2023-2024学年广东省广州市番禺中学高二（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年广东省广州市番禺中学高二（下）期中数学试卷-普通用卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设i是虚数单位，则复数i+12+i在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知集合A={x|x2−4x−5≥0}，B={x|a−3c>aC. b>a>cD. c>a>b
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.关于(7−x)7的展开式，下列判断正确的是( )
A. 展开式共有7项B. 展开式的各二项式系数的和为128
C. 展开式的第7项的二项式系数为49D. 展开式的各项系数的和为67
10.甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件E表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件F表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件G表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是( )
A. 事件F与G是互斥事件B. 事件E与G不是相互独立事件
C. P(G)=1330D. P(G|E)=12
11.已知函数f(x)=ex，g(x)=lnx，下列结论正确的有( )
A. 函数y=g(x)f(x)有极大值，且极大值点x0∈(1,2)
B. eln2>ln3
C. 函数y=f(x)−g(x)的最小值为2
D. 若P、Q分别是曲线f(x)=ex，g(x)=lnx上的动点，则|PQ|的最小值为 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(2+x)(x−2)5的展开式中x2的系数为______(用数字作答).
13.某小区有5个区域要种上鲜花(如图)，现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有______种.
14.若函数f(x)=lnx+2x2−ax存在与直线2x−y=0平行的切线，则实数a取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=2，{Snn}是公差为1的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+10.
又由f(x)为偶函数．
则f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，
则在区间(−∞,0)上f′(x)0的解集为(−1,0)∪(1,+∞)
故选B
本题考查的知识点是函数奇偶性及单调性，由f(x)为偶函数，我们可以根据偶函数的性质--偶函数的图象关于y轴对称，判断出函数图象在y轴左侧的情况，然后结合导数的意义，不难求出等式f(x)f′(x)>0的解集．
利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，f′(x)>0(或f′(x)0(或f′(x)0)，
则f′(x)=1−lnxx2(x>0)，
可得x∈(e,+∞)时，f′(x)f(4)>f(2e2)，即b>a>c.
故选：C.
构造函数f(x)，求出函数的导数，根据函数的单调性判断数的大小即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及数的大小比较，考查转化思想，是中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，二项式(7−x)7展开式共有7+1=8项，故A错误；
对于B，展开式的各二项式系数的和为27=128，故B正确；
对于C，展开式的第7项的二项式系数为C76=C71=7，故C错误；
对于D，令x=1可得展开式的各项系数的和为(7−1)7=67，故D正确．
故选：BD.
根据二项式定理的性质逐项判断即可．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查概率的求解，以及互斥事件、相互独立时间的概念，属于中档题．
对于A，结合互斥事件的定义，即可求解，对于B，结合相互独立事件的定义，即可求解，对于C，结合相互独立事件的概率公式，互斥事件和事件的概率公式，即可求解，对于D，结合条件概率公式，即可求解．
【解答】
解：对于A，事件F和G能同时发生，事件F和G不是互斥事件，故A错误，
对于B，事件E发生与否与事件G有关，故B正确，
对于C，P(G)=C31C51×C31C61+C21C51×C21C61=1330，故C正确，
对于D，P(G|E)=P(EG)P(E)=930×53=12，故D正确．
故选：BCD.
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A：y=g(x)f(x)=lnxex，y′=exx−exlnxe2x=1x−lnxex，
令h(x)=1x−lnx,(x>0)，
则h′(x)=−1x2−1x0,h(2)=12−ln2=ln e2x0时，h(x)lg23=ln3ln2⇒eln2>ln3，故B正确；
对于C：我们有y=f(x)−g(x)=ex−lnx≥ex−x+1>e0−0+1=2，
我们首先来看从左到右第一个不等式，只需证明φ(x)=lnx−x+1≤0，(x>0)即可，
φ′(x)=1x−1=1−xx，
当01时，φ′(x)0)单调递增即可，
而μ′(x)=ex−1>e0−1=0，所以也成立，
综上所述，函数y=f(x)−g(x)的最小值大于2，故C错误；
对于D：注意到曲线f(x)=ex，g(x)=lnx互为反函数，
所以它们的图象关于y=x对称，
从而f′(x)=ex=1⇒x=0，g′(x)=1x=1⇒x=1，
所以曲线f(x)=ex与y=x+1相切于点A(1,0)，曲线g(x)=lnx与y=x−1相切于点B(1,0)，
所以|PQ|的最小值为|AB|= 1+1= 2，故D正确．
故选：ABD.
对于A：求导后令h(x)=1x−lnx,(x>0)，只需考虑h(x)=1x−lnx,(x>0)的极值点，即可判断A是否正确；
对于B：由对数运算公式变形，即可判断B是否正确；
对于C：由不等式放缩结合取等条件，即可判断C是否正确；
对于D：通过分析可知当过点P，Q的切线的斜率都是1时，它们的距离最小，由此即可判断D是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
12.【答案】−80
【解析】解：由题意可得：(2+x)(x−2)5=2(x−2)5+x⋅(x−2)5，
故其展开式中含x2的项为：2×C53⋅x2⋅(−2)3+x⋅C54⋅x⋅(−2)4=−80x2，
因此展开式中x2的系数为−80.
故答案为：−80.
将(2+x)(x−2)5拆为2(x−2)5和x⋅(x−2)5，分别求其展开式中x2的系数，再求和即可．
本题考查二项式定理的运用，属于基础题．
13.【答案】72
【解析】解：如图所示，依顺序，A区域可种4种颜色，B区域可种3种颜色，C区域可种2种颜色，
①D区域若与B区域同色，则E有两种颜色可选；
②D区域若不与B区域同色，则只有1种颜色可选，E也只有1种颜色可选，
故有4×3×2×(2+1)=72种方案．
故答案为：72.
由分步计数原理结合分类讨论即可．
本题考查分步计数原理，属于中档题．
14.【答案】[2,+∞)
【解析】解：函数f(x)=lnx+2x2−ax存在与直线2x−y=0平行的切线，
即f′(x)=2在(0,+∞)上有解，
而f′(x)=1x+4x−a，
即1x+4x−a=2在(0,+∞)上有解，
得−a=2−4x−1x在(0,+∞)上有解，
∵−4x−1x=−(4x+1x)≤−2 4x⋅1x=−4，当且仅当x=12时“=”成立．
∴−a≤2−4=−2，得a≥2.
∴a的取值范围是[2,+∞).
故答案为：[2,+∞).
函数f(x)=lnx+2x2−ax存在与直线2x−y=0平行的切线，等价于f′(x)=2在(0,+∞)上有解，分离出参数a，转化为求函数值域问题即可求得答案．
本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程问题，注意转化思想在本题中的应用，是中档题．
15.【答案】(1)解：数列{an}中，a1=2，{Snn}是公差为1的等差数列，且首项为S1=2，
所以Snn=2+(n−1)=n+1，Sn=n(n+1)=n2+n，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(n2+n)−[(n−1)2+(n−1)]=2n，
n=1时，a1=2，满足an=2n；
所以数列{an}的通项公式为an=2n；
(2)证明：1a1a2+1a2a3+...+1anan+1
=12×4+14×6+...+12n⋅2(n+1)
=14×[11×2+12×3+...+1n(n+1)]
=14×(1−12+12−13+...+1n−1n+1)
=14×(1−1n+1)
=14−14(n+1)