2023-2024学年辽宁省大连市金州区八年级（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市金州区八年级（下）月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若二次根式 x−7有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠7B. x=7C. x≥7D. x≤7
2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. 8B. 11C. 13D. 12
3.无理数 5的倒数是( )
A. − 5B. − 55C. −5D. 55
4.下列计算正确的是( )
A. 9=±3B. (−2)2=−2C. 8− 2= 2D. 2+ 3= 5
5.平面直角坐标系中，点A坐标为(4,0)，B是y轴正半轴上一点，AB=5，则点B的坐标是( )
A. (0,3)B. (3,0)C. ( 41,0)D. (0, 41)
6.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1，2， 5B. 2，3，5C. 4，5，6D. 6，7，8
7.在▱ABCD中，AB=3，BC=5，则CD的长是( )
A. 2B. 3C. 5D. 8
8.下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. ∠A=∠B，∠C=∠DB. AB=AD，BC=CD
C. AB=CD，AD=BCD. AB/​/CD，AD=BC
9.在▱ABCD中，AB= 3，对角线AC，BD交于点O，AC=2，BD=4，则BC的长是( )
A. 7B. 3C. 2 3D. 5
10.如图，已知线段AB=6，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，在直线EF上取一点C使CD=AB，连接AC、BC，点G为AC的中点，连接DG，则△ADG的周长是( )
A. 10
B. 9
C. 3 5+3
D. 3 5+2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11. 24n是整数，则正整数n的最小值是______．
12.命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为______．
13.顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是______．
14.直角三角形的斜边比一直角边长8，另一直角边长为12，则斜边长为______．
15.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=8，点D是边AB上一点，连接CD，过点C作CE⊥CD，使CE=CD，连接DE，点F是DE的中点，连接CF并延长，交边AB于点G，若BG=2，则AD的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1)( 12+5 8)× 3+(4 6−6 2)÷2 2；
(2)( 5+1)( 5−1)+( 3+1)2−6 3．
17.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，AC是它的一条对角线，过B，D两点分别作BE⊥AC，DF⊥AC，E，F为垂足.求证：四边形BFDE是平行四边形．
18.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，∠A=100°，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接CE.若BE=BC，求∠ECD的度数．
19.(本小题9分)
观察下列各式，发现规律：
1+13=2 13； 2+14=3 14； 3+15=4 15；…
(1)填空： 9+111= ______， 18+120= ______；
(2)计算(写出计算过程)： 2022+12024；
(3)用含自然数n(n≥1)的等式把你所发现的规律表示出来．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
21.(本小题8分)
如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．
22.(本小题12分)
如图，点E是▱ABCD内一点，且AE⊥AD，CE⊥CD，∠AEB=135°．
(1)写出图中与∠BAE相等的角，并证明；
(2)求证：CE=CD；
(3)用等式表示线段BC，AE，BE之间的数量关系，并证明．
23.(本小题12分)
问题初探
(1)综合与实践数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，在四形形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=CD，∠BCD=120°，点E，F，分别在边AB，AD上，且∠ECF=60°，用等式表示线段BE，DF，EF之间的数量关系，并证明.小明同学发现，如图2，在AB延长线上截取BG=DF，连接CG.通过两次证明，证明三角形全等，可以解决问题．

请你直接写出(1)中的结论．
类比分析
(2)李老师发现同学们运用了转化思想，构造全等三角形解决问题：为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师又提出下面问题，请你解答．
如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E在边AB上，且∠DCE=45°，用等式表示线段AD，BE，DE之间的数量关系，并证明．
学以致用
(3)如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵二次根式 x−7有意义，
∴x−7≥0，
∴x≥7．
故选：C．
形如 a(a≥0)的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
本题考查了二次根式的定义，正确记忆相关知识点是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、 8=2 2，故A不符合题意；
B、 11是最简二次根式，故B符合题意；
C、 13= 33，故C不符合题意；
D、 12=2 3，故D不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解： 5的倒数是1 5= 55，
故选：D．
根据倒数的定义写出即可．
考查了实数的性质及倒数的定义，属于基础题，比较简单．
4.【答案】C
【解析】解：A、 9=3，故A不符合题意；
B、 (−2)2=2，故B不符合题意；
C、 8− 2=2 2− 2= 2，故C符合题意；
D、 2与 3不属于同类二次根式，不能运算，故D不符合题意；
故选：C．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】A
【解析】解：∵点A坐标为(4,0)，
∴OA=4，
∵AB=5，
∴OB= 52−42=3，
∵B是y轴正半轴上一点，
∴则点B的坐标是(0,3)
故选：A．
根据勾股定理求出OB，再由点B位置答出坐标即可．
本题考查了点的坐标的求法，勾股定理的应用是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、∵12+22=5，( 5)2=5，
∴12+22=( 5)2，
∴能组成直角三角形，
故A符合题意；
B、∵2+3=5，
∴不能组成三角形，
故B不符合题意；
C、∵42+52=41，62=36，
∴42+52≠62，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵62+72=85，82=64，
∴62+72≠82，
∴不能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：A．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，AD=BC，
∵AB=3，
∴CD=3，
故选：B．
根据平行四边形的对边相等直接写出答案即可．
考查了平行四边形的性质，解题的关键是能够区分那两条边是平行四边形的对边，难度不大．
8.【答案】C
【解析】解：A、由∠A=∠B，∠C=∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、由AB=AD，BC=CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、由AB=CD，AD=BC，能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D、由AB/​/CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵▱ABCD，
∴AO=12AC=1，BO=12BD=2，
∵12+( 3)2=4=22，即AB2+AO2=BO2，
∴△AOB是直角三角形，且∠BAO=90°，
∴BC= AB2+AC2= 7，
故选：A．
由平行四边形的性质可得AO=12AC=1，BO=12BD=2，证明△AOB是直角三角形，且∠BAO=90°，然后根据勾股定理求解即可．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10.【答案】C
【解析】解：由作法得CD垂直平分AB，
∴CA=CB，AD=BD=12AB=3，CD⊥AB，
∵CD=AB=6，
∴AC= AD2+CD2= 32+62=3 5，
∵点G为AC的中点，
∴DG=AG=CG，
∴△ADG的周长=AD+AG+DG=AD+AG+CG=AD+AC=3+3 5．
故选：C．
利用基本作图得到CD垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到CA=CB，AD=BD=3，CD⊥AB，再利用勾股定理计算出AC=3 5，接着根据斜边上的中线性质得到DG=AG=CG，然后利用等线段代换得到△ADG的周长=AD+AC．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和直角三角形斜边上的中线性质．．
11.【答案】6
【解析】解：∵ 24n=2 6n， 24n是整数，
∴正整数n的最小值是6．
故答案为：6．
先化简 24n为2 6n，使6n成平方的形式，才能使 24n是整数，据此解答．
此题主要考查二次根式的性质和化简，灵活性较大．
12.【答案】同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．
其中一个命题称为另一个命题的逆命题．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】
解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，
故其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”．
故答案为同旁内角互补，两直线平行．
13.【答案】平行四边形
【解析】证明：如图，连接AC，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HG/​/AC，HG=12AC，EF/​/AC，EF=12AC；
∴EF=HG且EF/​/HG；
∴四边形EFGH是平行四边形．
故答案是：平行四边形．
顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判断及三角形的中位线定理的应用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
14.【答案】13
【解析】解：设一条直角边为a，则斜边为a+8，
∵另一直角边长为12，
∴(a+8)2=a2+122，
解得a=5，
∴a+8=13．
故答案为：13．
设一条直角边为a，则斜边为a+8，再根据勾股定理求出a的值即可．
本题考查的是勾股定理，根据题意设出直角三角形的斜边及直角边的长是解答此题的关键．
15.【答案】83
【解析】解：连接BE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∵AC=BC，DC=EC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠A=∠CBE=45°，AD=BE，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，
∵CD=CE，F为DE的中点，
∴∠DCF=∠ECF，
又∵CG=CG，
∴△DCG≌△ECG(SAS)，
∴DG=EG，
设AD=x，
∵AB=8，BG=2，
∴DG=6−x，
∵BG2+BE2=EG2，
∴22+x2=(6−x)2，
∴x=83，
∴AD=83．
故答案为：83．
连接BE，证明△ACD≌△BCE(SAS)，由全等三角形的性质得出∠A=∠CBE=45°，AD=BE，证明△DCG≌△ECG(SAS)，由全等三角形的性质得出DG=EG，设AD=x，由勾股定理可得出答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=(2 3+10 2)× 3+(4 6−6 2)÷2 2
=6+10 6+2 3−3
=3+10 6+2 3；
(2)原式=( 5)2−12+( 3)2+2 3+12−2 3
=5−1+3+2 3+1−2 3
=8．
【解析】(1)先化简二次根式，再计算二次根式的乘法和除法，最后加减即可；
(2)先利用完全平方公式和平方差公式去括号，分母有理化，再计算加减即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
17.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°，BE/​/DF，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFD∠BAE=∠DCFAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】易证BE/​/DF，再证△ABE≌△CDF(AAS)，得BE=DF，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/CB，∠BCD=∠A=100°．
∴∠ABC+∠A=180°．
∴∠ABC=180°−∠A=180°−100°=80°．
∵∠ABC的平分线BE交AD于点E，
∴∠EBC=12∠ABC=12×80°=40°．
∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC．
在△BCE中，∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，
∴∠BCE=∠BEC=12(180°−∠EBC)=12×(180°−100°)=70°．
∴∠ECD=∠BCD−∠BCE=100°−70°=30°．
【解析】由平行四边形的性质得∠ABC=80°；然后由角平分线的性质求得∠EBC=12∠ABC=40°，最后根据等腰三角形的性质解答．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对边相互平行和平行四边形的对角相等是解答本题的关键．
19.【答案】10 111 19 120
【解析】解：(1) 9+111=10 111， 18+120=19 120；
故答案为：10 111，19 120；
(2) 2022+12024
= 2022×2024+12024
= 2022×(2022+2)+12024
= 20222+2×2022×1+122024
= (2022+1)22024
=2023 12024；
(3) n+1n+2=(n+1) 1n+2(n≥1)．
(1)根据题意前三项的特征填空即可；
(2)根据前三项的特征进行解答即可；
(3)用n表示出一般规律即可．
本题主要考查了二次根式的运算、数字规律的探索等知识点，熟练掌握二次根式的混合计算法则、正确归纳规律是解答本题的关键．
20.【答案】解：连接AC，
∵∠B=90°，
∴AC= 42+32=5，
∵52+122=132，
∴∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积=12×5×12−12×3×4=24．
【解析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．
21.【答案】解：设BD=x，则CD=14−x，在Rt△ABD中，AD2+x2=132，
在Rt△ADC中，AD2=152−(14−x)2，
所以有132−x2=152−(14−x)2，
132−x2=152−196+28x−x2，
解得x=5，即BD=5，
在Rt△ABD中，AD2=AB2−BD2=132−52=144，
得AD=12，
故BC边上的高AD为12．
【解析】AD为高，那么题中有两个直角三角形．AD在这两个直角三角形中，设BD为未知数，可利用勾股定理都表示出AD长．求得BD长，再根据勾股定理求得AD长．
本题考查了勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用了勾股定理进行解答．
22.【答案】解：(1)∠BCE=∠BAE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD．
∵AE⊥AD，CE⊥CD，
∴∠EAD=∠ECD=90°．
∴∠BCD−∠ECD=∠BAD−∠EAD．
即∠BCE=∠BAE．
(2)证明：如图，延长AE交BC于点F．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD．
∴∠BFA=∠EAD=90°．
∴∠AFC=180°−∠BFA=180°−90°=90°=∠BFA．
∵∠BEA=135°，
∴∠BEF=180°−∠BEA=180°−135°=45°．
在Rt△BFE中，∠EBF=90°−∠BEF=90°−45°=45°=∠BEF．
∴BF=EF．
∵∠BCE=∠BAE，∠AFC=∠BFA，
∴△ABF≌△CEF(AAS)．
∴AB=CE．
∵AB=CD，
∴CE=CD．
(3)BC−AE= 2BE．
由(2)△ABF≌△CEF可得，CF=AF，
∴BC−AE=BF+CF−AE=BF+AF−AE=BF+EF=2BF．
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，由勾股定理可得，
BF2+EF2=BE2，
BF2+BF2=BE2，
2BF2=BE2，
∴BE= 2BF．
∴BC−AE=2BF= 2BE．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得∠BAD=∠BCD，由垂直的定义得∠EAD=∠ECD=90°，然后根据等式的性质可得∠BCE=∠BAE；
(2)延长AE交BC于点F.由平行四边形的性质得AD//BC，AB=CD，求出∠EBF=45°=∠BEF可得BF=EF，然后根据AAS证明△ABF≌△CEF即可证明结论成立；
(3)由△ABF≌△CEF可得CF=AF，进而可证BC−AE=2BF，然后由勾股定理得BE= 2BF，从而可得BC−AE= 2BE．
本题考查了四边形综合，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)结论：BE+DF=EF，
理由：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠GBC=∠FDC=90°，
∵BG=DF，BC=CD，
∴△GBC≌△FDC(SAS)，
∴GC=FC，∠DCF=∠BCG，
∵∠BCD=120°，∠ECF=60°，
∴∠DCF+∠ECB=60°，
∴∠BCG+∠ECB=60°，
即∠ECF=∠ECG，
∵EC=EC，
∴△ECG≌△ECD(SAS)，
∴EF=EG，
∴BE+DF=BE+BG=EF；
(2)解：BE2+AD2=DE2，
证明如下：
将△ADC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接HE，如图所示：

由旋转的性质可知，BH=AD，∠CAD=∠CBH，CD=CH，∠ACD=∠BCH，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠CBD=90°，
∴∠CBH+∠CBD=90°，
即∠EBH=90°，
∵∠DCE=45°，
∴∠ACD+∠BCE=45°，
∴∠BCH+∠BCE=45°=∠DCE，
∵CE=CE，
∴△CDE≌△CHE(SAS)，
∴DE=HE，
∵BH2+BE2=HE2，
∴BE2+AD2=DE2；
(3)解：AD2+BD2=2CD2，
证明如下：
将△ADC绕点C逆时针旋转90°得到△BMC，连接DM，如图所示：

由旋转的性质可知，BM=AD，∠CAD=∠CBM，CD=CM，∠ACD=∠BCM，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠CBD=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠CBM+∠CBD=90°，∠BCM+∠DCB=90°，
即∠DCM=90°，∠DBM=90°，
∴CD2+CM2=DM2，BM2+BD2=DM2，
∴BM2+BD2=CD2+CM2，
∴BD2+AD2=2CD2．
【解析】(1)利用“SAS”证明△GBC≌△FDC，利用全等三角形性质推出GC=FC，∠DCF=∠BCG，进而得到∠ECF=∠ECG，证明△ECG≌△ECD(SAS)，得到EF=EG，最后结合等量代换即可解题；
(2)将△ADC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接HE，利用旋转的性质得到，BH=AD，∠CAD=∠CBH，CD=CH，∠ACD=∠BCH，推出∠EBH=90°，证明△CDE≌△CHE(SAS)，得到DE=HE，再利用勾股定理和等量代换，即可解题；
(3)将△ADC绕点C逆时针旋转90°得到△BMC，连接DM，利用旋转的性质得到BM=AD，CD=CM，推出∠DCM=90°，∠DBM=90°，再利用勾股定理和等量代换，即可解题．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解题的关键在于利用旋转构造三角形全等，以及构造直角三角形．