江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知向量，.若，则( )
A.-6B.-2C.3D.6
2．“”是“过点有两条直线与圆相切”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点( )
A.向左平移个单位B.向左平移个单位
C.向右平移个单位D.向右平移个单位
4．我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用.把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列.记的前n项和为，则( )
A.16B.12C.10D.8
5．已知，，，则( )
A.B.C.D.
6．在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为( )
A.B.C.D.
7．已知椭圆C的左、右焦点分别为，，下顶点为A，直线交C于另一点B，的内切圆与相切于点P.若，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
8．在斜中，若，则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知，互为共轭复数，则( )
A.B.C.D.
10．已知函数满足，则( )
A.B.C.是偶函数D.是奇函数
11．已知平行六面体的棱长均为2，，点P在内，则( )
A.平面B.
C.D.
三、填空题
12．已知集合，，则集合B的元素个数为________.
13．在平面四边形中，，，，，则四边形的面积为________.
14．已知函数的两个极值点为，，记，.点B，D在的图象上，满足，均垂直于y轴.若四边形为菱形，则________.
四、解答题
15．某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：
(1)从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望；
(2)利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额.
附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
16．已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值.
17．在五面体中，平面，平面.
(1)求证：；
(2)若，，点D到平面的距离为，求二面角的大小.
18．已知抛物线与双曲线有公共的焦点F，且.过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，与E的两条近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧).
(1)求E的渐近线方程；
(2)若实数满足，求的取值范围.
19．已知数列的前n项和为.若对每一个，有且仅有一个，使得，则称为“X数列”.记，，称数列为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为0，1，-1，1，试判断是否为“X数列”，并说明理由；
(2)若，证明为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列为“X数列”，且的“余项数列”为等差数列，证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：由，知，解得.
故选：C.
2．答案：B
解析：由题意，点在圆外，则有，
，所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件.
故选：B
3．答案：A
解析：，
则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，
故选：A.
4．答案：C
解析：因为，，，，
所以，
，
，
，
，
，…，
可以看出数列的前20项为1,0,1,0,…,1,0，
故.
故选：C.
5．答案：D
解析：因为，，，
所以，
所以，则.
故选：D
6．答案：C
解析：令外接球的半径为，依题意，，，
过点B作，则，所以，
又，所以，
所以圆台的侧面积，
球的表面积，
所以圆台的侧面积与球的表面积之比为.
故选：C
7．答案：B
解析：设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，，设的内切圆与，相切于点M，N，如图所示，
则，，，
所以，
所以的周长为，
由椭圆定义可得，，
所以，则，
故选：B.
8．答案：B
解析：因为，
所以B为锐角，，则，即，
所以，即，所以，
当时，即,所以，不合题意；
当时，，
所以，
所以
当且仅当，即时等号成立，
故选：B.
9．答案：BCD
解析：令，，，
对A，，，
则不一定成立，故A选项错误；
对B，，故B选项正确；
对C，，故C选项正确；
对D，，故D选项正确.
故选：BCD
10．答案：AC
解析：令，则，
令，则，解得或，
若，则恒成立，不合题意，故，A选项正确；
，则,，B选项错误；
函数，定义域为R，，
为偶函数，C正确，D错误.
故选：AC
11．答案：ABD
解析：对于A，连接，
由平行六面体得，平面平面，平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，同理可得，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因为，，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面，故A正确；
对于B，以，，为基底，
则，，，
因为平行六面体的棱长均为2，，
所以，
，
所以，，
因为平面，且，
所以平面，又平面，
所以，故B正确；
对于D，，
，即，
所以，当点A，P，共线时等号成立，故D正确；
对于C，因为平面，则交的外心O，连接，
则，
在中，由正弦定理得外接圆直径，，则，，
设，
在中，，
在中，，
则，
所以，故C错误；
故选：ABD.
12．答案：2
解析：当时，，分别为0,-1,-3，均不能满足，
当时，时可满足，
时，，，时，，均不满足，
当时，可满足，时，，，时，，均不满足，
所以，故集合B的元素有2个，
故答案为：2
13．答案：
解析：连接，依题意，设，，则，
又，
即，即，
即，显然，则，即，
又，所以，整理得，
即，解得，所以，
所以
.
故答案为：7
14．答案：
解析：函数，，
若，恒成立，在R上单调递增，不合题意，
时，，得，，
则，，
四边形为菱形，则，
，故，，
，则，，
由，化简得，令，则，
即，解得，故，.
故答案为：.
15．答案：(1)X的分布列见解析，期望；
(2)；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元.
解析：（1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C，D，E这3家超市，
则随机变量X的可能取值为1，2，3
，，，
X的分布列为：
数学期望.
（2），，
，
.
y关于x的线性回归方程为；
在中，取，得.
预测广告费支出10万元时的销售额为87万元.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）当时，，则，，所以，
所以曲线在处的切线方程为：，即.
（2），令，解得或，
当时，时，，则在上单调递减，
所以，则，符合题意；
当时，时，，则在上单调递减，
时，，则在上单调递增，
所以，则，不合题意；
当时，时，，则在上单调递减，
所以，不合题意；
综上，.
17．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）证明：因为平面，平面，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以.
（2）由于平面，，所以平面，平面，故,
又因为平面，平面，
所以，，
又，，平面，所以平面
由于，则,故,
故为等腰直角三角形，所以，,
如图以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建系，
设，则，，，，，，故，
由于，所以，故，
设平面的法向量为,,，平面的法向量为,,，
因为，，
所以，即
令，则，
因为，，
所以，即
令，则，
设成的角为，由图可知为钝角，
所以，故，
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1）抛物线与双曲线有公共的焦点F，
设双曲线E的焦距为，则有，
又，则.
由，得，
所以E的渐近线的方程为
（2）设，，，
l与E的两条近线交于P，Q两点均位于y轴右侧，有，
由，解得，，
.
设，， 由，消去x得，
则有，，
，
由，，
有，即，
由，有，所以.
19．答案：(1)不是“X数列”；
(2)证明见解析；，；
(3)证明见解析
解析：（1）由题，，，，
所以有，，
故根据“X数列”的定义不是“X数列”.
（2）因为，
所以当时，；
当时，；
则不满足，所以，
令，即，
则当时，有，；
当时，有；故即，
则对每一个，有且仅有一个且，使得，
综上，对任意，有且仅有一个，使得，
所以为“X数列”，
由上，，
即的“余项数列”通项公式为，.
（3）因为是正项数列，所以单调递增，
所以，故，
因为，且为“X数列”，
所以，故由得，
的“余项数列”为等差数列，故其公差，
因为，所以，
若，则当时，，与矛盾，
故，所以，，即，
对于，若，则，与正项数列矛盾，
所以，故，
所以，故，
所以，
又，，
所以，.
超市
A
B
C
D
E
广告支出x
2
4
5
6
8
销售额y
30
40
60
60
70
X
1
2
3
P