湖北省襄阳市第五中学2024届高三第二次适应性测试数学试题

这是一份湖北省襄阳市第五中学2024届高三第二次适应性测试数学试题，文件包含数学试题docx、数学答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共4页， 欢迎下载使用。

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.定义 a⊗b=|a|2−a⋅b若向量 a=2,5,向量b为单位向量，则a⊗b的取值范围是()
A.[0,6] B. a⊗b C.[0,6) D.(-1,5)
2.已知x>0, y>0, 且2x+y=xy, 则x+2y的最小值为( )
A.8 B.82 C.9 D.92
B：定义运算 abcd=ad−bc,若复数z满足 z−i1−i−2i=0为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 acsC+3asinC=b+c,则角A的大小为()
A.π6 B.π4 C. π3 D.5π6
5.已知直线过点A(1,-1,-1), 且方向向量为 m=(1,0,−1),则点P(1,1,1)到的距离为( )
A.22 B.6 C.3 D.2
6.若随机事件A，B满足 PA=13,PB=12,PA+B=34,则P(A|B) =( )
A. 29 B. 23 C. 14 D. 16
7.已知圆 C₁:x−2²+y²=4,C₂:x−2−5csθ²+y−5sinθ²=1θ∈R,过圆C₂上一点P作圆C₁的两条切线，切点分别是E、F，则 PE⋅PF的最小值是()
A.6 B.5 C.4 D.3
8.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,g'(x)为g(x)的导函数,且f(x)+g'(x)=2,f(x)-g'(4-x)=2, 若g(x)为偶函数, 则 f2022+g'2024=
A.0 B.1 C.2 D.4
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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.数列{an}满足a₁=1,且对任意的n∈N⁺,都有 an+1=an+n+1,则( )
A.an=nn+12 B. 数列 1an的前100项和为 200101
C. 数列 1an的前100项和为 99100 D. 数列{an}的第100 项为50050
10.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率 e=32,F1,F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，P是椭圆E上的一个动点，且 |PF₁|−|PF₂|的最大值为 23,则下列选项正确的是( ）
A. 当P不与左、右顶点重合时，△PF₁F₂的周长为定值 4+23
B. 当 PF₁⊥F₁F₂时, |PF2|=72
C. 有且仅有4个点P，使得△PF₁F₂为直角三角形
D. 当直线PA的斜率为1时，直线PB的斜率为 −14
11.已知四棱锥P-ABCD, 底面ABCD是正方形, PA⊥平面ABCD, AD=1, PC与底面ABCD所成角的正切值为 22,点M为平面ABCD内一点,且AM =λAD(0<λ<1),点N为平面PAB内一点, NC=5,下列说法正确的是()
A. 存在λ使得直线PB与AM所成角为π6 B. 不存在λ使得平面PAB⊥平面PBM
C. 若 λ=22,则以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥P-ABCD各面的交线长为 2+64π
D.三棱锥N-ACD外接球体积最小值为 556π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知sinθ+csθ = 2sinα, sinθcsθ= sin²β, 则. 4cs²2α−cs²2β=. .
13.盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子.已知某盲盒产品共有3 种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是 .
14.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为 f'x=2x+4ex−fx, 且 f−4=e⁴,若关于x的不等式f(x)-m<0仅有1个整数解，则实数m的取值范围是
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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、(本小题13分)已知矩形ABCD中, 点E在边CD上, 且. AD=DE=2CE=2,现将 △ADE沿AE向上翻折，使点 D 到点 P的位置，构成如图所示的四棱锥 P−ABCE,
(1)若点F在线段AP上, 且EF//平面PBC, 求 AFFP的值；
(2)若平面 APE⊥平面ABCE,求平面 PEC和平面 ABCE夹角的余弦值.
16.(本小题15分)在数列 an中, Sn是其前n项和，且 3Sn−an=64.
(1)求数列 an的通项公式；
(2)若 ∀n∈N⁺,λ−117.(本小题15分)在直角坐标系xOy中，设F为抛物线 C:y²=2px(p>0)的焦点，M为C上位于第一象限内一点.当 MF⋅OF=0时, △OFM的面积为1.
(1)求C的方程;
(2)当 MF⋅OF=−3时，如果直线与抛物线C交于A，B两点，直线MA，MB的斜率满足 kAM⋅kAB=−2.证明直线恒过定点，并求出定点坐标.
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18.(本小题17分)2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，它求解“高斯玻色取样数学问题”比目前全球最快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特(qubit)可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，每个糍子的自旋状态有P的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X.
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且 p=13,求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；
(2)若一条信息有 n(n>1,n∈N∗)种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为 p₁,P₂, …, Pn, 则称. H=fp1+fp2+⋯+fpn(其中 fx=−xlg₂x)为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X的信息熵H；
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为 Y(Y=1,2,3,…，n，… ).证明：当n无限增大时，Y的数学期望趋近于一个常数.
参考公式：019.(本小题17分)柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x), g(x)满足:
①图象在[a，b]上是一条连续不断的曲线；
②在(a,b)内可导;
③对 ∀x∈ab,g'x≠0,则 ∃ξ∈ab,使得 fb−fagb−ga=f'ξg'ξ.
特别的，取 gx=x,则有： ∃ξ∈ab,使得 fb−fab−a=f'ξ,此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数f(x)满足 f0=0,其导函数f'(x)在0+∞上单调递增，证明：函数 y=fxx在 0+∞上为增函数.
(2)若∀a, b∈(0,e)且a>b, 不等式 lnab−lnba+mba−ab≤0恒成立，求实数m的取值范围.
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