押题01 第19题 导数及其应用（十二大题型）（原卷版）-冲刺2024年高考数学考点押题模拟预测卷（新高考专用）

这是一份押题01 第19题 导数及其应用（十二大题型）（原卷版）-冲刺2024年高考数学考点押题模拟预测卷（新高考专用），共10页。试卷主要包含了证明，已知函数和有相同的最小值，已知函数，已知函数.，已知，且0为的一个极值点，已知函数，其中等内容，欢迎下载使用。

1．（2023·全国·高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
2．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
3．（2022·全国·高考真题）已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
4．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：．
5．（2021·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
6．（2021·全国·高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
题型1：新定义题与导数
1．（2024·湖北·二模）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．
(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
(2)已知函数，其中．
①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；
②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
2．（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)，，矩阵，求使的的最小值.
(2)，，，矩阵求.
(3)矩阵，证明：，，.
3．（2024·广东广州·二模）已知函数.
(1)证明：恰有一个零点，且；
(2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值.
（i）设，求的解析式；
（ii）证明：当，总有.
4．（2024·山东菏泽·一模）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为．
(1)求实数a，b的值；
(2)比较与的大小；
(3)若在上存在极值，求的取值范围．
5．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知是大于的实数（全部同号），证明
6．（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；
(3)设，证明：．
题型2：放缩法在导数中的应用
7．（2023·山东·一模）已知，且0为的一个极值点．
(1)求实数的值；
(2)证明：①函数在区间上存在唯一零点；
②，其中且．
8．（21-22高二下·广东深圳·期中）已知函数，其中
(1)若有两个极值点，记为
①求的取值范围；
②求证：；
(2)求证：对任意恒有
9．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知函数.
（1）证明：函数仅有一个极值点；
（2）若不等式恒成立，求实数的最大值.
10．（2020·浙江宁波·模拟预测）已知为定义在上的奇函数，且当时，取最大值为1.
（1）写出的解析式.
（2）若，，求证
（ⅰ）；
（ⅱ）.
11．（2020·全国·模拟预测）已知函数，.
（1）若函数在上单调递减，且函数在上单调递增，求实数的值；
（2）求证：（，且）.
12．（2019·宁夏中卫·一模）已知函数．
求函数的单调递增区间；
设函数，函数 ．
若恒成立，求实数的取值范围；
证明：
题型3：数列与导数
13．（2018·浙江·模拟预测）已知数列满足，．求证：当时，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）当时，有；
（Ⅲ）当时，有．
14．（22-23高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：；
(3)证明：．
题型4：圆锥曲线与导数
15．（2024·福建厦门·一模）在平面直角坐标系中，点，点A为动点，以线段为直径的圆与轴相切，记A的轨迹为，直线交于另一点B．
(1)求的方程；
(2)的外接圆交于点（不与O，A，B重合），依次连接O，A，C，B构成凸四边形，记其面积为．
（i）证明：的重心在定直线上；
（ii）求的取值范围．
16．（23-24高三上·浙江宁波·期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
题型5：导数在实际应用题中的应用
17．（2023·全国·模拟预测）一类项目若投资1元，投资成功的概率为．如果投资成功，会获得元的回报；如果投资失败，则会亏掉1元本金．为了规避风险，分多次投资该类项目，设每次投资金额为剩余本金的，1956年约翰·拉里·凯利计算得出，多次投资的平均回报率函数为，并提出了凯利公式．
(1)证明：当时，使得平均回报率最高的投资比例满足凯利公式；
(2)若，，求函数在上的零点个数．
题型6：利用导数证明不等式
18．（2024·广东·一模）设函数（常数）．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)证明： ．
题型7：利用导数研究不等式恒成立问题
19．（2024·云南·一模）已知是自然对数的底数，常数，函数.
(1)求、的单调区间；
(2)讨论直线与曲线的公共点的个数；
(3)记函数、，若，且，则，求实数的取值范围.
题型8：利用导数研究函数的零点
20．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若，函数.
（i）证明：在区间上存在极值点；
（ii）记在区间上的极值点为在区间上的零点的和为.证明：.
题型9：利用导数研究方程的根
21．（2024·湖南株洲·一模）已知函数在处的切线方程为，其中e为自然常数.
(1)求、的值及的最小值；
(2)设，是方程（）的两个不相等的正实根，证明：.
题型10：利用导数研究函数图像及性质
22．（2023·广东汕头·三模）设，，
(1)证明：；
(2)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列.
题型11：利用导数研究双变量问题
23．（2023·江西南昌·三模）已知函数.
(1)若在单调递增，求实数的取值范围；
(2)若的极值点为，设，且证明：.
题型12：利用导数研究极值点偏移问题
24．（2023·湖北武汉·三模）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：．
押题01 导数及其应用 高考模拟题型分布表
题型序号
题型内容
题号
题型1
新定义题与导数
1-6
题型2
放缩法在导数中的应用
7-12
题型3
数列与导数
13-14
题型4
圆锥曲线与导数
15-16
题型5
导数在实际应用题中的应用
17
题型6
利用导数证明不等式
18
题型7
利用导数研究不等式恒成立问题
19
题型8
利用导数研究函数的零点
20
题型9
利用导数研究方程的根
21
题型10
利用导数研究函数图像及性质
22
题型11
利用导数研究双变量问题
23
题型12
利用导数研究极值点偏移问题
24