专题15 直线与圆-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（原卷版）

这是一份专题15 直线与圆-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（原卷版），共11页。试卷主要包含了知识速览，考点速览，两条直线的交点与距离问题，对称问题的求解方法，求圆的方程的两种方法，求过一点的圆的切线方程的方法，求与圆有关的轨迹问题的方法等内容，欢迎下载使用。

一、知识速览
二、考点速览
知识点1 直线的方程
1、直线的倾斜角
（1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2、直线的斜率
（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是eq \f(π,2)的直线没有斜率．
（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
3、直线方程的五种形式
【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
知识点2 两条直线的位置关系
1、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
（2）两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2、两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，
则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3、三种距离公式
（1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
（2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
4、直线系方程的常见类型
（1）过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；
（2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
（3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
（4）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)．
知识点3 圆的方程
1、圆的定义及方程
2、点与圆的位置关系
点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
3、二元二次方程与圆的关系
不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．
若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：
（1）当F＝0时，圆过原点．
（2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．
（3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．
（4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．
知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系及判断
（1）三种位置关系：相交、相切、相离．
（2）两种判断方法：
①eq \x(代数法)eq \(――――――――――――――――→,\s\up9(联立方程得方程组消去x或y),\s\d7(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＞0⇔相交,Δ＝0⇔相切,Δ＜0⇔相离))
②eq \x(几何法)eq \(――――――――――――→,\s\up9(圆心到直线的距离为d),\s\d7(半径为r))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(d＜r⇔相交,d＝r⇔相切,d＞r⇔相离))
2、圆的切线与切线长
（1）过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
（2）过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
（3）切线长
①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，
切线长为 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq \f(2ar,d).
【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
3、圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
（1）几何法：因为半弦长eq \f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2eq \r(r2－d2).
（2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
4、圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
一、直线的倾斜角与斜率范围的求法
1、求倾斜角的取值范围的一般步骤
（1）求出斜率k＝tan α的取值范围．
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2、斜率取值范围的2种求法
（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
【典例1】（22·23高三上·遂宁·期末）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（22·23高三·全国·课时练习）已知过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是 .
【典例3】（22·23高三·全国·课时练习）设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
二、求解直线方程的两种方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程
【典例1】（2023高三·上海浦东新·模拟预测）过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为
【典例2】（2023高三·全国·专题练习）已知一条直线经过点A（2,－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 ；
【典例3】（23·24高三上·全国·课时练习）写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式：
（1）经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍；
（2）经过两点，；
（3）经过点，平行于x轴；
（4）在x轴，y轴上的截距分别为，．
三、由一般式方程确定两直线位置关系的方法
【典例1】（23·24高三上·江苏连云港·阶段练习）“”是“直线：与：平行”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2023高三·湖北·一模）（多选）已知，，直线：，：，且，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2022高三·全国·专题练习）已知直线和，则（ ）
A．和可能重合 B．和不可能垂直
C．存在直线上一点，以为中心旋转后与重合 D．以上都不对
四、两条直线的交点与距离问题
1、求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）点到直线的距离是 ．
【典例2】（22·23高三上·重庆·阶段练习）已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ．
【典例3】（2023高三·全国·专题练习）若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为 ． .
五、对称问题的求解方法
1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))
2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))
4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
【典例1】（22·23高三·全国·对口高考）点关于直线的对称点的坐标为 ．
【典例2】（22·23高三上·河北廊坊·阶段练习）与直线关于点对称的直线的方程为 .
【典例3】（2023高三·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 .
六、求圆的方程的两种方法
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
【典例1】（2023高三·河南·模拟预测）圆心在射线上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【典例2】（2023高三·天津·二模）经过点的圆的方程为 .
七、解决有关弦长问题的常用方法及结论
1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，
则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB| (其中k≠0)．
特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|，
【典例1】（22·23高三上·广东深圳·期中）“”是“直线被圆所截得的弦长等于”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2023高三·全国·专题练习）若直线过点且被圆截得的弦长是6，则该直线的方程为 .
【典例3】（2023高三·湖南·模拟预测）若直线l：与圆C：相交于A，B两点，，则直线l的斜率的取值范围为 .
八、求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；
2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证
【典例1】（23·24高三上·浙江·阶段练习）过圆上点的切线方程为 ．
【典例2】（2023高三·江苏·二模）过点且与圆：相切的直线方程为
九、求与圆有关的轨迹问题的方法
1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；
3、几何法：利用圆的几何性质列方程；
4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
【典例1】（2023高三·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（22·23高三上·甘肃平凉·期中）动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 .
【典例3】（23·24高三上·河南·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为 ．
易错点1 误解“截距”和“距离”的关系
点拨：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是非负数，对此考生应高度重视。
【典例1】（2023高三·全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【典例2】（22·23高三·全国·对口高考）经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是 ．
易错点2 平行线间的距离公式使用不当
点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解．
【典例1】（22·23高三下·上海·阶段练习）平行直线与之间的距离为 ．
【典例2】（2023高三·上海静安·一模）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离是 ．
易错点3 忽视斜率不存在的情况
点拨： (1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解．
(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在．
【典例1】（22·23高三·全国·课时练习）直线与直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合
【典例2】（22·23高三·全国·课时练习）已知两直线，，当m为何值时，与有以下位置关系：
(1)相交；
(2)平行.
易错点4 遗漏方程表示圆的充要条件
点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解．
【典例1】（2023·甘肃定西·模拟预测）若点在圆的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（22·23高三·全国·课时练习）若圆：过坐标原点，则实数的值为（ ）
A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1形式
几何条件
方程
适用范围
点斜式
过一点(x0，y0)，斜率k
y－y0＝k(x－x0)
与x轴不垂直的直线
斜截式
纵截距b，斜率k
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
两点式
过两点(x1，y1)，(x2，y2)
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
与x轴、y轴均不垂直的直线
截距式
横截距a，纵截距b
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
（A2＋B2≠0）
平面直角坐标系内所有直线
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径：r＝eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)
理论依据
点到圆心的距离与半径的大小关系
三种情况
(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(＝)r2⇔点在圆上
(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(>)r2⇔点在圆外
(x0－a)2＋(y0－b)2eq \a\vs4\al(<)r2⇔点在圆内
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)