上海市青浦高级中学2023-2024学年高二下学期5月质量检测数学试卷（学生版+教师版）

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考试时间：120分钟 满分：150分
一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分；第7-12题每题5分）
1. 已知函数，则导函数______.
2. 口袋里装有大小与质地相同的4个红球和8个白球，若甲、乙两人无放回地摸球，由甲先摸1个球，乙再摸1个球，则甲摸到白球的条件下，乙摸到红球的概率是______.
3. 2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师不相邻，则不同排法的种数为______.
4. 随机变量服从二项分布，则______.
5. 已知数列的前项和为，则此数列的通项公式为___________．
6. 若，则x的值为______．
7. 二项式的展开式中，有理项有______项.
8. 已知是公差不为零的等差数列，且，则________
9. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则这名学生在途中遇到至少4次红灯的数概率为______.
10. 四名志愿者参加某博览会三天的活动，若每人参加一天，每天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不能参加，则不同的安排方法一共有____________种（结果用数值表示）
11. 若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有________.
①；②；③；④
12. 将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为______.
二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷100次，第99次抛掷出现反面的概率是（ ）
A B. C. D.
14. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（ ）
A. 在区间上是严格减函数B. 在区间上是严格增函数
C. 是极小值点D. 是极小值点
15. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
A. 甲地：总体均值3，中位数为4B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C. 丙地：中位数为2，众数为3D. 丁地：总体均值为2，总体方差为3
16. 设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（ ）
A. ①正确，②错误B. ①错误，②正确
C. ①②都正确D. ①②都错误
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17. 已知二项式的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是.
（1）求展开式中含的项；
（2）求该二项式展开式的各项系数之和.
18. 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.
（1）求乙离子残留百分比直方图中值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
19. 某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从7名社员中随机选择2名参加友谊赛.新学年友谊赛从10月份开始，此时7名社员中有3名新社员没有参加过此前的友谊赛.
（1）设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望；
（2）求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率.
20. 已知数列与满足（为非零常数），
（1）若是等差数列，求证：数列也是等差数列；
（2）若，，，求数列的前2025项和；
（3）设，，，，求数列的最大项和最小项.
21. 已知、，设函数的表达式为.
（1）设，，求函数在点处切线方程；
（2）设，，集合，记，若在上为严格增函数且对上的任意两个变量s，t，均有成立，求的取值范围；
（3）当，，时，记，其中为正整数.求证：.