15，17
【答案】D
【解析】
【详解】A. ，故不为直角三角形；
B. 62+72≠82，故不为直角三角形；试卷源自 每日更新，不到1元，欢迎访问。C. 试卷源自 每日更新，不到1元，欢迎访问。22+32≠42，故不为直角三角形；
D. 82+152=172，故为直角三角形．
故选D．
4. 下列式子中，与为同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，据此即可判断．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意．
B、由于，所以与是同类二次根式，故B符合题意．
C、与不是同类二次根式，故C不符合题意．
D、与不是同类二次根式，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式的概念，本题属于基础题型．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】、与不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
、与不属于同类二次根式，不能运算，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
6. 如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形及平行线的性质可得，再由角平分线及等量代换得出，利用等角对等边可得，结合图形即可得出线段长度．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∵AE平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查 平行四边形及平行线的性质，利用角平分线计算，等角对等边等，理解题意，熟练运用平行四边形的性质是解题关键．
7. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形D. 当时，它是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
8. 一旗杆在其的处折断，量得米，则旗杆原来的高度为（ ）
A. 米B. 米C. 10米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】设旗杆原来高度为x米，则由题意可得AB、BC的长，由勾股定理建立方程即可求得x．
【详解】设旗杆原来高度为x米，则由题意得米，米
∵AB⊥AC
∴由勾股定理得：
即
化简得：
由算术平方根的定义得：
即旗杆的高为米．
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，由题意设未知数，勾股定理建立方程是关键．
9. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是( )
A. 9B. 10C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】如图(1)，AB=；
如图(2)，AB=．
故选B．
10. 如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点B落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握翻折变换和矩形的性质是解题的关键．
由矩形的性质和折叠的性质得出，证出，设，在中，根据勾股定理得出方程可求出，的面积即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
设，
在中，根据勾股定理得：，
即，解得：，
∴面积．
故选：B．
11. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若，则AB的长度为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】先根据正方形和等边三角形的性质证明△ADE是等腰三角形，求出∠DAE＝∠DEA，再求出∠OAF＝30°，在直角三角形OAF中即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DC＝DE，∠CDE＝∠DEC＝60°，∠DAC＝45°，AC⊥BD，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°＋60°＝150°，∠AOD＝90°，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°−150°）＝15°，∠OAF＝45°−15°＝30°，
∴AF＝2OF＝2，
∴OA＝ ＝＝，
∴AB＝OA＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定方法；根据正方形和等边三角形的性质弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
12. 如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，连接，将菱形翻折，使点落在线段上的点处，折痕交于，则线段的长为（ ）
A. B. 4C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作，交延长线于点，根据在边长为4的菱形中，，是边的中点，得到，从而得到，，进而利用锐角三角函数关系求出的长，利用勾股定理求得的长，即可得出的长．
【详解】解：如图所示，过点作，交延长线于点，
∵在边长为4的菱形中，，是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质、折叠的性质、勾股定理以及解直角三角形等知识，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，利用勾股定理计算求解．
二、填空题（每题分，共12分）
13. 要使代数式有意义，x的取值范围是__________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，根据分式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．牢记分式、二次根式成立的条件是解题的关键．
14. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法直接计算即可.
【详解】，
故答案为：
【点睛】本题是对二次根式计算的考查，熟练掌握二次根式乘法是解决本题的关键.
15. 已知直角三角形两边长分别为4和5，则第三边长为___________．
【答案】3或
【解析】
【分析】已知直角三角形两边没有明确是直角边还是斜边，分两种情况讨论．4和5分别是直角边和斜边时以及4和5都是直角边时进行求解即可．
【详解】解：①长为4的边是直角边，长为5的边是斜边时，
第三边的长为：；
②长为4、5边都是直角边时，
第三边的长为：；
∴第三边的长为：3或，
故答案为：3或．
【点睛】本题主要考查了直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，分类讨论．
16. 在菱形中，，点是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值为_______．

【答案】
【解析】
【分析】根据轴对称最短问题作法，可得P点的位置，再结合菱形的性质得出△AEE′为等边三角形，然后利用勾股定理，求出PE+PB的最小值．
【详解】作E点关于AC对称点E′，连接E′B，E′B与AC的交点即是P点，
∵菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，
∴AE′=AE=BE=1，
∴△AEE′为等边三角形，
∴∠AEE′=60°，
∴∠E′EB=120°，
∵BE=EE′，
∴∠EE′B=30°，
∴∠AE′B=90°，
BE′=，
∵PE+PB= PE′+PB =BE′，
∴PE+PB的最小值是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握菱形的性质，勾股定理以及“马饮水”模型，是解题的关键．
三、解答题（每题6分，共18分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂、去绝对值符号和二次根式，最后进行加减计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、去绝对值符号和二次根式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先算除法，化简，再算减法，即可作答．
【详解】解：



．
19. 先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【详解】解：原式=
=
=，
当时，原式==．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
四、解答题（每题7分，共14分）
20. 已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？

【答案】7200元
【解析】
【分析】连接，在中，根据勾股定理得到的长为5，根据勾股定理的逆定理得到为一直角三角形，，根据四边形由和构成，即可求解．
【详解】连接，
在中，，
在中，，
而，
即，
∴是直角三角形，，
∴
．
∴需费用（元）．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形．
21. 如图，甲乙两船从港口同时出发，甲船以15海里/时速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，4小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若、两岛相距100海里，问乙船的航速是多少？
【答案】20海里/时
【解析】
【分析】通过两船的航线角度可知，∠CAB=90°，则三角形ABC为直角三角形，可以通过勾股定理计算出AB的长度，然后求乙船的速度．
【详解】解：通过两船的航线角度可知，∠CAB=90°，则△ABC为直角三角形，又AC为甲船航行的路程，则AC=15×4=60（海里），
由，可知：
（海里），
所以乙船的航速为80÷4=20（海里/时）．
【点睛】本题考查了方位角的判断，构造出直角三角形，运用勾股定理解题，解题的关键是需要清楚勾股定理是指，直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方．
五、解答题（每题8分，共16分）
22. 如图，在中，，过点C的直线，D在边上一点．过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．

（1）求证：；
（2）当点D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）四边形是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由可知，进而可证四边形是平行四边形，进而可得；
（2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，证是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，即为中点，可知是的中位线，则，由四边形是平行四边形，可得，进而有，进而可判断四边形的形状；
【小问1详解】
证明：由题意知，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
【小问2详解】
解：四边形是菱形；理由如下：
∵在中，D在中点，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴为中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是菱形；
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，菱形的判定，中位线，等腰三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23. 6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
（1）海港受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）受影响 （2）8小时
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【小问1详解】
海港受台风影响，理由：
，，，
，
是直角三角形，；
过点作于，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受台风影响；
【小问2详解】
当，时，正好影响港口，
，
，
台风的速度为25千米小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
六、解答题（每题12分，共24分）
24. 已知：如图，在ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．
（l）若CF=2，AE=3，求BE的长；
（2）求证：．
【答案】（1）;（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，由已知，经过等量代换得到直角三角形ABE的AB长，从而由已知的AE长，应用勾股定理可求得BE的长．
（2）过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG=∠EGH，通过△CEG≌△CDF得到点G为CD的中点，从而确定GH是AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得到GA=GE，进而根据等腰三角形三线合一的性质，得∠EGH=∠AGH，从而得证．
【详解】解：（1）∵CF=2，点F为CE的中点，∴CE=4．
∵CE=CD，∴CD=4．
∵四边ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4．
∵ AE⊥BC，AE=3，∴．
（2）如图，过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG=∠EGH．
∵∠1=∠2，∠C=∠C，CE=CD，
∴△CEG≌△CDF（AAS）．∴CG=CF．
∵点F为CE的中点，∴点G为CD的中点．
∴点H为AE的中点，即GH是AE的垂直平分线．
∴GA=GE．∴∠EGH=∠AGH．
∴．
25. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q．
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）当△ABQ的面积是正方形ABCD面积的时，求DQ的长；
（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）当CP＝－4时，△ADQ是等腰三角形
【解析】
【分析】（1）两边一角 AQ=AQ，AB=AD，∠DAQ=∠BAQ=45°， 所以两个三角形全等；
（2）作 QE⊥AD于E ，根据（1）的△ADQ△ABQ可得，进而可得AD×QE＝S正方形ABCD＝，得出QE的值，最后通过勾股定理计算可得；
（3）假设△ADQ恰好为等腰三角形，则有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD，在进行分类讨论计算可得出结果．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD正方形
∴AD=AB，∠DAQ= ∠BAQ=45°
又AQ=AQ
∴△ADQ△ABQ
即 无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ△ABQ
小问2详解】
如图，作QE⊥AD于E，由（1）得△ADQ△ABQ，
∴，
∵△ABQ的面积是正方形ABCD面积的，
∴AD×QE＝S正方形ABCD＝，
∴QE＝
又∵QE⊥AD，∠DAQ= 45°，
∴∠AQE =∠DAQ= 45°，
∴ AE=QE= ，
∴DE=，
∴在Rt△DEQ中，．
【小问3详解】
若△ADQ是等腰三角形，则有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD
①当点P运动到与点B重合时，由正方形知QD＝QA此时△ADQ是等腰三角形；
②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；
③如图，
设点P在BC边上运动到CP＝时，有AD＝AQ
∵ADBC
∴∠ADQ＝∠CPQ．
又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，
∴∠CQP＝∠CPQ．
∴CQ＝CP＝．
∵AC＝，AQ＝AD＝4．
∴＝CQ＝AC－AQ＝－4．
即当CP＝－4时，△ADQ是等腰三角形．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是（3）中要注意分类讨论的思想．