四川省绵阳市南山中学2024届高三下学期二模理科数学试题（Word版附答案）

这是一份四川省绵阳市南山中学2024届高三下学期二模理科数学试题（Word版附答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A.1B.2C.3D.无穷多个
2.虚数满足，则（ ）
A.0B.1C.2D.0或2
3.已知双曲线的顶点为，，虚轴的一个端点为，且是一个直角三角形，则双曲线的渐近线为（ ）
A.B.C.D.
4.近年来，我国大力发展新能源汽车产业，新能源汽车销量已跃居全球首位.某新能源汽车厂根据2021年新能源汽车销售额（单位：万元）和每月销售额占全年销售额的百分比绘制了如图所示双层饼图，根据双层饼图，下列说法错误的是（ ）
A.7月的销售额约为46万元B.2月销售额占全年销售额的
C.2021年第四季度销售额最低D.2021年全年销售总额约为1079万元
5.在平面直角坐标系中，角，的始边均为，终边相互垂直，若，则（ ）
A.B.C.D.
6. 已知点为可行域内任意一点，则的概率为（ ）
A.B.C.D.
7.已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A.是一个半径为的圆B.是一条与相交的直线
C.上的点到的距离均为D.是两条平行直线
8.已知函数，，那么“”是“在上是增函数”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
9.已知函数满足，且函数为偶函数，若，则（ ）
A.0B.1012C.2024D.3036
10.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为，则下列错误的是（ ）
A.该正八面体结构的外接球表面积为
B.该正八面体结构的内切球表面积为
C.该正八面体结构的表面积为
D.该正八面体结构的体积为
11.若函数有两个不同的极值点，，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
12.记椭圆与圆的公共点为，，其中在的左侧，是圆上异于，的点，连接交于，若，则的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.平面向量与相互垂直，已知，，且与向量的夹角是钝角，则______.
14.已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数在取得极大值，则的值为______.
15.若随机变量服从二项分布，则使取得最大值时，______.
16.在钝角中，，，分别是的内角，，所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是______.
三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，其中为数列的前项和.设表示不超过的最大整数，求使的最大正整数的值.
18.为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程，且销量的方差为，年份的方差为.
（1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的线性相关性的强弱.
（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
①参考数据：.
②参考公式：线性回归方程为，其中，；相关系数，若，则可判断与线性相关较强；，其中.附表：
19.如图，在三棱柱中，与的距离为，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若点在棱上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
20.已知抛物线，过点作斜率互为相反数的直线，，分别交抛物线于，及，两点.
（1）若，求直线的方程；
（2）求证：.
21.已知，函数.
（1）若是增函数，求的取值范围；
（2）证明：当，且时，存在三条直线，，是曲线的切线，也是曲线的切线.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4]坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为曲线上一点.
（1）求到直线距离的最大值；
（2）若为直线与曲线第一象限的交点，且，求的面积.
23.[选修4-5]不等式选讲
已知，均不为零，且满足.证明：
（1）；
（2）.
秘密★启用前【考试时间：2024年5月30日15：00-17：00】
绵阳南山中学2024年高三仿真考试（二）
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
5.【详解】依题意，，，则，或，，则，所以.故选：D
6.【详解】可行域内的点有，，，，，，，，共9个，其中满足的有，，，共4个，所以所求的概率.故选：B
7.【详解】设，由，则，由在直线上，故，化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行，上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.故选：C.
8.【详解】当，，单调递增.
则当，时，是增函数，
当时，在，单调递增，可得在上是增函数；
当时，在，单调递增，可得在上是增函数；
反之，当在上是增函数时，由，可知，此时，，
即不成立.所以“”是“在上是增函数”的充分而不必要条件.故选：A.
9.【详解】由题意函数为偶函数，所以，的图象关于直线对称，所以，所以函数的周期为4，在中，分别令和1，得，，即，所以，所以.故选：B.
10.【详解】对A：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，
外接球半径，故该正八面体结构的外接球表面积，故A正确；
对B：该正八面体结构的内切球半径，故内切球的表面积，故B正确；
对C：由题知，各侧面均为边长为的正三角形，故该正八面体结构的表面积，故C正确；
对D：连接，，则，底面，故该正八面体结构的体积，故D错误；故选：D.
11.【详解】依题意得，若函数有两个不同的极值点，，则方程有两个不相等的正实数根，，可得，解得，
因为，可得.设，则，则单调递减，，可知.所以实数的取值范围是.故选：B.
12.【解析】由题意可知点，分别为椭圆的左右顶点，所以，，设点在第一象限，设点，所以，，所以，.故选：D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.【答案】【详解】设，，，①，，②，与向量夹角为钝角，，③，由①②③解得，.
14.【答案】【详解】由题意可知，因为在取得极大值，所以在取得最大值，所以，，即，又因为，所以，当且仅当时，满足条件，所以，
15.【答案】3或4【详解】依题意，，依题意
，
，，，
，所以、不是的最大项，当时，由，整理得，即，整理得，，所以当为3或4时，取得最大值.
16.【答案】【详解】延长交于，如下图所示：
为的重心，为中点且，，，；
在中，；
在中，；
，，即，整理可得：，
为锐角；设为钝角，则，，，，，解得：，，，，
又为锐角，，即的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）可得，则，
所以，
因为，则，，所以，则，
即数列是以首项为0，公差为1的等差数列，
则，即，
又因为在上单调递增，且，，
所以使的最大正整数的值为64.
18.【解析】（1）由，得，
由，得，
因为线性回归方程，则，
即，
因此相关系数，
所以电动汽车销量与年份的线性相关性的较强.
（2）零假设：购买电动汽车与车主性别无关，由表中数据得：，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
19.【解】（1）取棱中点，连接，因为，所以
因为三棱柱，所以，所以，所以
因为，所以，；
因为，，所以，所以，同理，
因为，且，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）取中点，连接，取中点，连接，则，
由（1）知平面，所以平面
因为平面，平面，所以，，
因为，则以为坐标原点，，，所在的直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，可设点，，，，，设面的法向量为，得，取，则，，所以
设直线与平面所成角为，则
若，则，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值.
20.【解析】（1）设，，
，，，
，，.
又，，即，
又，，或，
当时，，，；
当时，，，，此时直线的斜率不存在，舍去，
，，直线的方程为：.
（2）设直线，则直线，
设，，，，
由，即，
则，所以，，
又，，
，同理可证：，
，，
又，，.
21.【解析】（1）的定义域为，，
令，，
令，得；令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
从而，，故的取值范围是.
（2）设曲线的切点为，，
则曲线在点处的切线方程为.
联立，得，
必有，
记函数，由题，，
故当时，，.
记，，
令，得；令，得，
故在上单调递减，在上单调递增.
当，且时，，，
当时，，故存在，使得，
当，或时，，；
当时，，，
故在，上单调递增，在上单调递减.
由，得，代入并整理得：
同理，
记，由（1）知为增函数，
，，，，
又，
当时，，有三个零点，
存在三条直线，，是曲线的切线，也是曲线的切线.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4]坐标系与参数方程
22.【详解】（1）由，消得到，所以直线的普通方程为，
因为曲线的极坐标方程为，所以，
又，，所以曲线的普通方程为，即，
所以曲线的参数方程为（为参数），
因为在圆上，设，则到距离为
，
所以当时，到距离最大，为.
（2）由，消得到，解得或，
又因为在第一象限，所以，点，在曲线上，
由题可设，，代入曲线的极坐标方程得，，
又因为，
故的面积为.
[选修4-5]不等式选讲
23.【详解】（1），，.
根据基本不等式得，当且仅当时，等号成立.
整理得，.
（2），
由基本不等式和不等式的性质，得，，故，当且仅当时，等号成立，.性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
B
A
D
B
C
A
B
D
B
D