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2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数——阿氏圆、胡不归问题专项训练（含答案）
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这是一份2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数——阿氏圆、胡不归问题专项训练（含答案），共58页。试卷主要包含了 已知等内容，欢迎下载使用。
课中讲解
模型来源
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.
模型建立
如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知，连接 PA、PB，则当“”的值最小时，P 点的位置如何确定？
解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
技巧总结
计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：
如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
计算出这两条线段的长度比
在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，
则，
则，当A、P、C三点共线时可得最小值
例1. 已知：如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为顶点．
（1）求抛物线解析式及点的坐标；
（2）若直线过点，为直线上的动点，当以、、为顶点所作的直角三角形有．且只有三个时，求直线的解析式；
（3）如图2，为的中点，将线段绕点顺时针旋转得到，旋转角为，连接、，当取得最小值时，求直线与抛物线的交点坐标．
例2. 如图，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，连接、、，已知，．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）过点作，垂足为，点为轴上的动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
（3）若将（2）的线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．
过关检测
1.如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点，交轴正半轴于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第一象限内，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值及此时动点的坐标；
（3）将点绕原点旋转得点，连接、，在旋转过程中，一动点从点出发，沿线段以每秒3个单位的速度运动到，再沿线段以每秒1个单位长度的速度运动到后停止，求点在整个运动过程中用时最少是多少？
2.如图，抛物线与轴交于A、C两点，与轴交于B点，直线AB的函数关系式为．
（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；
（2）已知点M是线段OA上的一个动点，过点M作轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，的最小值．
学习任务
1. 如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴于点．点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（3）①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以，，，为顶点的四边形是矩形？求出此时点，的坐标；
②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求它的最小值．
2. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点．
（1）求的值和直线的函数表达式；
（2）设的周长为，的周长为，若，求的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．
胡不归问题
课中讲解
故事介绍
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
模型建立
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1问题分析
，记，即求BC+kAC的最小值．
问题解决
构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
模型总结
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．
例1. 如图，抛物线与轴交于、两点，过的直线交抛物线于，且，有一只蚂蚁从出发，先以1单位的速度爬到线段上的点处，再以1.25单位的速度沿着爬到点处觅食，则蚂蚁从到的最短时间是 ．
过关检测
1. 如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．
（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；
（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其对称轴与轴交于点
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若为轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ；
（3）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，则这样的点共有 个；
3.直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使的值最小，则满足条件的点F的坐标是 ．
学习任务
1. 如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？
2. 如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点在第一象限内，点是二次函数图象的顶点，点是一次函数的图象与轴的交点，过点作轴的垂线，垂足为，且．
（1）求直线和直线的解析式；
（2）点是线段上一点，点是线段上一点，轴，射线与抛物线交于点，过点作轴于点，于点．当与的乘积最大时，在线段上找一点（不与点，点重合），使的值最小，求点的坐标和的最小值；
3.已知抛物线，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D。
（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为 。
（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标。
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？
2024成都中考数学二轮复习专题
二次函数——阿氏圆、胡不归问题专项训练（解析版）
课中讲解
模型来源
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.
模型建立
如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知，连接 PA、PB，则当“”的值最小时，P 点的位置如何确定？
解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
技巧总结
计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：
如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
计算出这两条线段的长度比
在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，
则，
则，当A、P、C三点共线时可得最小值
例1. 已知：如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为顶点．
（1）求抛物线解析式及点的坐标；
（2）若直线过点，为直线上的动点，当以、、为顶点所作的直角三角形有．且只有三个时，求直线的解析式；
（3）如图2，为的中点，将线段绕点顺时针旋转得到，旋转角为，连接、，当取得最小值时，求直线与抛物线的交点坐标．
【分析】（1）由抛物线的交点式可知抛物线的解析式为，通过整理可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可得到抛物线的定点坐标；
（2）过点、分别作轴的垂线，这两条垂线与直线总是有交点的，即2个点．以为直径的如果与直线相交，那么就有2个点；如果圆与直线相切，就只有1个点了，以为直径作，作与相切，则，过作，先求得点的坐标，于是可求得的解析式，由图形的对称性可知点的坐标还可以是，，然后可求得另一种情况；（2问优秀，建议讲解）
（3）取使，连接，接下来，证明△，从而可得到，故此当、、在一条直线上时，有最小值，最后，依据勾股定理求得的长度即可．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点，
．
，抛物线的顶点坐标为．
（2）过点、分别作轴的垂线，这两条垂线与直线总是有交点的，即2个点．
以为直径的如果与直线相交，那么就有2个点；如果圆与直线相切，就只有1个点了．
如图所示：以为直径作，作与相切，则，过作．
，，．．
又，．，，
．点的坐标为，．
设的解析式为，则，解得：，，
直线的解析式为．
由图形的对称性可知：当直线经过点，时，直线与相切，则，解得：，，
直线的解析式为．
综上所述，直线的解析式为或．
（3）如图所示：取使，连接．
，，，，．
又，△，．．
，
当、、在一条直线上时，有最小值，
直线的解析式为，
由，解得或，
直线与抛物线的交点坐标为，．
【点评】本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是确定出取得最小值的条件．
6. 如图，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，连接、、，已知，．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）过点作，垂足为，点为轴上的动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
（3）若将（2）的线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．
【分析】（1）根据，，求出点坐标，以及点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（2），由，，推出当或时，与相似；
（3）如图，取，．连接，．由△，推出，推出，推出，由，推出的最小值就是线段的长；
【解答】解：（1）过点作轴于点，
，，，，，
点坐标为：，点坐标为：，
将两点代入得：，解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）如图，
，，，，
，，
，，
当或时，与相似，
，，
点坐标为或．
（3）如图，取，．连接，．
，，
△，，，
，
，
的最小值就是线段的长，最小值为．
过关检测
1.如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点，交轴正半轴于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第一象限内，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值及此时动点的坐标；
（3）将点绕原点旋转得点，连接、，在旋转过程中，一动点从点出发，沿线段以每秒3个单位的速度运动到，再沿线段以每秒1个单位长度的速度运动到后停止，求点在整个运动过程中用时最少是多少？
【分析】（1）根据题意可以求得点的坐标，从而可以求得抛物线的解析式；
（2）根据题意可以求得点的坐标，然后根据题意和图形可以用含的代数式表示出，然后将其化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；
（3）根据题意作出点，然后利用三角形相似和勾股定理、两点之间线段最短即可求得的最小值．
【解答】解：（1）将代入，得，点的坐标为，
抛物线经过点，，得，
抛物线的解析式为：；
（2）将代入，得，，点的坐标为，
点是抛物线上的一个动点，并且点在第一象限内，点的横坐标为，
，点的坐标为，
将代入，得，点的坐标，的面积为，
，
化简，得，
当时，取得最大值，此时，此时点的坐标为，，
即与的函数表达式是，的最大值是，此时动点的坐标是，；
（3）如右图所示，取点的坐标为，连接、，
，，，△，，即，
，，
即点在整个运动过程中用时最少是秒．
2.如图，抛物线与轴交于A、C两点，与轴交于B点，直线AB的函数关系式为．
（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；
（2）已知点M是线段OA上的一个动点，过点M作轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，的最小值．
学习任务
1. 如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴于点．点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（3）①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以，，，为顶点的四边形是矩形？求出此时点，的坐标；
②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求它的最小值．
【解答】解：（1）点，在抛物线上，
，，抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为过点，，
，，直线的解析式为，
设，，
四边形是平行四边形，，
， ．
（3）①如图1，
由（2）知，直线的解析式为，设，
直线，，
设，
以点，，，为顶点的四边形是矩形，
直线的解析式为，直线，
，为对角线，与互相平分，
，，
，，．；
②如图2，
由①知，，，，
，，
设交于，取的中点，，
连接交于，连接，
，，
，，，
，，，
的最小值，
设点，
，，
，，或（由于，所以舍去），
，，
，，
即：．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是利用平行四边形的对边相等建立方程求解，解（3）①的关键是利用中点坐标公式建立方程求解，解（3）②的关键是构造相似三角形，是一道中等难度的题目．
2. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点．
（1）求的值和直线的函数表达式；
（2）设的周长为，的周长为，若，求的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．
【分析】（1）令，求出抛物线与轴交点，列出方程即可求出，根据待定系数法可以确定直线解析式．
（2）由，推出，列出方程即可解决问题．
（3）在轴上 取一点使得，构造相似三角形，可以证明就是的最小值．
【解答】解：（1）令，则，，或，
抛物线与轴交于点，，．
，，设直线解析式为，则，解得，
直线解析式为．
（2）如图1中，
，，，，
，，，，，
抛物线解析式为，
，，解得或4，
经检验是分式方程的增根，．
（3）如图2中，在轴上 取一点使得，连接，在上取一点使得．
，，，，，△△，，，
，此时最小（两点间线段最短，、、共线时）， 最小值．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段就是的最小值，属于中考压轴题．
胡不归问题
课中讲解
故事介绍
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
模型建立
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1问题分析
，记，即求BC+kAC的最小值．
问题解决
构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
模型总结
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．
例1. 如图，抛物线与轴交于、两点，过的直线交抛物线于，且，有一只蚂蚁从出发，先以1单位的速度爬到线段上的点处，再以1.25单位的速度沿着爬到点处觅食，则蚂蚁从到的最短时间是 ．
【分析】过点作轴的平行线，再过点作轴的平行线，两线相交于点，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到，设，，则，则可判断蚂蚁从爬到点所用的时间等于从爬到点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从出发，先以1单位的速度爬到线段上的点处，再以1.25单位的速度沿着爬到点所用时间等于它从以1单位的速度爬到点，再从点以1单位速度爬到点的时间，利用两点之间线段最短得到的最小值为的长，接着求出点和点坐标，再利用待定系数法求出的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定点坐标，从而得到的长，然后计算爬行的时间．
【解答】解：过点作轴的平行线，再过点作轴的平行线，两线相交于点，如图，
，，，
设，，则，蚂蚁从爬到点的时间
若设蚂蚁从爬到点的速度为1单位，则蚂蚁从爬到点的时间，
蚂蚁从爬到点所用的时间等于从爬到点所用的时间相等，
蚂蚁从出发，先以1单位的速度爬到线段上的点处，再以1.25单位的速度沿着爬到点所用时间等于它从以1单位的速度爬到点，再从点以1单位速度爬到点的时间，
作于，则，的最小值为的长，
当时，，解得，，则，，
直线交轴于点，如图，在中，， ，则，
设直线的解析式为，把，代入得，解得，
直线的解析式为，
解方程组得或，则点坐标为，，，
蚂蚁从爬到点的时间，即蚂蚁从到的最短时间为．
【点评】本题考查了二次函数与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标化为解关于的一元二次方程．解决本题的关键是确定蚂蚁在和上爬行的时间相等．
过关检测
1. 如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．
（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；
（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
【分析】（1）首先求出点、坐标，然后求出直线的解析式，求得点坐标，代入抛物线解析式，求得的值；
（2）因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是或．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；
（3）由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：．如答图3，作辅助线，将转化为；再由垂线段最短，得到垂线段与直线的交点，即为所求的点．
【解答】解：（1）抛物线，令，解得或，，．
直线经过点，，解得，
直线解析式为：．当时，，，．
点，在抛物线上，
，．
抛物线的函数表达式为：．即．
（2）由抛物线解析式，令，得，，．
因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是或．
①若，则有，如答图所示．
设，过点作轴于点，则，．
，即：，．
，代入抛物线解析式，
得，整理得：，
解得：或（与点重合，舍去），．
，，即，解得：．
②若，则有，如答图所示．
设，过点作轴于点，则，．
，即：，
．
，代入抛物线解析式，
得，整理得：，
解得：或（与点重合，舍去），．
，，
，解得，
，，
综上所述，或．
（3）方法一：
如答图3，由（1）知：，，
如答图，过点作轴于点，则，，，
，．
过点作轴，则．
过点作于点，则．
由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，
，即运动的时间值等于折线的长度值．
由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．
过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点．
点横坐标为，直线解析式为：，
，，．
综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少．
方法二：
作，，交直线于点，
，
，
，
当且仅当时，最小，
点在整个运动中用时为：，
，
，．
【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．
例2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其对称轴与轴交于点
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若为轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ；
（3）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，则这样的点共有 个；
【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．
（2）如图1中，连接，作于，交于，此时最小．最小值就是线段，求出即可．
（3）①先在对称轴上寻找满足是等腰三角形的点，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意解得，
抛物线解析式为，
，顶点坐标，．
（2）如图1中，连接，作于，交于，
此时最小．
理由：，，，
，，
，
此时最短（垂线段最短）．
在中，，，，，
，
的最小值为．故答案为．
（3）①以为圆心为半径画弧与对称轴有两个交点，
以为圆心为半径画弧与对称轴也有两个交点，
线段的垂直平分线与对称轴有一个交点，
所以满足条件的点有5个，即满足条件的点也有5个，
故答案为5．
.
例3.直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使的值最小，则满足条件的点F的坐标是 ．
【解答】解：（1）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的对称轴为x＝3，
令x＝3，则有y＝×3＝4，即点C的坐标为（3，4）．
抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的顶点D的坐标为（3，﹣4m+3），
∵点D在点C的下方，∴CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．
（2）∵点B在直线y＝上，且其横坐标为t，
则点B的坐标为（t，t），将点B的坐标代入抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，得：
t＝（t﹣3）2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．
（3）①依照题意画出图形，如图1所示．
过点C作CE∥x轴，过点B作BE∥y轴交CE于点E．
∵直线BC的解析式为y＝x，∴BE＝CE，
由勾股定理得：BC＝＝CE．
∵CD＝CB，
∴有4m+1＝（t﹣3）＝（+﹣3），解得：m＝﹣4，或m＝1．
当m＝﹣4时，+4×（﹣4）＝﹣＜0，不合适，
∴m＝1，此时t＝+＝6，y＝×6＝8．故此时点B的坐标为（6，8）．
②作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM⊥BC于点M，连接B′M、BB交抛物线对称轴于点N，如图2所示．
∵直线BC的解析式为y＝x，FM⊥BC，
∴tan∠FCM＝＝，∴sin∠FCM＝．
∵B、B′关于对称轴对称，∴BF＝B′F，
∴BF+CF＝B′F+FM．
当点B′、F、M三点共线时B′F+FM最小．
∵B点坐标为（6，8），抛物线对称轴为x＝3，
∴B′点的坐标为（0，8）．
又∵B′M⊥BC，∴tan∠NB′F＝，
∴NF＝B′N•tan∠NB′F＝，
∴点F的坐标为（3，）．故答案为：（3，）．
学习任务
1. 如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？
【分析】（Ⅰ）只需把、两点的坐标代入，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线与抛物线的交点的坐标，利用勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，从而得到，然后根据三角函数的定义就可求出的值；
（Ⅱ）（1）过点作轴于，则．设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则，易得．若点在点的下方，①当时，．此时可证得，根据相似三角形的性质可得．则有，然后把代入抛物线的解析式，就可求出点的坐标②当时，，同理，可求出点的坐标；若点在点的上方，同理，可求出点的坐标；（2）过点作轴于，如图3．易得，则点在整个运动中所用的时间可表示为．作点关于的对称点，连接，则有，，，从而可得，．根据两点之间线段最短可得：当、、三点共线时，最小．此时可证到四边形是矩形，从而有，．然后求出点的坐标，从而得到、、的值，即可得到点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）把，代入，得
，解得：．抛物线的解析式为
联立，解得：或，点的坐标为．
如图1．
，，，
，，，
，是直角三角形，
，
；
（Ⅱ）方法一：
（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．
过点作轴于，则．
设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．
，，．
若点在点的下方，
①如图2①，当时，则．
，，
，．．则．
把代入，得
，整理得：
解得：（舍去），（舍去）．
②如图2②，当时，则．
同理可得：，则，
把代入，得
，整理得：
解得：（舍去），，，；
若点在点的上方，
①当时，则，
同理可得：点的坐标为．
②当时，则．
同理可得：点的坐标为，．
综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；
方法二：
作的“外接矩形” ，易证，，
以，，为顶点的三角形与相似，
或，
设，，，
①，，，，
②，，，（舍，
满足题意的点的坐标为、，、，；
（2）方法一：
过点作轴于，如图3．
在中，，即，
点在整个运动中所用的时间为．
作点关于的对称点，连接，
则有，，，
，．
根据两点之间线段最短可得：
当、、三点共线时，最小．
此时，，
四边形是矩形，，．
对于，
当时，有，解得：，．
，，
，
，点的坐标为．
方法二：
作点关于的对称点，交于点，显然，
作轴，垂足为，交直线于点，如图4，
在中，，即，
当、、三点共线时，最小，
，，，，，
，，
，，，，
为的中点，，
，．
方法三：如图，5，过作射线轴，过作射线轴，与交于点．
，，．
，，，
，．．
当且仅当时，取得最小值，点在整个运动中用时最少为：，
抛物线的解析式为，且，
可求得点坐标为
则点横坐标为2，将代入，得．
所以．
2. 如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点在第一象限内，点是二次函数图象的顶点，点是一次函数的图象与轴的交点，过点作轴的垂线，垂足为，且．
（1）求直线和直线的解析式；
（2）点是线段上一点，点是线段上一点，轴，射线与抛物线交于点，过点作轴于点，于点．当与的乘积最大时，在线段上找一点（不与点，点重合），使的值最小，求点的坐标和的最小值；
【分析】（1）根据，求出三角形相似的相似比为，从而求出，继而求出点的坐标，用待定系数法求出直线解析式．
（2）先判断出最大时，也最大，再求出最大时，再简单的计算即可；
【解答】解：（1）点是二次函数图象的顶点，，
轴，轴，，
，，，
，
把代入二次函数解析式中，可得，
（舍，，
的坐标为，直线解析式为，
，，直线解析式为．
（2）如图1，
设点，，，，
，，
固定不变，的值固定，
最大时，也最大，
，
当时，最大，
即：最大．此时
是等腰直角三角形，
过作轴的平行线，，
的最小值转化为求的最小值，
当和在一条直线上时，的值最小，
此时，最小值为
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，解本题的关键是相似三角形的性质的运用．
9.已知抛物线，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D。
（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为 。
（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标。
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？
课中讲解
模型来源
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.
模型建立
如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知，连接 PA、PB，则当“”的值最小时，P 点的位置如何确定？
解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
技巧总结
计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：
如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
计算出这两条线段的长度比
在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，
则，
则，当A、P、C三点共线时可得最小值
例1. 已知：如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为顶点．
（1）求抛物线解析式及点的坐标；
（2）若直线过点，为直线上的动点，当以、、为顶点所作的直角三角形有．且只有三个时，求直线的解析式；
（3）如图2，为的中点，将线段绕点顺时针旋转得到，旋转角为，连接、，当取得最小值时，求直线与抛物线的交点坐标．
例2. 如图，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，连接、、，已知，．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）过点作，垂足为，点为轴上的动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
（3）若将（2）的线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．
过关检测
1.如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点，交轴正半轴于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第一象限内，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值及此时动点的坐标；
（3）将点绕原点旋转得点，连接、，在旋转过程中，一动点从点出发，沿线段以每秒3个单位的速度运动到，再沿线段以每秒1个单位长度的速度运动到后停止，求点在整个运动过程中用时最少是多少？
2.如图，抛物线与轴交于A、C两点，与轴交于B点，直线AB的函数关系式为．
（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；
（2）已知点M是线段OA上的一个动点，过点M作轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，的最小值．
学习任务
1. 如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴于点．点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（3）①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以，，，为顶点的四边形是矩形？求出此时点，的坐标；
②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求它的最小值．
2. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点．
（1）求的值和直线的函数表达式；
（2）设的周长为，的周长为，若，求的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．
胡不归问题
课中讲解
故事介绍
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
模型建立
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1
，记，即求BC+kAC的最小值．
问题解决
构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
模型总结
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．
例1. 如图，抛物线与轴交于、两点，过的直线交抛物线于，且，有一只蚂蚁从出发，先以1单位的速度爬到线段上的点处，再以1.25单位的速度沿着爬到点处觅食，则蚂蚁从到的最短时间是 ．
过关检测
1. 如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．
（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；
（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其对称轴与轴交于点
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若为轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ；
（3）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，则这样的点共有 个；
3.直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使的值最小，则满足条件的点F的坐标是 ．
学习任务
1. 如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？
2. 如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点在第一象限内，点是二次函数图象的顶点，点是一次函数的图象与轴的交点，过点作轴的垂线，垂足为，且．
（1）求直线和直线的解析式；
（2）点是线段上一点，点是线段上一点，轴，射线与抛物线交于点，过点作轴于点，于点．当与的乘积最大时，在线段上找一点（不与点，点重合），使的值最小，求点的坐标和的最小值；
3.已知抛物线，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D。
（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为 。
（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标。
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？
2024成都中考数学二轮复习专题
二次函数——阿氏圆、胡不归问题专项训练（解析版）
课中讲解
模型来源
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.
模型建立
如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知，连接 PA、PB，则当“”的值最小时，P 点的位置如何确定？
解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC=R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。故本题求“PA+PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
技巧总结
计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：
如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
计算出这两条线段的长度比
在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，
则，
则，当A、P、C三点共线时可得最小值
例1. 已知：如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为顶点．
（1）求抛物线解析式及点的坐标；
（2）若直线过点，为直线上的动点，当以、、为顶点所作的直角三角形有．且只有三个时，求直线的解析式；
（3）如图2，为的中点，将线段绕点顺时针旋转得到，旋转角为，连接、，当取得最小值时，求直线与抛物线的交点坐标．
【分析】（1）由抛物线的交点式可知抛物线的解析式为，通过整理可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可得到抛物线的定点坐标；
（2）过点、分别作轴的垂线，这两条垂线与直线总是有交点的，即2个点．以为直径的如果与直线相交，那么就有2个点；如果圆与直线相切，就只有1个点了，以为直径作，作与相切，则，过作，先求得点的坐标，于是可求得的解析式，由图形的对称性可知点的坐标还可以是，，然后可求得另一种情况；（2问优秀，建议讲解）
（3）取使，连接，接下来，证明△，从而可得到，故此当、、在一条直线上时，有最小值，最后，依据勾股定理求得的长度即可．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点，
．
，抛物线的顶点坐标为．
（2）过点、分别作轴的垂线，这两条垂线与直线总是有交点的，即2个点．
以为直径的如果与直线相交，那么就有2个点；如果圆与直线相切，就只有1个点了．
如图所示：以为直径作，作与相切，则，过作．
，，．．
又，．，，
．点的坐标为，．
设的解析式为，则，解得：，，
直线的解析式为．
由图形的对称性可知：当直线经过点，时，直线与相切，则，解得：，，
直线的解析式为．
综上所述，直线的解析式为或．
（3）如图所示：取使，连接．
，，，，．
又，△，．．
，
当、、在一条直线上时，有最小值，
直线的解析式为，
由，解得或，
直线与抛物线的交点坐标为，．
【点评】本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是确定出取得最小值的条件．
6. 如图，顶点为的抛物线经过点和轴正半轴上的点，连接、、，已知，．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）过点作，垂足为，点为轴上的动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
（3）若将（2）的线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．
【分析】（1）根据，，求出点坐标，以及点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（2），由，，推出当或时，与相似；
（3）如图，取，．连接，．由△，推出，推出，推出，由，推出的最小值就是线段的长；
【解答】解：（1）过点作轴于点，
，，，，，
点坐标为：，点坐标为：，
将两点代入得：，解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）如图，
，，，，
，，
，，
当或时，与相似，
，，
点坐标为或．
（3）如图，取，．连接，．
，，
△，，，
，
，
的最小值就是线段的长，最小值为．
过关检测
1.如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点，交轴正半轴于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第一象限内，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值及此时动点的坐标；
（3）将点绕原点旋转得点，连接、，在旋转过程中，一动点从点出发，沿线段以每秒3个单位的速度运动到，再沿线段以每秒1个单位长度的速度运动到后停止，求点在整个运动过程中用时最少是多少？
【分析】（1）根据题意可以求得点的坐标，从而可以求得抛物线的解析式；
（2）根据题意可以求得点的坐标，然后根据题意和图形可以用含的代数式表示出，然后将其化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；
（3）根据题意作出点，然后利用三角形相似和勾股定理、两点之间线段最短即可求得的最小值．
【解答】解：（1）将代入，得，点的坐标为，
抛物线经过点，，得，
抛物线的解析式为：；
（2）将代入，得，，点的坐标为，
点是抛物线上的一个动点，并且点在第一象限内，点的横坐标为，
，点的坐标为，
将代入，得，点的坐标，的面积为，
，
化简，得，
当时，取得最大值，此时，此时点的坐标为，，
即与的函数表达式是，的最大值是，此时动点的坐标是，；
（3）如右图所示，取点的坐标为，连接、，
，，，△，，即，
，，
即点在整个运动过程中用时最少是秒．
2.如图，抛物线与轴交于A、C两点，与轴交于B点，直线AB的函数关系式为．
（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；
（2）已知点M是线段OA上的一个动点，过点M作轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，的最小值．
学习任务
1. 如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴于点．点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（3）①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以，，，为顶点的四边形是矩形？求出此时点，的坐标；
②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求它的最小值．
【解答】解：（1）点，在抛物线上，
，，抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为过点，，
，，直线的解析式为，
设，，
四边形是平行四边形，，
， ．
（3）①如图1，
由（2）知，直线的解析式为，设，
直线，，
设，
以点，，，为顶点的四边形是矩形，
直线的解析式为，直线，
，为对角线，与互相平分，
，，
，，．；
②如图2，
由①知，，，，
，，
设交于，取的中点，，
连接交于，连接，
，，
，，，
，，，
的最小值，
设点，
，，
，，或（由于，所以舍去），
，，
，，
即：．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是利用平行四边形的对边相等建立方程求解，解（3）①的关键是利用中点坐标公式建立方程求解，解（3）②的关键是构造相似三角形，是一道中等难度的题目．
2. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点．
（1）求的值和直线的函数表达式；
（2）设的周长为，的周长为，若，求的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．
【分析】（1）令，求出抛物线与轴交点，列出方程即可求出，根据待定系数法可以确定直线解析式．
（2）由，推出，列出方程即可解决问题．
（3）在轴上 取一点使得，构造相似三角形，可以证明就是的最小值．
【解答】解：（1）令，则，，或，
抛物线与轴交于点，，．
，，设直线解析式为，则，解得，
直线解析式为．
（2）如图1中，
，，，，
，，，，，
抛物线解析式为，
，，解得或4，
经检验是分式方程的增根，．
（3）如图2中，在轴上 取一点使得，连接，在上取一点使得．
，，，，，△△，，，
，此时最小（两点间线段最短，、、共线时）， 最小值．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段就是的最小值，属于中考压轴题．
胡不归问题
课中讲解
故事介绍
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
模型建立
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1
，记，即求BC+kAC的最小值．
问题解决
构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC．
将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
模型总结
在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．
例1. 如图，抛物线与轴交于、两点，过的直线交抛物线于，且，有一只蚂蚁从出发，先以1单位的速度爬到线段上的点处，再以1.25单位的速度沿着爬到点处觅食，则蚂蚁从到的最短时间是 ．
【分析】过点作轴的平行线，再过点作轴的平行线，两线相交于点，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义得到，设，，则，则可判断蚂蚁从爬到点所用的时间等于从爬到点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从出发，先以1单位的速度爬到线段上的点处，再以1.25单位的速度沿着爬到点所用时间等于它从以1单位的速度爬到点，再从点以1单位速度爬到点的时间，利用两点之间线段最短得到的最小值为的长，接着求出点和点坐标，再利用待定系数法求出的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定点坐标，从而得到的长，然后计算爬行的时间．
【解答】解：过点作轴的平行线，再过点作轴的平行线，两线相交于点，如图，
，，，
设，，则，蚂蚁从爬到点的时间
若设蚂蚁从爬到点的速度为1单位，则蚂蚁从爬到点的时间，
蚂蚁从爬到点所用的时间等于从爬到点所用的时间相等，
蚂蚁从出发，先以1单位的速度爬到线段上的点处，再以1.25单位的速度沿着爬到点所用时间等于它从以1单位的速度爬到点，再从点以1单位速度爬到点的时间，
作于，则，的最小值为的长，
当时，，解得，，则，，
直线交轴于点，如图，在中，， ，则，
设直线的解析式为，把，代入得，解得，
直线的解析式为，
解方程组得或，则点坐标为，，，
蚂蚁从爬到点的时间，即蚂蚁从到的最短时间为．
【点评】本题考查了二次函数与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标化为解关于的一元二次方程．解决本题的关键是确定蚂蚁在和上爬行的时间相等．
过关检测
1. 如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．
（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；
（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
【分析】（1）首先求出点、坐标，然后求出直线的解析式，求得点坐标，代入抛物线解析式，求得的值；
（2）因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是或．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；
（3）由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：．如答图3，作辅助线，将转化为；再由垂线段最短，得到垂线段与直线的交点，即为所求的点．
【解答】解：（1）抛物线，令，解得或，，．
直线经过点，，解得，
直线解析式为：．当时，，，．
点，在抛物线上，
，．
抛物线的函数表达式为：．即．
（2）由抛物线解析式，令，得，，．
因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是或．
①若，则有，如答图所示．
设，过点作轴于点，则，．
，即：，．
，代入抛物线解析式，
得，整理得：，
解得：或（与点重合，舍去），．
，，即，解得：．
②若，则有，如答图所示．
设，过点作轴于点，则，．
，即：，
．
，代入抛物线解析式，
得，整理得：，
解得：或（与点重合，舍去），．
，，
，解得，
，，
综上所述，或．
（3）方法一：
如答图3，由（1）知：，，
如答图，过点作轴于点，则，，，
，．
过点作轴，则．
过点作于点，则．
由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，
，即运动的时间值等于折线的长度值．
由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．
过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点．
点横坐标为，直线解析式为：，
，，．
综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少．
方法二：
作，，交直线于点，
，
，
，
当且仅当时，最小，
点在整个运动中用时为：，
，
，．
【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．
例2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，，其对称轴与轴交于点
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若为轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ；
（3）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，则这样的点共有 个；
【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．
（2）如图1中，连接，作于，交于，此时最小．最小值就是线段，求出即可．
（3）①先在对称轴上寻找满足是等腰三角形的点，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意解得，
抛物线解析式为，
，顶点坐标，．
（2）如图1中，连接，作于，交于，
此时最小．
理由：，，，
，，
，
此时最短（垂线段最短）．
在中，，，，，
，
的最小值为．故答案为．
（3）①以为圆心为半径画弧与对称轴有两个交点，
以为圆心为半径画弧与对称轴也有两个交点，
线段的垂直平分线与对称轴有一个交点，
所以满足条件的点有5个，即满足条件的点也有5个，
故答案为5．
.
例3.直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使的值最小，则满足条件的点F的坐标是 ．
【解答】解：（1）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的对称轴为x＝3，
令x＝3，则有y＝×3＝4，即点C的坐标为（3，4）．
抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的顶点D的坐标为（3，﹣4m+3），
∵点D在点C的下方，∴CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．
（2）∵点B在直线y＝上，且其横坐标为t，
则点B的坐标为（t，t），将点B的坐标代入抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，得：
t＝（t﹣3）2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．
（3）①依照题意画出图形，如图1所示．
过点C作CE∥x轴，过点B作BE∥y轴交CE于点E．
∵直线BC的解析式为y＝x，∴BE＝CE，
由勾股定理得：BC＝＝CE．
∵CD＝CB，
∴有4m+1＝（t﹣3）＝（+﹣3），解得：m＝﹣4，或m＝1．
当m＝﹣4时，+4×（﹣4）＝﹣＜0，不合适，
∴m＝1，此时t＝+＝6，y＝×6＝8．故此时点B的坐标为（6，8）．
②作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM⊥BC于点M，连接B′M、BB交抛物线对称轴于点N，如图2所示．
∵直线BC的解析式为y＝x，FM⊥BC，
∴tan∠FCM＝＝，∴sin∠FCM＝．
∵B、B′关于对称轴对称，∴BF＝B′F，
∴BF+CF＝B′F+FM．
当点B′、F、M三点共线时B′F+FM最小．
∵B点坐标为（6，8），抛物线对称轴为x＝3，
∴B′点的坐标为（0，8）．
又∵B′M⊥BC，∴tan∠NB′F＝，
∴NF＝B′N•tan∠NB′F＝，
∴点F的坐标为（3，）．故答案为：（3，）．
学习任务
1. 如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？
【分析】（Ⅰ）只需把、两点的坐标代入，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线与抛物线的交点的坐标，利用勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，从而得到，然后根据三角函数的定义就可求出的值；
（Ⅱ）（1）过点作轴于，则．设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则，易得．若点在点的下方，①当时，．此时可证得，根据相似三角形的性质可得．则有，然后把代入抛物线的解析式，就可求出点的坐标②当时，，同理，可求出点的坐标；若点在点的上方，同理，可求出点的坐标；（2）过点作轴于，如图3．易得，则点在整个运动中所用的时间可表示为．作点关于的对称点，连接，则有，，，从而可得，．根据两点之间线段最短可得：当、、三点共线时，最小．此时可证到四边形是矩形，从而有，．然后求出点的坐标，从而得到、、的值，即可得到点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）把，代入，得
，解得：．抛物线的解析式为
联立，解得：或，点的坐标为．
如图1．
，，，
，，，
，是直角三角形，
，
；
（Ⅱ）方法一：
（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．
过点作轴于，则．
设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．
，，．
若点在点的下方，
①如图2①，当时，则．
，，
，．．则．
把代入，得
，整理得：
解得：（舍去），（舍去）．
②如图2②，当时，则．
同理可得：，则，
把代入，得
，整理得：
解得：（舍去），，，；
若点在点的上方，
①当时，则，
同理可得：点的坐标为．
②当时，则．
同理可得：点的坐标为，．
综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；
方法二：
作的“外接矩形” ，易证，，
以，，为顶点的三角形与相似，
或，
设，，，
①，，，，
②，，，（舍，
满足题意的点的坐标为、，、，；
（2）方法一：
过点作轴于，如图3．
在中，，即，
点在整个运动中所用的时间为．
作点关于的对称点，连接，
则有，，，
，．
根据两点之间线段最短可得：
当、、三点共线时，最小．
此时，，
四边形是矩形，，．
对于，
当时，有，解得：，．
，，
，
，点的坐标为．
方法二：
作点关于的对称点，交于点，显然，
作轴，垂足为，交直线于点，如图4，
在中，，即，
当、、三点共线时，最小，
，，，，，
，，
，，，，
为的中点，，
，．
方法三：如图，5，过作射线轴，过作射线轴，与交于点．
，，．
，，，
，．．
当且仅当时，取得最小值，点在整个运动中用时最少为：，
抛物线的解析式为，且，
可求得点坐标为
则点横坐标为2，将代入，得．
所以．
2. 如图1，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，点在第一象限内，点是二次函数图象的顶点，点是一次函数的图象与轴的交点，过点作轴的垂线，垂足为，且．
（1）求直线和直线的解析式；
（2）点是线段上一点，点是线段上一点，轴，射线与抛物线交于点，过点作轴于点，于点．当与的乘积最大时，在线段上找一点（不与点，点重合），使的值最小，求点的坐标和的最小值；
【分析】（1）根据，求出三角形相似的相似比为，从而求出，继而求出点的坐标，用待定系数法求出直线解析式．
（2）先判断出最大时，也最大，再求出最大时，再简单的计算即可；
【解答】解：（1）点是二次函数图象的顶点，，
轴，轴，，
，，，
，
把代入二次函数解析式中，可得，
（舍，，
的坐标为，直线解析式为，
，，直线解析式为．
（2）如图1，
设点，，，，
，，
固定不变，的值固定，
最大时，也最大，
，
当时，最大，
即：最大．此时
是等腰直角三角形，
过作轴的平行线，，
的最小值转化为求的最小值，
当和在一条直线上时，的值最小，
此时，最小值为
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，解本题的关键是相似三角形的性质的运用．
9.已知抛物线，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线的另一个交点为D。
（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为 。
（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标。
（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE，一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？
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