2024年陕西省渭南市蒲城县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省渭南市蒲城县中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家.若把向北走2km记作“+2km”，则向南走3km应记作( )
A. −3kmB. −5kmC. 3kmD. 5km
2.下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱的是( )
A. B. C. D.
3.如图，AB//DE，BC/​/EF，若∠ABC=39°，则∠DEF的度数为( )
A. 30°
B. 51°
C. 141°
D. 39°
4.已知(x+2)(2x−1)=2x2+mx+n，则m、n的值依次为( )
A. 5，2B. −5，−2C. 3，−2D. −3，−2
5.如图，点D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，连接DE，AP平分∠BAC交DE于点P，若CD=4，则DP的长为( )
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
6.已知点A(x1,y1)和点B(x2,y2)均在一次函数y=(k−3)x+1(k为常数，且k≠3)的图象上，若(x1−x2)(y1−y2)<0，则k的值不可能是( )
A. 4B. −4C. 2D. −2
7.马面裙(图1)，又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，将图1中的马面裙抽象成数学图形如图2中的阴影部分所示，AD和BC所在圆的圆心均为点O，且点A在OB上，点D在OC上，若OA=AB=6dm，OA⊥OD，则该马面裙裙面(图2中阴影部分)的面积为( )
A. 36πdm2B. 27πdm2C. 18πdm2D. 12πdm2
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0)中，y与x的部分对应值如下表所示，则下列结论正确的是( )
A. 4ac−b2<0B. 该二次函数图象开口向上
C. abc>0D. m的值为−5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.比较大小：2______ 2.(填“>”、“<”、“=”)
10.陕西某民间灯会活动中，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，AB与BC为该正多边形的一组相邻边，小丽量得∠BAC=15°，则这个正多边形的边数为______．
11.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在边AD上，连接EO并延长，交BC于点F，若OA=2 5，BC=2AB，则图中阴影部分的面积为______．
12.如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB=30°，∠OCB=45°，BA⊥y轴于点A，CB⊥OB于点B，若AB=1，反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象恰好经过点C，则k的值为______．
13.如图，在菱形ABCD中，AB=20，tan∠BAD=43，点E和点F分别为对角线AC和边AD上的动点(不与端点重合)，连接DE、EF，∠DEF=∠ACB，当△DEF是直角三角形时，DF的长为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算：|− 8|−( 2+1)2+(12)−1．
15.(本小题5分)
解方程：2x−5x2−2x+1=x−5x−2．
16.(本小题5分)
若关于x的一元二次方程x2−3x+2m=0没有实数根，求m的取值范围．
17.(本小题5分)
如图，点D为△ABC的边AB的延长线上一点，请用尺规作图法在AC的延长线上求作一点E，连接DE，使得△ADE∽△ABC.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图，已知矩形ABCD，点E在CB的延长线上，点F在BC的延长线上，且BE=CF，连接DE、AF交于点G，求证：GE=GF．
19.(本小题5分)
多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受广大消费者的喜爱，某品牌早餐机的进价为240元/台，商店以320元/台的价格出售，“五一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该早餐机每台最多可降价多少元？(利润率=售价−进价进价×100%)
20.(本小题5分)
随着科技的发展，电信网络诈骗呈现出团伙化、多样化等特征，新型诈骗方式花样百出.为增强学生的反诈骗意识，某社区举办了“中小学生防诈骗小课堂”宣传活动，通过测试决定从A，B，C，D四名学生中通过抽签的方式确定两名学生到社区参加宣讲活动，抽签规则：将四名学生的名字分别写在四张背面完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，举办方先从中随机抽取第一张卡片，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张卡片．
(1)举办方抽取的第一张卡片上恰好是“B”学生的概率为______；
(2)请用列表法或画树状图法求出A，B两名同学都被抽中的概率．
21.(本小题6分)
某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度AB．
22.(本小题7分)
书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术.某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套.设校团委一次性购买书法套具x(10(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x=20时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额．
23.(本小题7分)
2024年4月13日，我国首口自主设计实施的海上超深大位移井在珠江口盆地海域投产，成为我国海上第一深井，同时创造了我国钻井水平长度纪录.某校为了解学生对我国勘探事业的知晓程度，随机抽取了该校部分九年级学生，就“勘探事业知多少”进行了问卷测试，并将测试成绩(满分为10分)整理成如下不完整的统计图表：
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
(1)表中m的值为______，所抽取学生测试成绩的众数为______分，中位数为______分；
(2)请计算所抽取学生测试成绩的平均数；
(3)已知该校共有300名九年级学生，若对这300名九年级学生全部进行此项问卷测试，请你估计能得满分的有多少名学生？
24.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，AD=CD，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若BD=24，⊙O的半径为13，求DE的长．
25.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B在第四象限，点C在x轴的正半轴上，连接AB、AC、BC，AB/​/OC，OC=2OA，抛物线C1y=ax2−2ax−4(a≠0)经过A、B、C三点．
(1)求点B的坐标和抛物线C1的函数表达式；
(2)将抛物线C1向上平移2个单位长度后得到抛物线C2，在抛物线C2上是否存在点D，使得S△OAD=4S△ABC？若存在，求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
26.(本小题10分)
【问题提出】
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，点O是AB的中点，以点O为圆心，OA为半径向AB上方作半圆O，点P为半圆O上一点，连接CP，则线段CP的最小值为______；
【问题探究】
(2)如图2，在等边△ABC中，AC=2，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，∠PAB=∠PCA，求线段BP长度的最小值；
【问题解决】
(3)如图3，某小区有四栋楼，刚好围成正方形ABCD，其边长AB=1000米，现计划在小区内部(正方形ABCD内)修建一个游泳馆E，满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的距离相等(即BE=BA)，过点E作EG⊥AB于点G，在Rt△BEG的内心F处修建一个健身房，使得D栋楼的居民到健身房F的距离DF最小，请问DF是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：向北走2km记作“+2km”，则向南走3km应记作−3km，
故选：A．
正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，故A不符合题意；
B、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，故B不符合题意；
C、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，故C符合题意；
D、将图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆台，故D不符合题意；
故选：C．
根据“面动成体”结合各个选项中图形和旋转轴进行判断，即可解答．
本题考查了点、线、面、体，理解“面动成体”是正确判断的前提．
3.【答案】D
【解析】解：∵AB//DE，BC/​/EF，∠ABC=39°，
∴∠1=∠ABC=39°，∠DEF=∠1=39°；
故选：D．
根据两直线平行，同位角相等，进行求解即可．
本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练应用．
4.【答案】C
【解析】解：∵(x+2)(2x−1)=2x2+3x−2=2x2+mx+n，
∴m=3，n=−2；
故选：C．
利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，根据对应项相等，求出m，n的值即可．
本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵点D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，
∴DE/​/AB，AD=CD=4，
∴∠BAP=∠APD，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠DAP
∴∠APD=∠DAP，
∴DP=AD=4；
故选：C．
因为DE为△ABC的中位线，进而得到DE/​/AB，根据平行线的性质和角平分线的性质，推出AD=DP，即可得出结论．
本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，关键是三角形中位线定理的应用．
6.【答案】A
【解析】解：∵点A(x1,y1)和点B(x2,y2)均在一次函数y=(k−3)x+1(k为常数，且k≠3)的图象上，且(x1−x2)(y1−y2)<0，
不妨设x1y2，
∴y随着x的增大而减小，
∴k−3<0，
∴k<3；
故k的值不可能是4；
故答案为：A．
根据(x1−x2)(y1−y2)<0，不妨设x1y2，即y随着x的增大而减小，进而得到k−3<0，即k<3，即可得出结果．
本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数性质是关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵OA⊥OD，
∴∠AOD=90°，
∵OA=AB=6dm，
∴OB=2OA=12dm，
∴该马面裙裙面的面积为=90π×122360−90π×62360=27π(dm2).
故选：B．
此题主要考查阴影部分面积求解．根据马面裙裙面的面积为=90π×122360−90π×62360，即可求解．
本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积S=nπr2360．
8.【答案】C
【解析】解：由表格可知抛物线经过(−1,−12)，(0,−6)，(2,−6)，
∴c=−6a−b+c=−124a+2b+c=−6，
解得a=−2，b=4，c=−6，
∴抛物线的解析式为y=−2x2+4x−6．
∵Δ=b2−4ac=42−4×(−2)×(−6)=−32<0，
∴4ac−b2>0，
故A选项错误，不符合题意；
∵a=−2<0，
∴该二次函数图象开口向下，
故B选项错误，不符合题意；
∵a<0，b>0，c<0，
∴abc>0，
故C选项正确，符合题意；
∵x=1时，y=−2+4−6=−4，
∴m=−4，
故D选项错误，不符合题意．
故选：C．
先在表格中选取三个点代入y=ax2+bx+c中，求出抛物线的表达式，可得y=−2x2+4x−6，然后再根据二次函数的性质依次判断各选项即可得到正确答案．
本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9.【答案】>
【解析】解：∵ 2≈1.414，
∴ 2<2．
故答案为：>
先把 2进行估算，再根据两个正数比较大小，绝对值大的它就大，即可得出答案．
此题主要考查了实数的大小比较，掌握两个正数比较大小，绝对值大的它就大是本题的关键．
10.【答案】十二
【解析】解：由题意知，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=15°，
∴∠B=180°−∠BCA−∠BAC=150°，
设这个正多边形的边数为n，
依题意得，150°n=180°(n−2)，
解得，n=12，
故答案为：十二．
由题意知，AB=BC，则∠BCA=∠BAC=15°，可求∠B=150°，设这个正多边形的边数为n，依题意得，150°n=180°(n−2)，计算求解即可．
本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，正多边形的内角和等知识，熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理，正多边形的内角和是解题的关键．
11.【答案】16
【解析】解：∵矩形ABCD，
∴OA=OC，AC=2OA=4 5，AD//BC，
∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴S△AEO=S△CFO，
设AB=x，则BC=2x，
由勾股定理得，AC= AB2+BC2= 5x=4 5，
解得，x=4，
∴AB=4，BC=8，
∴S阴影=S△AOB+S△COF+S△DOE=S△AOB+S△AOE+S△DOE=12S矩形ABCD=12×4×8=16，
故答案为：16．
证明△AEO≌△CFO(AAS)，则S△AEO=S△CFO，设AB=x，则BC=2x，由勾股定理得，AC= AB2+BC2= 5x=4 5，可求AB=4，BC=8，根据S阴影=S△AOB+S△COF+S△DOE=S△AOB+S△AOE+S△DOE=12S矩形ABCD，计算求解即可．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．正确表示阴影部分面积是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：过点C作CD⊥x轴，延长AB，DC交于点E，
∵BA⊥y轴，∠BOD=90°，
∴四边形OAED为矩形，
∴∠E=∠OAB=90°，OA=DE，
∵∠OCB=45°，∠OBC=90°，
∴Rt△OBC为等腰直角三角形，
∴OB=BC，
∵∠ECB=∠OBA=90°−∠CBE，
∴△ABO≌△ECB(ASA)，
∴CE=AB=1，BE=OA，
∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，
∴OB=2AB=2,OA= 3AB= 3，
∴BE= 3，DE= 3，
∴CD=DE−CE= 3−1,AE=AB+BE= 3+1，
∴C( 3+1, 3−1)，
∴k=( 3+1)×( 3−1)=3−1=2；
故答案为：2．
过点C作CD⊥x轴，延长AB，DC交于点E，证明△ABO≌△ECB，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出C点坐标即可得出结果．
本题考查反比例函数图象上点的特征，解题的关键是掌握发布会老师的性质，灵活运用所学知识解决问题．
13.【答案】4或5
【解析】解：过点D作DH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是菱形，AB=20，tan∠BAD=43，
∴AD=AB=20，DHAH=43，
∴设DH=4x，AH=3x，
∴AD= DH2+AH2=5x=20，
∴x=4，
∴DH=16，AH=12，
∴BH=8，
AH=12，BH=8，DH=16，
连接BD交AC于O，
∴BD= DH2+BH2=8 5，
∴OB=OD=4 5，
∴OA=OC= AD2−OD2=8 5，
∵∠DEF=∠ACB，
∴tan∠DEF=tan∠ACB=12，
①当点D为直角顶点时，
∴DFDE=DEAD=12，
∴DE=10
∴DF=5；
②当点F为直角顶点时，
∴EF⊥AD，
∴EFAF=DFEF=12，
∵AF+DF=AD=20，
∴设DF=m，则EF=2m，AF=4m，
∴4m+m=20，
∴m=4，
∴DF=4．
综上所述，DF的长为4或5，
故答案为：4或5．
过点D作DH⊥AB于点H，由四边形ABCD是菱形，AB=20，tan∠BAD=43，得到AD=AB=20，DHAH=43，设DH=4x，AH=3x，根据勾股定理得到AD= DH2+AH2=5x=20，求得x=4，得到DH=16，AH=12，连接BD交AC于O，根据勾股定理得到BD= DH2+BH2=8 5，求得OA=OC= AD2−OD2=8 5，于是得到tan∠DEF=tan∠ACB=12，①当点D为直角顶点时，②当点F为直角顶点时，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和菱形的性质是解题的关键．
14.【答案】解：原式=2 2−(2+2 2+1)+2=2 2−3−2 2+2=−1．
【解析】先利用二次根式的性质进行化简，去绝对值，进行完全平方和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可．
本题考查负整数指数幂，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
15.【答案】解：2x−5x2−2x+1=x−5x−2，
2x−5+x2−2x=x(x−5)，
2x−5+x2−2x=x2−5x，
解得，x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解．
【解析】先去分母将分式方程化成整式方程，求整式方程的解，然后检验即可．
本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键．
16.【答案】解：由题意得，Δ=(−3)2−4×2m<0，
解得m>98，
∴m的取值范围为m>98．
【解析】由题意得Δ=(−3)2−4×2m<0，计算求解即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
17.【答案】解：如图：

由作图可知：∠ADE=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
【解析】依据作一个角等于已知角的方法，作∠ADE=∠ABC即可．
本题考查尺规作一个角等于已知角，相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．
18.【答案】证明：∵矩形ABCD，
∴AB=CD，∠ABF=∠DCB=90°，
∵BE=CF，
∴CE=BF，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴∠E=∠F，
∴GE=GF．
【解析】证明△ABF≌△DCE，得到∠E=∠F，即可得证．
本题考查矩形的性质，掌握全等三角形的判定和性质，等角对等边是解题的关键．
19.【答案】解：设该早餐机每台可降价x元，
根据题意得：320−x−240≥240×20%，
解得：x≤32，
∴x的最大值为32，
答：该早餐机每台最多可降价32元．
【解析】设该早餐机每台可降价x元，根据计划以利润率不低于20%的价格降价出售，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
20.【答案】14
【解析】解：(1)由题意知，举办方抽取的第一张卡片上恰好是“B”学生的概率为14，
故答案为：14；
(2)由题意画树状图如下；
∴共有12种等可能的结果，其中A，B两名同学都被抽中共有2种等可能的结果，
∵212=16，
∴A，B两名同学都被抽中的概率是16．
(1)根据简单的概率公式计算求解即可；
(2)根据题意画树状图，然后求概率即可．
本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．正确的画树状图是解题的关键．
21.【答案】解：选择方案①；
∵CE/​/AB，
∴∠ABC=∠C，
∵∠ADB=∠EDC，DB=DC，
∴△ABD≌△ECD，
∵CE=20m，
∴AB=CE=20(m)，
∴水潭的宽度AB为20m；
选择方案②：
∵AC=DC，BC=EC，∠ACB=∠DCE，
∴△ACB≌△DCE，
∵DE=20m，
∴AB=DE=20(m)，
∴水潭的宽度AB为20m；
【解析】选择方案①：先证明∠ABC=∠C，结合∠ADB=∠EDC，DB=DC，可得△ABD≌△ECD，再利用全等三角形的性质可得结论；
选择方案②：直接利用SAS证明△ACB≌△DCE，再利用全等三角形的性质可得结论；
本题考查的是全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定方法与全等三角形的性质是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，
∴y=120−5(x−10)=−5x+170，
∵单价不得低于60元/套，
∴−5x+170≥60，
解得：x≤22，
∴y与x之间的函数关系式为y=−5x+170(10(2)当x=20时，y=−5×20+170=70>60，
∵20×70=1400(元)，
∴当x=20时，校团委购买这些书法套具的付款总额为1400元．
【解析】(1)根据一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元可得y=120−5(x−10)=−5x+170，而−5x+170≥60，得：x≤22，故y=−5x+170(10(2)当x=20时，y=−5×20+170=70，再列式计算可得校团委购买这些书法套具的付款总额为1400元．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23.【答案】4 8 8
【解析】解：(1)∵成绩为7分的在扇形图中的圆心角是72°，人数是4，
∴样本容量是4÷72°360=20，
∴m=20−3−4−7−2=4，
众数为8分，中位数是8+82=8(分)．
故答案为：4，8，8；
(2)抽取学生测试成绩的平均数是120×(6×3+7×4+8×7+9×2+10×4)=8(分)，
答：抽取学生测试成绩的平均数是8分；
(3)300×410=120(名)，
答：能得满分的有120名学生．
(1)根据题意求出样本容量为4÷72°360=20，再求出m、众数、中位数即可；
(2)根据加权平均数公式求出答案即可；
(3)先根据题意列出算式，再求出答案即可．
本题考查了众数，中位数，加权平均数，用样本估计总体等知识点，能熟记中位数、众数的定义和平均数的公式是解此题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图，连接OD，AC，

∵AD=CD，OD是半径，
∴OD⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴OD//BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：由题意知，AB=26，
由勾股定理得，AD= AB2−BD2=10，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠DEB，
∵AD=CD，
∴∠ABD=∠DBE，
∴△ABD∽△DBE，
∴ADDE=ABBD，即10DE=2624，
解得，DE=12013，
∴DE的长为12013．
【解析】(1)如图，连接OD，AC，由AD=CDOD是半径，可得OD⊥AC，由AB是⊙O的直径，可得AC⊥BC，则OD/​/BC，DE⊥OD，进而结论得证；
(2)由勾股定理得，AD=10，由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°=∠DEB，证明△ABD∽△DBE，则ADDE=ABBD，即10DE=2624，计算求解即可．
本题考查了直径所对的圆周角为直角，垂径定理，切线的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，垂径定理，切线的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵该抛物线的表达式为y=ax2−2ax−4(a≠0)，
∴y=a(x−1)2−a−4，
∴该抛物线的对称轴为x=1，
∵抛物线y=a(x−1)2−a−4经过点A，且点A在y轴的负半轴上，
∴点A的坐标为(0,−4)，
∵AB/​/OC，对称轴为x=1，
∴点B的坐标为(2,−4)；
∵OC=2OA，
∴C(8,0)，代入y=ax2−2ax−4(a≠0)，
即64a−16a−4=0，
解得：a=112，
∴抛物线C1的函数表达式为y=112x2−16x−4，
(2)存在，理由如下：
∵将抛物线C1向上平移2个单位长度后得到抛物线C2，
∴抛物线C2的函数表达式为y=112x2−16x−2，
∵A(0,−4)，B(2,4)，
∴AB=2，
∴S△ABC=12×2×4=4，
设点D的坐标为(m,112m2−16m−2)，
∵S△OAD=4S△ABC，
∴12OA×|m|=4S△ABC，
∴12×4×|m|=4×4，
解得：m=±8，
当m=8时，112m2−16m−2=112×82−16×8−2=2，
当m=−8时，112m2−16m−2=112×(−8)2+16×8−2=143，
∴点D的坐标为(8,2)或(−8,143)．
【解析】(1)求出抛物线的对称轴为x=1，再根据A的坐标为(0,−4)，AB/​/OC，得出点B的坐标为(2,−4)，根据OC=2OA，得出C(8,0)，待定系数法求解析式即可求解；
(2)根据平移可得抛物线C2的函数表达式为y=112x2−16x−2，先求出S△ABC=12×2×4=4，设点D的坐标为(m,112m2−16m−2)，根据S△OAD=4S△ABC得出m=±8，将m=±8代入112m2−16m−2即可求解．
本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，面积问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
26.【答案】 10−1
【解析】解：(1)连接CO，PO，如图所示：
∵CP+PO≥CO，
∴CP≥CO−PO，
由题意得：OP=OA=OB=12AB=1，CO= AC2+OA2= 10，
∴CP≥ 10−1，
∴CP的最小值为 10−1．
故答案为： 10−1；
(2)由题意得：∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°，
∵∠PAB=∠PCA，
∴∠PCA+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°，
∴∠APC=180°−60°=120°，
∵AC=2，为定值，
以AC为底边作底角为30°的等腰三角形OAC，则点P在以点O为圆心，OA长为半径的圆上运动，如图所示：
∴∠BAO=∠BAC+∠CAO=90°，
OA=OP=OC=12ACcs30∘=23 3，
OB= AB2+AO2=43 3，
∵BP+PO≥BO，
∴BP≥BO−PO=23 3，
即：线段BP长度的最小值为23 3；
(3)连接AE，AF，EF，延长BF，如图所示：
∵∠GEB+∠GBE=90°，点F是△GEB的内心，
∴∠FEB+∠FBA=12(∠GEB+∠GBE)=45°，
∵BE=BA，
∴∠BEA=∠BAE，
∵BF平分∠ABE，
∴BF垂直平分线段AE，
∴FE=FA，
∴∠FEA=∠FAE，
∴∠FAB=∠FEB，
∴∠FAB+∠FBA=45°，
∴∠AFB=180°−(∠FAB+∠FBA)=135°，
∵AB为定值，
以AB为底边等腰直角三角形OAB，则点F在以点O为圆心，OB长为半径的圆上运动，如图所示：
∵DF+FO≥DO，
∴DF≥DO−FO，
∵AB=1000，
∴OF=OA=BO= 22BE=500 2，
∴DF≥DO−500 2，
作DN⊥ON，则AN=ON= 22OA=500，
∴DN=AD+AN=1500，DO= DN2+ON2=500 10，
∴DF≥500 10−500 2．
(1)连接CO，PO，根据CP+PO≥CO即可求解；
(2)由题意可推出∠APC=120°，结合AC=2，为定值以AC为底边作底角为30°的等腰三角形OAC，则点P在以点O为圆心，OA长为半径的圆上运动，据此即可求解；(3)连接AE，AF，EF，延长BF，可推出∠AFB=135°，以AB为底边等腰直角三角形OAB，则点F在以点O为圆心，OB长为半径的圆上运动，据此即可求解；
本题属于圆综合题，考查了与线段最值有关的轨迹圆问题，难度较大，解题关键在于找到“定长+定角度”，从而确定动点的轨迹．x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
−22
−12
−6
m
−6
…
方案
方案①
方案②
测量示意图
测量说明
如图①，测量员在地面上找一点C，在BC连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与AB平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出CE的长度
如图②，测量员在地面上找一点C，沿着BC向前走到点D处，使得CD=AC，沿着AC向前走到点E处，使得CE=BC，测出D、E两点之间的距离
测量结果
CE=20m，BD=CD，CE/​/AB
AC=CD，BC=CE，DE=20m
测试成绩/分
6
7
8
9
10
人数/名
3
4
7
2
m