数学：江西省赣州市瑞金市2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：江西省赣州市瑞金市2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.，则不是最简二次根式，此项不符题意；
B.是最简二次根式，此项符合题意；
C.，则不是最简二次根式，此项不符题意；
D.，则不是最简二次根式，此项不符题意；
故选：B．
2. 下列各组线段，能组成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】A.∵，∴不能组成直角三角形；
B.∵，∴不能组成直角三角形；
C.∵，∴不能组成直角三角形；
D.，∴能组成直角三角形；故选：D．
3. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A. OA＝OC，OB＝ODB. AB＝CD，AO＝CO
C. AB＝CD，AD＝BCD. ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
【答案】B
【解析】A.∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B.由AB=CD，故选项B符合题意；
C.∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D.∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
4. 用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意得，
小正方形的边长为：
这个小正方形的周长为，
故选：B．
5. 如图，一架2.5米长的梯子斜靠在墙上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯足将外移的长度是（ ）

A. 0.7米B. 0.4米C. 0.8米D. 1米
【答案】C
【解析】在直角中，已知，
则，
∵
，
∵在直角中，，且为斜边，
，
，
∴梯足将外移的长度为，故选：C．
6. 如图，中，是中线，是角平分线，于F，，，则的长为（ ）
A. 3B. 1.5C. 2D. 2.5
【答案】D
【解析】延长交与点，
平分，
，
，
，
，
，
，，
又点是中点，
是的中位线，
，
故选：D．
二、填空题
7. 使有意义的x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得：
x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为x≥﹣1．
8. 如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则______．
【答案】48°
【解析】，
，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
9. 计算：______．
【答案】8
【解析】
，
故答案为：8．
10. 如图，在平行四边形中对角线、相交于点O，，，，则______．
【答案】
【解析】∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
11. 如图，某风景区的沿湖公路AB=3千米，BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，其中AB^BC，图中阴影是草地，其余是水面．那么乘游艇游点C出发，行进速度为每小时11千米，到达对岸AD最少要用 小时．
【答案】0.4
【解析】连接AC，
在直角△ABC中，AB=3km，BC=4km，则AC==5km，
∵CD=12km，AD=13km，故存在AD2=AC2+CD2
∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°，
∴△ACD的面积为×AC×CD=30km2，
∵AD=13km，∴AD边上的高，即C到AD的最短距离为km，
游艇的速度为11km/小时，
需要时间为小时=0.4小时．
故答案为 0.4．
12. 在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB， 且 BD=，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD的长是____________．
【答案】3或或
【解析】如图

∵∠B=90°，∠A=30°，
∴BC=AC=×8=4，
由勾股定理得，AB=

当点P在AC上时，∠A=30°，AP=2PD，
∴∠ADP=90°，
则AD2+PD2=AP2，即（3）2=（2PD）2-PD2，
解得，PD=3，
当点P在AB上时，AP=2PD，AD=3，
∴PD=，
当点P在BC上时，AP=2PD，
设PD=x，则AP=2x，
由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=x2-3，

解得，x=
故答案为：3或或.
三、解答题
13. 计算：
（1）
（2）如图，在平行四边形中，点E、F分别在上，且，求证：四边形是平行四边形
（1）解：
；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
14. 有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为______，______．
（2）求剩余木料的面积．
解：（1）两个正方形木板的面积分别为和，
这两个正方形的边长分别为：
,
．
（2）这两个正方形的边长分别为：，
∴剩余木料的面积为．
15. 如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．
（1）求A、C两点之间的距离．
（2）求这张纸片的面积．
（1）解：连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，
∴AC．
即A、C两点之间的距离为15cm；
（2）解：∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD
=AB•BCAC•CD
=9×1215×8＝54+60＝114（cm2）．
16. 已知四边形是平行四边形，为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图①，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点Q，使；
（2）如图②，点P为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出一点Q，使．
解：（1）如图，点即为所求；

∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，点即为所求；

同（1）可证：，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
同法可得：，
∴，
∴，
∴．
17. 如图所示，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点．

（1）求证：．
（2）连接，若平分，且当时，求的长．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
又，
．
（2）解：∵平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为．
四、解答题
18. 如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的周长．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
E、F、G、H分别是的中点，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
，
分别是的中点，
是的中位线，，
的周长．
19. 课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：．
类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，求空白部分的面积．
（1）证明：如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为．
∴，
∴；
（2）解：如图2，则空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，
∵，，
∴空白部分的面积；
20. 秦九韶（1208年~1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦−秦九韶公式”，它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，那么．
（1）如图在中，，，，请用上面的公式计算的面积；
（2）一个三角形的三边长分别为a，b，c，，，求的值，
解：（1）由题意，，
∴．
即的面积为；
（2）由题意，，
∴，
∵，
∴
∴．
∴，即
∴．
五、解答题
21. 如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若恰好平分，连接，求证：四边形是平行四边形；
（3）若，，，求平行四边形的面积．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：由（1）知，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
在中，由勾股定理得，，
∵，，，
∴，
∴平行四边形的面积＝的面积．
22. 定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
（1）已知：，求的值；
（2）结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
（3）计算：．
（1）解：∵
，
且，
∴；
（2）解：∵
∴，
化简后两边同时平方得：，
∴，
经检验：是原方程的解；
（3）解：
．
六、解答题
23. 综合与实践；
【问题情境】为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，．
【探究实践】
老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点M，G．老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现．
（1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由．
（2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”，请你判断小明的结论是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，，请你帮小慧求出的长．
解：（1）结论正确；
理由如下：
由折叠得：，
，
折痕与夹角为，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）结论正确；
理由如下：
如图，连接，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
N是的中点；
（3），，
，
由折叠得：，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
解得：，
，
由（2）得：，
，
，
设，则有，
，
在中，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，解得：，故的长为．