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2024年山西省晋中市高考数学一模试卷（含详细答案解析）
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这是一份2024年山西省晋中市高考数学一模试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x2−x−6<0}，B={−2,−1,0,2,4}，则A∩B=( )
A. {−2,−1,0}B. {−2,−1,0,2}C. {x|−22.设复数z=2−i1+3i，则|z|=( )
A. 13B. 23C. 12D. 22
3.在平面直角坐标系xOy中，第二象限角α的终边与单位圆O交于点P(−35,y1)，将角α的终边绕原点顺时针旋转π4，交圆O于点Q(x2,y2)，则x2=( )
A. 210B. − 210C. 7 210D. −7 210
4.已知点A，B在圆C：x2+y2+2mx+2ny=0上，且A，B两点关于直线y=x+2对称，则圆C的半径的最小值为( )
A. 2B. 2C. 1D. 3
5.某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有( )
A. 48种B. 32种C. 24种D. 16种
6.已知平面四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，G，H，且AB2+CD2=AD2+BC2，则四边形EFGH一定为( )
A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 直角梯形
7.一个24位数的30次方根是一个整数n，根据下列参考数据可知n的值为( )
(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg7≈0.845)
A. 5B. 6C. 7D. 8
8.已知函数f(x)=2sin2ωx2+sinωx，ω∈[23,1]，则下列说法正确的是( )
A. f(x)在区间(0,π2)上一定有最大值B. f(x)在区间(0,π2)上一定有最小值
C. f(x)在区间(9π8,7π4)上一定单调D. f(x)在区间(9π8,7π4)上不一定单调
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某工厂通过改进生产工艺，最终使某产品的合格率达到99%.该工厂于2023年12月份接到某企业的生产订单，从2024年1月开始生产该产品，第一个月产量为1万件，以后每个月的产量都在前一个月的基础上提高10%，则下列说法正确的是( )
(参考数据：1.112≈3.14)
A. 从2024年1月份开始每个月的产量成等差数列
B. 从2024年1月份开始每个月的产量成等比数列
C. 2024年全年每个月生产的不合格产品数都不会超过300
D. 2024年全年中可能存在某个月生产的不合格产品数超过300
10.下列说法正确的是( )
A. 设随机变量X的均值为μ，a是不等于μ的常数，则X相对于μ的偏离程度小于X相对于a的偏离程度
B. 若一组数据x1，x2，…，xn的方差为0，则所有数据xi(i=1,2,…，n)都相同
C. 用决定系数R2比较两个回归模型的拟合效果时，R2越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好
D. 在对两个分类变量进行χ2独立性检验时，如果列联表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变
11.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过点E，F的平面分别与棱BB1，DD1交于点G，H，则下列说法正确的是( )
A. 四边形EGFH的面积的最小值为1
B. 平面EGFH与平面ABCD所成角的最大值为60∘
C. 四棱锥C1−EGFH的体积为定值13
D. 点B1到平面EGFH的距离的最大值为 62
12.已知函数f(x)=x−12,x<1,2f(x2),x≥1,则下列说法正确的是( )
A. f(x)为增函数B. 方程f(x)=−x2+1有两个实根
C. f(x)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(1,2)在C上，则|AF|=______.
14.已知函数f(x)=|(12)x+a+b|的图象经过坐标原点，且当x趋向于正无穷大时，f(x)的图象无限接近于直线y=2，但又不与该直线相交，则a=______.
15.已知随机变量ξ∼N(μ,σ2)，设函数f(x)=P(ξ≥x+2)，且f(x)满足f(x)+f(−x)=1，则μ=______.
16.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，焦距为2，F1，F2分别为其左、右焦点，P是E上位于第二象限内的点，过点P作E的切线交直线x=2于点Q，则直线PF2与直线QF1的斜率之积为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足_____.
①(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC；②bsinB+C2=asinB.
从这两个条件中任选一个补充在上而的题目中，并解决下列问题：
(Ⅰ)求角A；
(Ⅱ)若D为BC边上一点，且AD=BD=2CD，求tanB.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
18.(本小题12分)
已知数列{an}的首项a1=2，且an+1=nan+1n+1.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)令bn={nan,n为奇数,nan2n2,n为偶数,求数列{bn}的前2n项和S2n.
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=3，BC=4，点E在棱PD上，且PEED=2，F为棱PC的中点.
(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；
(Ⅱ)设平面AEF与棱PB交于点G，求PGPB的值.
20.(本小题12分)
为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛.决赛采用五局三胜制的比赛规则(先赢得3局的队伍获胜并结束比赛).已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为p(0(Ⅰ)若p=23，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的分布列及均值；
(Ⅱ)若比赛打满5局的概率记为f(p)，求f(p)的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义.
21.(本小题12分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 52，焦点到渐近线的距离为1.
(Ⅰ)求C的方程.
(Ⅱ)过点M(3,0)的直线l与C交于不同的两点A，B，问：在x轴上是否存在一个定点P，使得PA⋅PB为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−a(x−1)x+1.
(Ⅰ)若当x∈(1,+∞)时，f(x)>0，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)求证：ln2+ln87+ln1817+⋯+ln2n22n2−1>1−12n+1.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题可知A={x|−2故选：D.
先求出集合A，然后结合集合的交集运算即可求解．
本题考查集合的运算及一元二次不等式的解法，集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：z=2−i1+3i=(2−i)(1−3i)(1+3i)(1−3i)=−1−7i10=−110−710i，
则|z|= (−110)2+(−710)2= 50100= 12= 22，
故选：D.
根据复数的运算法则进行转化，结合复数模长公式进行计算即可．
本题主要考查复数模长的计算，结合复数运算法则进行转化是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由三角函数的定义可知csα=−35，从而y1=sinα=45，
于是x2=cs(α−π4)= 22(csα+sinα)= 22×15= 210.
故选：A.
利用任意角的三角函数的定义求解．
本题主要考查了三角函数的定义及三角恒等变换，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：设圆C的半径为r.由题可知圆心(−m,−n)在直线y=x+2上，于是n=m−2，
则r2=m2+n2=m2+(m−2)2=2m2−4m+4=2(m−1)2+2，
当m=1时，r2取得最小值2，故r的最小值为 2.
故选：B.
求出圆的圆心，判断圆与直线的位置关系，然后求解半径的最小值即可．
本题考查圆的方程与性质及二次函数的最值，是中档题．
5.【答案】B
【解析】解：当老师从左到右排在第二或第四位时，共有C21C41A22=16种排法，
当老师从左到右排在第三位时，共有C41C21A22=16种排法，
于是共有16+16=32种排法．
故选：B.
利用分类加法计数原理求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意结合中位线定理可得HG//AC,HG=12AC,EF//AC,EF=12AC，
所以HG//EF，HG=EF，即四边形EFGH为平行四边形，
∵BC=BA+AD+DC，
∴AB2+CD2=AD2+BC2=AD2+(BA+AD+DC)2=AD2+BA2+AD2+DC2+2BA⋅AD+2BA⋅DC+2AD⋅DC，
∴AD2+BA⋅AD+BA⋅DC+AD⋅DC=0，
∴AD⋅(AD+DC)+BA⋅(AD+DC)=0，
∴(AD+BA)⋅AC=0，即BD⋅AC=0，即BD⊥AC，
所以BD⊥AC，又HG//AC，所以BD⊥HG，
同理由中位线定理可得HE//BD，所以HE⊥HG，
故四边形EFGH为矩形．
故选：C.
由中位线定理可得四边形EFGH为平行四边形，结合已知以及BC=BA+AD+DC，化简整理得BD⋅AC=0，即BD⊥AC，进一步即可得解．
本题考查了向量在几何中的应用，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：设这个24位数为x，于是30x=n，x=n30，
又1023≤x<1024，
∴1023≤n30<1024，23≤30lgn<24，
∴2330≤lgn<2430=45，
∵lg7≈0.845>45，lg6=lg2+lg3≈0.778>2330，
∴n=6.
故选：B.
设这个24位数为x，于是30x=n，x=n30，然后结合对数的运算性质即可求解．
本题考查指对数的运算，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：f(x)=2sin2ωx2+sinωx=sinωx−csωx+1= 2sin(ωx−π4)+1，
对于选项A，B，当x∈(0,π2)时，ωx−π4∈(−π4,πω2−π4)，
∵ω∈[23,1]，∴πω2−π4∈[π12,π4]，
∴f(x)在区间(0,π2)上单调，无最值，
故A错误，B错误，
对于选项C，D，当x∈(9π8,7π4)时，ωx−π4∈(9πω8−π4,7πω4−π4)，
∵ω∈[23,1]，∴9πω8−π4∈[π2,7π8]，7πω4−π4∈[11π12,3π2]，
∴f(x)在区间(9π8,7π4)上一定单调，
故C正确，D错误．
故选：C.
先化简f(x)，再结合正弦函数的图象和性质求解．
本题主要考查了三角函数的图象及性质，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：由题意得，2024年第n个月的产量为104×1.1n−1件，
设an=104×1.1n−1，则anan−1=1.1，即从2024年1月份开始每个月的产量成等比数列，A错误，B正确；
因为函数y=104×1.1n−1是增函数，
故n=12时，产量达到最大值104×1.111件，
于是该月的不合格产品数为104×1.111×1%=1.111×100=1.1121.1×100≈285<300.
故选：BC.
由已知结合等比数列的定义及数列的单调性检验各选项即可判断．
本题考查等比数列的概念，还考查了数列单调性的定义的应用，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，由均值的性质可知E(X−a)2=E(X−μ)2+(a−μ)2，由于a是不等于μ的常数，故可得E(X−a)2>E(X−μ)2，
即X相对于μ的偏离程度小于X相对于a的偏离程度，故A正确；
对于B，根据方差公式s2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(xn−x−)2]，可知若一组数据x1，x2，…，xn的方差为0，则x1=x2=…=xn，故B正确；
对于C，由决定系数的定义可知，C正确；
对于D，χ2的值变为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论可能发生改变，故D错误．
故选：ABC.
根据均值的性质可判断A，根据方差的定义可判断B，根据决定系数的定义可判断C，根据χ2的计算公式可判断D.
本题主要考查了随机变量均值的性质，考查了方差的定义，以及独立性检验的性质，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，如图连接EF，GH，
因为平面A1D1DA//平面B1C1CB，平面EHFG∩A1D1DA=EH，平面EHFG∩B1C1CB=GF，
所以EH//GF，
又平面A1B1BA//D1C1CD，平面EHFG∩平面A1B1BA=EG，平面EHFG∩D1C1CD=HF，
所以EG//HF，
所以四边形EGFH为平行四边形，
因为AC⊥BD，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以BB1⊥AC，BD∩BB1=B，BD、BB1⊂平面D1B1BD，
所以AC⊥平面D1B1BD，又EF//AC，
所以EF⊥平面D1B1BD，HGC平面D1B1BD，
所以EF⊥HG，
所以边形EGFH为菱形，
故S菱形EGFH=12EF×GH= 22GH，因为GHmin= 2，所以S菱形EGFH最小为1，故A正确；
对于B，平面EGFH与平面ABCD所成的角即BD与GH所成的角，
最大角为∠D1BD，而tan∠D1BD= 2< 3，所以∠D1BD<60∘，故B错误；
对于C，VC1−EGFH=2VC1−EGF=2VE−GFC1=2×13S△GFC1×AB=2×13×12×FC1×BC×AB=13，
故C正确；
对于D，VB1−EGFH=2VB1−EGF=2VE−GFB1=2×13S△GFB1×AB=2×13×12×GB1×BC×AB=13GB1，
如上图，设点B1到平面EGFH的距离为h，B1G=x，只需考虑x∈(0,2]的情况，
因为VB1−EGFH=13SEGFH×h=13×12EF×GH×h= 26GH×h，
又GH= (2x−2)2+2= 4x2−8x+6，
故h= 2B1GGH= 2x 4x2−8x+6= 2 4−8x+6x2，
因为x∈(0,2],所以当x=32时，有hmax= 62，故D正确．
故选：ACD.
连接EF，GH，连接EF，GH，四边形EGFH为菱形，S菱形EGFH=12EF×GH= 22GH求出GHmin可判断A；平面EGFH与平面ABCD所成的角即BD与GH所成的角，最大角为∠D1BD，求出tan∠D1BD可判断B；根据等体积法可判断C；根据VB1−EGFH=2VB1−EGF=2VE−GF，设点B1到平面EGFH的距离为h，B1G=x，只需考虑x∈(0,2]的情况，求出h可判断D.
本题考查立体几何中的截面问题和角、距离、体积的计算问题，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：当1≤x<2时，x2∈[12,1),则f(x)=2(x−12)=x−1，
当2≤x<4，x2∈[1,2),f(x)=2(12x−1)=x−2,,
可以画出f(x)的大致图象如图，
则f(x)在定义域内不是增函数，故A错误；
利用函数图象可得y=f(x)与y=−x2+1有两个交点，故B正确；
在图象中作出y=12x，利用函数图象可得f(x)由f(x)的零点可知，当n∈N*，f(2n)=0，故D错误．
故选：BC.
画出图象，结合函数的性质、方程的根与函数的零点进行求解．
本题主要考查分段函数的性质，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：由题可知22=2p，p=2，
所以|AF|=1+p2=1+1=2.
故答案为：2.
由已知求出p，根据抛物线的定义即可求解．
本题考查抛物线的性质，属于基础题．
14.【答案】−1
【解析】解：根据题意，函数f(x)=|(12)x+a+b|的图象经过坐标原点，
则有(12)a+b=0，必有b=−(12)a<0，
当x趋向于正无穷大时，函数y=(12)x+a的图象无限接近于直线y=0，
则y=(12)x+a+b的图象无限接近于直线y=b，
故函数f(x)的图象无限接近于直线y=−b，则有−b=2，故b=−2，
又由b=−(12)a=−2，则a=−1.
故答案为：−1.
根据题意，由f(x)的图象经过原点可得(12)a+b=0，必有b=−(12)a<0，由指数函数以及函数图象变换的规律，分析求出b的值，进而求出a的值，即可得答案．
本题考查函数的图象变换，涉及指数函数的性质，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】解：根据题意，f(x)=P(ξ≥x+2)，则f(−x)=P(ξ≥−x+2)，
又由f(x)+f(−x)=1，则P(ξ≥x+2)+P(ξ≥−x+2)=1，
变形可得P(ξ≥x+2)=P(ξ≤−x+2)，则−x+2与x+2关于x=μ对称，
必有μ=−x+2+x+22=2.
故答案为：2.
根据题意，分析可得P(ξ≥x+2)+P(ξ≥−x+2)=1，变形可得P(ξ≥x+2)=P(ξ≤−x+2)，结合正态分布的对称性分析可得答案．
本题考查正态分布的性质，涉及函数的对称性，属于基础题．
16.【答案】−13
【解析】解：已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，焦距为2，
则ca= 222c=2，
即a= 2c=1，
则b= a2−c2=1，
即椭圆E的方程为x22+y2=1，
则F1(−1,0)，F2(1,0)，
设P(x0,y0)(− 2则过点P的椭圆的切线方程为x0x2+y0y=1，
又过点P作E的切线交直线x=2于点Q，
则Q(2,1−x0y0)，
所以kPF2=y0x0−1，kQF1=1−x03y0，
所以kPF2⋅kOF1=−13.
故答案为：−13.
由椭圆的性质，结合直线与椭圆的位置关系及斜率公式求解．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了直线与椭圆的位置关系及斜率公式，属中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)选①：由正弦定理得(b−c)2=a2−bc，
化简得b2+c2−a2=bc，
由余弦定理得b2+c2−a2=2bccsA，
可得csA=12，又A∈(0,π)，
所以A=π3；
选②：由正弦定理得sinBsinB+C2=sinAsinB，
因为sinB≠0，所以sinB+C2=sinA，
即csA2=sinA=2sinA2csA2，
因为A∈(0,π)，所以csA2≠0，sinA2=12，
可得A2=π6，
即A=π3；
(Ⅱ)因为AD=BD，所以∠BAD=∠B，
在△ADC中，∠DAC=π3−B，C=2π3−B，
由正弦定理可得：ADsinC=CDsin∠DAC，即ADsin(2π3−B)=CDsin(π3−B)，
又AD=2CD，得sin(2π3−B)=2sin(π3−B)，
整理化简得：32sinB= 32csB，
即tanB= 33.
【解析】(Ⅰ)若选①，由正弦定理和余弦定理可得csB的值，由角B的范围，可得角B的大小；若选②，由正弦定理可得sinA2=12，再由角A的范围，可得角A的大小；
(Ⅱ)AD=BD，所以∠BAD=∠B，由正弦定理可得sin(2π3−B)=2sin(π3−B)，整理可得tanB的值．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵an+1=nan+1n+1，
∴(n+1)an+1=nan+1，
令cn=nan，则有cn+1−cn=1.
于是数列{cn}是首项为2，公差为1的等差数列，
故cn=2+n−1=n+1，
于是an=cnn=n+1n；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知bn={n+1,n为奇数,n+12n2,n为偶数,，
则在前2n项中，S奇=b1+b3+b5+⋅⋅⋅+b2n−1=2+4+6+⋅⋅⋅+2n=(2+2n)n2=n(n+1)，
S偶=b2+b4+b6+⋅⋅⋅+b2n=321+522+723+⋅⋅⋅+2n+12n，
12S偶=322+523+724+⋅⋅⋅+2n+12n+1，
作差得12S偶=321+222+223+⋅⋅⋅+22n−2n+12n+1
=32+12[1−(12)n−1]1−12−2n+12n+1=52−2n+52n+1，
∴S偶=5−2n+52n，
则数列{bn}的前2n项和S2n=n2+n+5−2n+52n.
【解析】(Ⅰ)由已知结合数列的递推关系看，结合等差数列的通项公式即可求解；
(Ⅱ)先求bn，然后利用分组求和及错位相减求和即可求解．
本题考查了等差数列的通项公式，还考查了错位相减求和，属于中档题．
19.【答案】(Ⅰ)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，且PA∩AD=A，
可证得CD⊥平面PAD；
(Ⅱ)解：在线段BC上取点H，使BH=1，连接AH，则AH，AD，AP两两互相垂直，
以A为坐标原点，AH，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(3,−1,0)，C(3,3,0)，D(0,3,0)，P(0,0,3)，E(0,2,1)，F(32,32,32)，
设PG=λPB(0≤λ≤1)，
可得PB=(3,−1,−3)，所以G(3λ,−λ,3−3λ)，
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，
因为AE=(0,2,1)，AF=(32,32,32)，
则n⋅AE=0n⋅AF=0，即2y+z=032x+32y+32z=0，
令x=1，则n=(1,1,−2)，
因为AG=(3λ,−λ,3−3λ)，
因为平面AEF与棱PB交于点G，即AG⊂平面AEF，
可得n⊥AG，即n⋅AG=0，
所以3λ−λ−2(3−3λ)=0，解得λ=34，
即PGPB=34.
【解析】(Ⅰ)由PA⊥平面ABCD，可证得PA⊥CD，又CD⊥AD，且PA∩AD=A，可证得结论；
(Ⅱ)在线段BC上取点H，使BH=1，连接AH，则AH，AD，AP两两互相垂直，可建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，可得平面AEF的法向量n的坐标，进而可得n⊥AG，即n⋅AG=0，求出PGPB的值．
本题考查线面垂直的证法及空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)由题知，X的所有可能取值为0，1，2，3；
计算P(X=0)=C30⋅(13)3=127，P(X=1)=C31⋅23⋅(13)3=227，
P(X=2)=C42⋅(23)2⋅(13)3=881，P(X=3)=(23)3+C32⋅13⋅(23)3+C42⋅(13)2⋅(23)3=6481.
所以X的分布列为：
计算X的数学期望为E(X)=0×127+1×227+2×881+3×6481=21481.
(Ⅱ)由题知，f(p)=C42p2(1−p)2=6p2(1−p)2.
因为6p2(1−p)2≤6(p+1−p2)4=38，
当且仅当p=1−p，即p=12时，f(p)取得最大值38.
实际意义：比赛双方水平越接近，他们决出胜负需要的局数相对越多．
【解析】(Ⅰ)由题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．
(Ⅱ)由题意写出函数f(p)，利用基本不等式求出f(p)的最大值，并解释实际意义即可．
本题考查了随机变量的分布列与函数的最值计算问题，是中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)设双曲线C的半焦距为c(c>0).
由题可知a2+b2=c2,ca= 52,bc a2+b2=1,解得a=2b=1，
故C的方程为x24−y2=1.
(Ⅱ)①当l的倾斜角为0，即l为x轴时，不妨设A(−2,0)，B(2,0)，取P(4724,0)，此时PA⋅PB=(4724)2−4.
②当直线l的倾斜角不为0时，设直线l的方程为x=ty+3.
联立直线与双曲线的方程可得x=ty+3x24−y2=1，
消去x，整理可得(t2−4)y2+6ty+5=0.
显然t2≠4且Δ>0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y1+y2=−6tt2−4，y1y2=5t2−4.
设P(m,0).PA⋅PB=(x1−m,y1)⋅(x2−m,y2)
=(x1−m)(x2−m)+y1y2=(ty1+3−m)(ty2+3−m)+y1y2
=(t2+1)y1y2+t(3−m)(y1+y2)+(3−m)2
=(t2+1)5t2−4+t(3−m)−6tt2−4+(3−m)2
=−4t2−31+m2t2−4m2+24mt2−4=m2−4+24m−47t2−4，
当m=4724时，PA⋅PB=(4724)2−4，为定值．
综上，当P点的坐标为(4724,0)时，PA⋅PB为定值．
【解析】(1)依题意列出关于a、b、c的方程组，解之即得；
(2)设直线l的横截距方程，与双曲线方程联立，设出A、B的坐标，写出根与系数的关系，不妨假设存在点P，求出PA,PB的表达式，代入根与系数的关系式，化简计算即可求解．
本题考查了双曲线的方程与性质，考查了直线与双曲线的综合，考查了方程思想，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=lnx−a(x−1)x+1，得f′(x)=x2+(2−2a)x+1x(x+1)2，
令g(x)=x2+(2−2a)x+1，其图象的对称轴为直线x=a−1.
当a−1>1，即a>2时，g(x)在(1,a−1)单调递减，在(a−1,+∞)单调递增，
又g(1)=2(2−a)<0，∴当x∈(1,a−1)时，g(x)<0恒成立，
∴f′(x)<0恒成立，f(x)在(1,a−1)单调递减，
又f(1)=0，∴当x∈(1,a−1)时，f(x)<0，与已知矛盾，舍去；
当a−1≤1，即a≤2时，g(x)在(1,+∞)单调递增，又g(1)=2(2−a)≥0，
∴当x∈(1,+∞)时，g(x)>0恒成立，∴f′(x)>0恒成立，
∴f(x)在(1,+∞)单调递增，又f(1)=0，∴f(x)>0恒成立．
综上，a的取值范围为(−∞,2].
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知，当x∈(1,+∞)时，lnx>2(x−1)x+1，
∴ln2n22n2−1>2(2n22n2−1−1)2n22n2−1+1=24n2−1=12n−1−12n+1，
∴ln2+ln87+ln1817+⋅⋅⋅+ln2n22n2−1
>1−13+13−15+15−17+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1
=1−12n+1.
【解析】(Ⅰ)对f(x)求导数，判断f(x)的单调性，根据当x∈(1,+∞)时，f(x)>0，求出a的取值范围；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当x∈(1,+∞)时，lnx>2(x−1)x+1，再由ln2n22n2−1>2(2n22n2−1−1)2n22n2−1+1=24n2−1=12n−1−12n+1，证明不等式即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．X
0
1
2
3
P
127
227
881
6481
1.已知集合A={x|x2−x−6<0}，B={−2,−1,0,2,4}，则A∩B=( )
A. {−2,−1,0}B. {−2,−1,0,2}C. {x|−2
A. 13B. 23C. 12D. 22
3.在平面直角坐标系xOy中，第二象限角α的终边与单位圆O交于点P(−35,y1)，将角α的终边绕原点顺时针旋转π4，交圆O于点Q(x2,y2)，则x2=( )
A. 210B. − 210C. 7 210D. −7 210
4.已知点A，B在圆C：x2+y2+2mx+2ny=0上，且A，B两点关于直线y=x+2对称，则圆C的半径的最小值为( )
A. 2B. 2C. 1D. 3
5.某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有( )
A. 48种B. 32种C. 24种D. 16种
6.已知平面四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，G，H，且AB2+CD2=AD2+BC2，则四边形EFGH一定为( )
A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 直角梯形
7.一个24位数的30次方根是一个整数n，根据下列参考数据可知n的值为( )
(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg7≈0.845)
A. 5B. 6C. 7D. 8
8.已知函数f(x)=2sin2ωx2+sinωx，ω∈[23,1]，则下列说法正确的是( )
A. f(x)在区间(0,π2)上一定有最大值B. f(x)在区间(0,π2)上一定有最小值
C. f(x)在区间(9π8,7π4)上一定单调D. f(x)在区间(9π8,7π4)上不一定单调
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某工厂通过改进生产工艺，最终使某产品的合格率达到99%.该工厂于2023年12月份接到某企业的生产订单，从2024年1月开始生产该产品，第一个月产量为1万件，以后每个月的产量都在前一个月的基础上提高10%，则下列说法正确的是( )
(参考数据：1.112≈3.14)
A. 从2024年1月份开始每个月的产量成等差数列
B. 从2024年1月份开始每个月的产量成等比数列
C. 2024年全年每个月生产的不合格产品数都不会超过300
D. 2024年全年中可能存在某个月生产的不合格产品数超过300
10.下列说法正确的是( )
A. 设随机变量X的均值为μ，a是不等于μ的常数，则X相对于μ的偏离程度小于X相对于a的偏离程度
B. 若一组数据x1，x2，…，xn的方差为0，则所有数据xi(i=1,2,…，n)都相同
C. 用决定系数R2比较两个回归模型的拟合效果时，R2越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好
D. 在对两个分类变量进行χ2独立性检验时，如果列联表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变
11.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过点E，F的平面分别与棱BB1，DD1交于点G，H，则下列说法正确的是( )
A. 四边形EGFH的面积的最小值为1
B. 平面EGFH与平面ABCD所成角的最大值为60∘
C. 四棱锥C1−EGFH的体积为定值13
D. 点B1到平面EGFH的距离的最大值为 62
12.已知函数f(x)=x−12,x<1,2f(x2),x≥1,则下列说法正确的是( )
A. f(x)为增函数B. 方程f(x)=−x2+1有两个实根
C. f(x)
13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(1,2)在C上，则|AF|=______.
14.已知函数f(x)=|(12)x+a+b|的图象经过坐标原点，且当x趋向于正无穷大时，f(x)的图象无限接近于直线y=2，但又不与该直线相交，则a=______.
15.已知随机变量ξ∼N(μ,σ2)，设函数f(x)=P(ξ≥x+2)，且f(x)满足f(x)+f(−x)=1，则μ=______.
16.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，焦距为2，F1，F2分别为其左、右焦点，P是E上位于第二象限内的点，过点P作E的切线交直线x=2于点Q，则直线PF2与直线QF1的斜率之积为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足_____.
①(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC；②bsinB+C2=asinB.
从这两个条件中任选一个补充在上而的题目中，并解决下列问题：
(Ⅰ)求角A；
(Ⅱ)若D为BC边上一点，且AD=BD=2CD，求tanB.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
18.(本小题12分)
已知数列{an}的首项a1=2，且an+1=nan+1n+1.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)令bn={nan,n为奇数,nan2n2,n为偶数,求数列{bn}的前2n项和S2n.
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=3，BC=4，点E在棱PD上，且PEED=2，F为棱PC的中点.
(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；
(Ⅱ)设平面AEF与棱PB交于点G，求PGPB的值.
20.(本小题12分)
为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛.决赛采用五局三胜制的比赛规则(先赢得3局的队伍获胜并结束比赛).已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为p(0
(Ⅱ)若比赛打满5局的概率记为f(p)，求f(p)的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义.
21.(本小题12分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 52，焦点到渐近线的距离为1.
(Ⅰ)求C的方程.
(Ⅱ)过点M(3,0)的直线l与C交于不同的两点A，B，问：在x轴上是否存在一个定点P，使得PA⋅PB为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−a(x−1)x+1.
(Ⅰ)若当x∈(1,+∞)时，f(x)>0，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)求证：ln2+ln87+ln1817+⋯+ln2n22n2−1>1−12n+1.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题可知A={x|−2
先求出集合A，然后结合集合的交集运算即可求解．
本题考查集合的运算及一元二次不等式的解法，集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：z=2−i1+3i=(2−i)(1−3i)(1+3i)(1−3i)=−1−7i10=−110−710i，
则|z|= (−110)2+(−710)2= 50100= 12= 22，
故选：D.
根据复数的运算法则进行转化，结合复数模长公式进行计算即可．
本题主要考查复数模长的计算，结合复数运算法则进行转化是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由三角函数的定义可知csα=−35，从而y1=sinα=45，
于是x2=cs(α−π4)= 22(csα+sinα)= 22×15= 210.
故选：A.
利用任意角的三角函数的定义求解．
本题主要考查了三角函数的定义及三角恒等变换，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：设圆C的半径为r.由题可知圆心(−m,−n)在直线y=x+2上，于是n=m−2，
则r2=m2+n2=m2+(m−2)2=2m2−4m+4=2(m−1)2+2，
当m=1时，r2取得最小值2，故r的最小值为 2.
故选：B.
求出圆的圆心，判断圆与直线的位置关系，然后求解半径的最小值即可．
本题考查圆的方程与性质及二次函数的最值，是中档题．
5.【答案】B
【解析】解：当老师从左到右排在第二或第四位时，共有C21C41A22=16种排法，
当老师从左到右排在第三位时，共有C41C21A22=16种排法，
于是共有16+16=32种排法．
故选：B.
利用分类加法计数原理求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意结合中位线定理可得HG//AC,HG=12AC,EF//AC,EF=12AC，
所以HG//EF，HG=EF，即四边形EFGH为平行四边形，
∵BC=BA+AD+DC，
∴AB2+CD2=AD2+BC2=AD2+(BA+AD+DC)2=AD2+BA2+AD2+DC2+2BA⋅AD+2BA⋅DC+2AD⋅DC，
∴AD2+BA⋅AD+BA⋅DC+AD⋅DC=0，
∴AD⋅(AD+DC)+BA⋅(AD+DC)=0，
∴(AD+BA)⋅AC=0，即BD⋅AC=0，即BD⊥AC，
所以BD⊥AC，又HG//AC，所以BD⊥HG，
同理由中位线定理可得HE//BD，所以HE⊥HG，
故四边形EFGH为矩形．
故选：C.
由中位线定理可得四边形EFGH为平行四边形，结合已知以及BC=BA+AD+DC，化简整理得BD⋅AC=0，即BD⊥AC，进一步即可得解．
本题考查了向量在几何中的应用，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：设这个24位数为x，于是30x=n，x=n30，
又1023≤x<1024，
∴1023≤n30<1024，23≤30lgn<24，
∴2330≤lgn<2430=45，
∵lg7≈0.845>45，lg6=lg2+lg3≈0.778>2330，
∴n=6.
故选：B.
设这个24位数为x，于是30x=n，x=n30，然后结合对数的运算性质即可求解．
本题考查指对数的运算，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：f(x)=2sin2ωx2+sinωx=sinωx−csωx+1= 2sin(ωx−π4)+1，
对于选项A，B，当x∈(0,π2)时，ωx−π4∈(−π4,πω2−π4)，
∵ω∈[23,1]，∴πω2−π4∈[π12,π4]，
∴f(x)在区间(0,π2)上单调，无最值，
故A错误，B错误，
对于选项C，D，当x∈(9π8,7π4)时，ωx−π4∈(9πω8−π4,7πω4−π4)，
∵ω∈[23,1]，∴9πω8−π4∈[π2,7π8]，7πω4−π4∈[11π12,3π2]，
∴f(x)在区间(9π8,7π4)上一定单调，
故C正确，D错误．
故选：C.
先化简f(x)，再结合正弦函数的图象和性质求解．
本题主要考查了三角函数的图象及性质，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：由题意得，2024年第n个月的产量为104×1.1n−1件，
设an=104×1.1n−1，则anan−1=1.1，即从2024年1月份开始每个月的产量成等比数列，A错误，B正确；
因为函数y=104×1.1n−1是增函数，
故n=12时，产量达到最大值104×1.111件，
于是该月的不合格产品数为104×1.111×1%=1.111×100=1.1121.1×100≈285<300.
故选：BC.
由已知结合等比数列的定义及数列的单调性检验各选项即可判断．
本题考查等比数列的概念，还考查了数列单调性的定义的应用，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，由均值的性质可知E(X−a)2=E(X−μ)2+(a−μ)2，由于a是不等于μ的常数，故可得E(X−a)2>E(X−μ)2，
即X相对于μ的偏离程度小于X相对于a的偏离程度，故A正确；
对于B，根据方差公式s2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(xn−x−)2]，可知若一组数据x1，x2，…，xn的方差为0，则x1=x2=…=xn，故B正确；
对于C，由决定系数的定义可知，C正确；
对于D，χ2的值变为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论可能发生改变，故D错误．
故选：ABC.
根据均值的性质可判断A，根据方差的定义可判断B，根据决定系数的定义可判断C，根据χ2的计算公式可判断D.
本题主要考查了随机变量均值的性质，考查了方差的定义，以及独立性检验的性质，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，如图连接EF，GH，
因为平面A1D1DA//平面B1C1CB，平面EHFG∩A1D1DA=EH，平面EHFG∩B1C1CB=GF，
所以EH//GF，
又平面A1B1BA//D1C1CD，平面EHFG∩平面A1B1BA=EG，平面EHFG∩D1C1CD=HF，
所以EG//HF，
所以四边形EGFH为平行四边形，
因为AC⊥BD，BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以BB1⊥AC，BD∩BB1=B，BD、BB1⊂平面D1B1BD，
所以AC⊥平面D1B1BD，又EF//AC，
所以EF⊥平面D1B1BD，HGC平面D1B1BD，
所以EF⊥HG，
所以边形EGFH为菱形，
故S菱形EGFH=12EF×GH= 22GH，因为GHmin= 2，所以S菱形EGFH最小为1，故A正确；
对于B，平面EGFH与平面ABCD所成的角即BD与GH所成的角，
最大角为∠D1BD，而tan∠D1BD= 2< 3，所以∠D1BD<60∘，故B错误；
对于C，VC1−EGFH=2VC1−EGF=2VE−GFC1=2×13S△GFC1×AB=2×13×12×FC1×BC×AB=13，
故C正确；
对于D，VB1−EGFH=2VB1−EGF=2VE−GFB1=2×13S△GFB1×AB=2×13×12×GB1×BC×AB=13GB1，
如上图，设点B1到平面EGFH的距离为h，B1G=x，只需考虑x∈(0,2]的情况，
因为VB1−EGFH=13SEGFH×h=13×12EF×GH×h= 26GH×h，
又GH= (2x−2)2+2= 4x2−8x+6，
故h= 2B1GGH= 2x 4x2−8x+6= 2 4−8x+6x2，
因为x∈(0,2],所以当x=32时，有hmax= 62，故D正确．
故选：ACD.
连接EF，GH，连接EF，GH，四边形EGFH为菱形，S菱形EGFH=12EF×GH= 22GH求出GHmin可判断A；平面EGFH与平面ABCD所成的角即BD与GH所成的角，最大角为∠D1BD，求出tan∠D1BD可判断B；根据等体积法可判断C；根据VB1−EGFH=2VB1−EGF=2VE−GF，设点B1到平面EGFH的距离为h，B1G=x，只需考虑x∈(0,2]的情况，求出h可判断D.
本题考查立体几何中的截面问题和角、距离、体积的计算问题，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：当1≤x<2时，x2∈[12,1),则f(x)=2(x−12)=x−1，
当2≤x<4，x2∈[1,2),f(x)=2(12x−1)=x−2,,
可以画出f(x)的大致图象如图，
则f(x)在定义域内不是增函数，故A错误；
利用函数图象可得y=f(x)与y=−x2+1有两个交点，故B正确；
在图象中作出y=12x，利用函数图象可得f(x)
故选：BC.
画出图象，结合函数的性质、方程的根与函数的零点进行求解．
本题主要考查分段函数的性质，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：由题可知22=2p，p=2，
所以|AF|=1+p2=1+1=2.
故答案为：2.
由已知求出p，根据抛物线的定义即可求解．
本题考查抛物线的性质，属于基础题．
14.【答案】−1
【解析】解：根据题意，函数f(x)=|(12)x+a+b|的图象经过坐标原点，
则有(12)a+b=0，必有b=−(12)a<0，
当x趋向于正无穷大时，函数y=(12)x+a的图象无限接近于直线y=0，
则y=(12)x+a+b的图象无限接近于直线y=b，
故函数f(x)的图象无限接近于直线y=−b，则有−b=2，故b=−2，
又由b=−(12)a=−2，则a=−1.
故答案为：−1.
根据题意，由f(x)的图象经过原点可得(12)a+b=0，必有b=−(12)a<0，由指数函数以及函数图象变换的规律，分析求出b的值，进而求出a的值，即可得答案．
本题考查函数的图象变换，涉及指数函数的性质，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】解：根据题意，f(x)=P(ξ≥x+2)，则f(−x)=P(ξ≥−x+2)，
又由f(x)+f(−x)=1，则P(ξ≥x+2)+P(ξ≥−x+2)=1，
变形可得P(ξ≥x+2)=P(ξ≤−x+2)，则−x+2与x+2关于x=μ对称，
必有μ=−x+2+x+22=2.
故答案为：2.
根据题意，分析可得P(ξ≥x+2)+P(ξ≥−x+2)=1，变形可得P(ξ≥x+2)=P(ξ≤−x+2)，结合正态分布的对称性分析可得答案．
本题考查正态分布的性质，涉及函数的对称性，属于基础题．
16.【答案】−13
【解析】解：已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 22，焦距为2，
则ca= 222c=2，
即a= 2c=1，
则b= a2−c2=1，
即椭圆E的方程为x22+y2=1，
则F1(−1,0)，F2(1,0)，
设P(x0,y0)(− 2
又过点P作E的切线交直线x=2于点Q，
则Q(2,1−x0y0)，
所以kPF2=y0x0−1，kQF1=1−x03y0，
所以kPF2⋅kOF1=−13.
故答案为：−13.
由椭圆的性质，结合直线与椭圆的位置关系及斜率公式求解．
本题考查了椭圆的性质，重点考查了直线与椭圆的位置关系及斜率公式，属中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)选①：由正弦定理得(b−c)2=a2−bc，
化简得b2+c2−a2=bc，
由余弦定理得b2+c2−a2=2bccsA，
可得csA=12，又A∈(0,π)，
所以A=π3；
选②：由正弦定理得sinBsinB+C2=sinAsinB，
因为sinB≠0，所以sinB+C2=sinA，
即csA2=sinA=2sinA2csA2，
因为A∈(0,π)，所以csA2≠0，sinA2=12，
可得A2=π6，
即A=π3；
(Ⅱ)因为AD=BD，所以∠BAD=∠B，
在△ADC中，∠DAC=π3−B，C=2π3−B，
由正弦定理可得：ADsinC=CDsin∠DAC，即ADsin(2π3−B)=CDsin(π3−B)，
又AD=2CD，得sin(2π3−B)=2sin(π3−B)，
整理化简得：32sinB= 32csB，
即tanB= 33.
【解析】(Ⅰ)若选①，由正弦定理和余弦定理可得csB的值，由角B的范围，可得角B的大小；若选②，由正弦定理可得sinA2=12，再由角A的范围，可得角A的大小；
(Ⅱ)AD=BD，所以∠BAD=∠B，由正弦定理可得sin(2π3−B)=2sin(π3−B)，整理可得tanB的值．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵an+1=nan+1n+1，
∴(n+1)an+1=nan+1，
令cn=nan，则有cn+1−cn=1.
于是数列{cn}是首项为2，公差为1的等差数列，
故cn=2+n−1=n+1，
于是an=cnn=n+1n；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知bn={n+1,n为奇数,n+12n2,n为偶数,，
则在前2n项中，S奇=b1+b3+b5+⋅⋅⋅+b2n−1=2+4+6+⋅⋅⋅+2n=(2+2n)n2=n(n+1)，
S偶=b2+b4+b6+⋅⋅⋅+b2n=321+522+723+⋅⋅⋅+2n+12n，
12S偶=322+523+724+⋅⋅⋅+2n+12n+1，
作差得12S偶=321+222+223+⋅⋅⋅+22n−2n+12n+1
=32+12[1−(12)n−1]1−12−2n+12n+1=52−2n+52n+1，
∴S偶=5−2n+52n，
则数列{bn}的前2n项和S2n=n2+n+5−2n+52n.
【解析】(Ⅰ)由已知结合数列的递推关系看，结合等差数列的通项公式即可求解；
(Ⅱ)先求bn，然后利用分组求和及错位相减求和即可求解．
本题考查了等差数列的通项公式，还考查了错位相减求和，属于中档题．
19.【答案】(Ⅰ)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，且PA∩AD=A，
可证得CD⊥平面PAD；
(Ⅱ)解：在线段BC上取点H，使BH=1，连接AH，则AH，AD，AP两两互相垂直，
以A为坐标原点，AH，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(3,−1,0)，C(3,3,0)，D(0,3,0)，P(0,0,3)，E(0,2,1)，F(32,32,32)，
设PG=λPB(0≤λ≤1)，
可得PB=(3,−1,−3)，所以G(3λ,−λ,3−3λ)，
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，
因为AE=(0,2,1)，AF=(32,32,32)，
则n⋅AE=0n⋅AF=0，即2y+z=032x+32y+32z=0，
令x=1，则n=(1,1,−2)，
因为AG=(3λ,−λ,3−3λ)，
因为平面AEF与棱PB交于点G，即AG⊂平面AEF，
可得n⊥AG，即n⋅AG=0，
所以3λ−λ−2(3−3λ)=0，解得λ=34，
即PGPB=34.
【解析】(Ⅰ)由PA⊥平面ABCD，可证得PA⊥CD，又CD⊥AD，且PA∩AD=A，可证得结论；
(Ⅱ)在线段BC上取点H，使BH=1，连接AH，则AH，AD，AP两两互相垂直，可建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，可得平面AEF的法向量n的坐标，进而可得n⊥AG，即n⋅AG=0，求出PGPB的值．
本题考查线面垂直的证法及空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)由题知，X的所有可能取值为0，1，2，3；
计算P(X=0)=C30⋅(13)3=127，P(X=1)=C31⋅23⋅(13)3=227，
P(X=2)=C42⋅(23)2⋅(13)3=881，P(X=3)=(23)3+C32⋅13⋅(23)3+C42⋅(13)2⋅(23)3=6481.
所以X的分布列为：
计算X的数学期望为E(X)=0×127+1×227+2×881+3×6481=21481.
(Ⅱ)由题知，f(p)=C42p2(1−p)2=6p2(1−p)2.
因为6p2(1−p)2≤6(p+1−p2)4=38，
当且仅当p=1−p，即p=12时，f(p)取得最大值38.
实际意义：比赛双方水平越接近，他们决出胜负需要的局数相对越多．
【解析】(Ⅰ)由题意知X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．
(Ⅱ)由题意写出函数f(p)，利用基本不等式求出f(p)的最大值，并解释实际意义即可．
本题考查了随机变量的分布列与函数的最值计算问题，是中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)设双曲线C的半焦距为c(c>0).
由题可知a2+b2=c2,ca= 52,bc a2+b2=1,解得a=2b=1，
故C的方程为x24−y2=1.
(Ⅱ)①当l的倾斜角为0，即l为x轴时，不妨设A(−2,0)，B(2,0)，取P(4724,0)，此时PA⋅PB=(4724)2−4.
②当直线l的倾斜角不为0时，设直线l的方程为x=ty+3.
联立直线与双曲线的方程可得x=ty+3x24−y2=1，
消去x，整理可得(t2−4)y2+6ty+5=0.
显然t2≠4且Δ>0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y1+y2=−6tt2−4，y1y2=5t2−4.
设P(m,0).PA⋅PB=(x1−m,y1)⋅(x2−m,y2)
=(x1−m)(x2−m)+y1y2=(ty1+3−m)(ty2+3−m)+y1y2
=(t2+1)y1y2+t(3−m)(y1+y2)+(3−m)2
=(t2+1)5t2−4+t(3−m)−6tt2−4+(3−m)2
=−4t2−31+m2t2−4m2+24mt2−4=m2−4+24m−47t2−4，
当m=4724时，PA⋅PB=(4724)2−4，为定值．
综上，当P点的坐标为(4724,0)时，PA⋅PB为定值．
【解析】(1)依题意列出关于a、b、c的方程组，解之即得；
(2)设直线l的横截距方程，与双曲线方程联立，设出A、B的坐标，写出根与系数的关系，不妨假设存在点P，求出PA,PB的表达式，代入根与系数的关系式，化简计算即可求解．
本题考查了双曲线的方程与性质，考查了直线与双曲线的综合，考查了方程思想，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=lnx−a(x−1)x+1，得f′(x)=x2+(2−2a)x+1x(x+1)2，
令g(x)=x2+(2−2a)x+1，其图象的对称轴为直线x=a−1.
当a−1>1，即a>2时，g(x)在(1,a−1)单调递减，在(a−1,+∞)单调递增，
又g(1)=2(2−a)<0，∴当x∈(1,a−1)时，g(x)<0恒成立，
∴f′(x)<0恒成立，f(x)在(1,a−1)单调递减，
又f(1)=0，∴当x∈(1,a−1)时，f(x)<0，与已知矛盾，舍去；
当a−1≤1，即a≤2时，g(x)在(1,+∞)单调递增，又g(1)=2(2−a)≥0，
∴当x∈(1,+∞)时，g(x)>0恒成立，∴f′(x)>0恒成立，
∴f(x)在(1,+∞)单调递增，又f(1)=0，∴f(x)>0恒成立．
综上，a的取值范围为(−∞,2].
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知，当x∈(1,+∞)时，lnx>2(x−1)x+1，
∴ln2n22n2−1>2(2n22n2−1−1)2n22n2−1+1=24n2−1=12n−1−12n+1，
∴ln2+ln87+ln1817+⋅⋅⋅+ln2n22n2−1
>1−13+13−15+15−17+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1
=1−12n+1.
【解析】(Ⅰ)对f(x)求导数，判断f(x)的单调性，根据当x∈(1,+∞)时，f(x)>0，求出a的取值范围；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当x∈(1,+∞)时，lnx>2(x−1)x+1，再由ln2n22n2−1>2(2n22n2−1−1)2n22n2−1+1=24n2−1=12n−1−12n+1，证明不等式即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．X
0
1
2
3
P
127
227
881
6481
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