2024年河北省石家庄市藁城区中考二模数学试题（学生版+教师版）

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1．本试卷总分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上．
3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题有16个小题，共38分，1−6小题各3分，7−16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列运算结果为负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加法、乘法、除法以及乘方运算，分别算出每个选项的值，再进行比较，即可作答．
【详解】解：A、不符合题意，故该选项是错误的；
B、，不符合题意，故该选项是错误的；
C、，符合题意，故该选项是正确的；
D、，不符合题意，故该选项是错误的；
故选：C．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，先计算乘方，再计算乘法，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
3. 如图所示的几何体是由一些相同大小的小正方体组合而成的，则这个几何体的三视图中，面积相等的是（ ）
A. 主视图和左视图B. 主视图和俯视图C. 左视图和俯视图D. 三种视图面积都相等
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图的定义画出视图，根据视图计算面积，比较判断即可．
【详解】根据题意，几何体的三视图如下：
，
∴主视图和左视图的面积相等,
故选A．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的基本定义是解题的关键．
4. 从分别写有“大”“美”“河”“北”汉字的四张卡片中，随机抽出两张，抽出的卡片上的汉字能组成“河北”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及符合条件的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下
由表知，共有种等可能结果，其中抽出的卡片上的汉字能组成“河北”的有种结果，
所以抽出的卡片上的汉字能组成“河北”的概率为，
故选：B．
5. 如图，x的值可能为（ ）
A. 10B. 9C. 7D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系结合图形的特征即可得到关于x的不等式组，再解出即可.
【详解】由图可得，解得
故选B.
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边.
6. 如图，甲、乙两船同时从港口O出发，并以相同的速度航行，其中甲沿北偏东方向行走，乙沿南偏东方向行走，行驶中乙始终在甲的（ ）
A. 北偏东方向上B. 南偏西方向上
C. 北偏东方向上D. 南偏西方向上
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了方位角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键，先作图，依题意，得出，结合等边对等角得，再进行角的运算，即可作答．
【详解】解：如图：连接，
∵，其中甲沿北偏东方向行走，乙沿南偏东方向行走，
∴，
∴，
∵甲、乙两船同时从港口O出发，并以相同的速度航行，
∴，
在中，，
即，
∴行驶中乙始终在甲的南偏西方向上，
故选：．
7. 当为正整数时，代数式一定是下面哪个数的倍数（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】利用平方差公式化简即可得到答案．
详解】解：
=
=8n，
故选：D．
【点睛】此题考查因式分解的计算公式—平方差公式，熟记公式是解题的关键．
8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，估算无理数的大小，将化简为是解题的关键．
先利用二次根式的乘法法则与二次根式的性质求出，再利用夹值法即可求出的范围．
【详解】解：．
即．
故选：B．
9. 如图1，用尺规作图的方法“过直线外一点作直线的平行线”，现有如图2中的甲、乙两种方法，下列说法正确的是（ ）
A. 甲错乙对B. 甲对乙错C. 甲、乙都对D. 甲、乙都错
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本作图，平行线的判定定理，等腰三角形的性质；利用同位角相等，两直线平行可判断甲学作法正确；利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作法正确．
【详解】解：利用平行线的判定方法可判断甲同学的作图正确．
根据作图可得，则
利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可判断乙同学的作图正确；
∵
∴，
∵是角平分线，
∴
又∵
∴
∴
故选：C．
10. 如图，五边形是正五边形，点P在直线上运动，当点P与正五边形的至少两个顶点的距离相等时，警报器会发出警报，在直线上会发出警报的点有（ ）个．

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据正五边形的特点，结合线段垂直平分线的性质确定不同的点即可．此题主要考查了正多边形与圆，解答此题的关键是利用线段垂直平分线的性质得出．
【详解】解：如图，根据垂直平分线的性质及正五边形的性质可知，

直线上会发出警报的点有：、、、、的垂直平分线与直线的点，
分别为：，，，，共五个．
故选：C．
11. 已知一个水分子的直径约为米，某花粉的直径约为米，用科学记数法表示这种花粉的直径是一个水分子直径的（ ）
A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍
【答案】D
【解析】
【分析】用水分子的直径除以某花粉的直径即可．
【详解】解：由题意得：倍，
故选D．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数以及科学记数法的计算，负整数指数幂的含义，同底数幂的除法运算，灵活运用同底数幂的除法法则成为解答本题的关键．
12. 如图，，，与交于点C，点D是的中点，．若，，则的长是（ ）

A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据直角三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：，
，
点D是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
13. 如图，已知点在反比例函数的图象上，点沿的路线（图中“”所示路线）匀速运动，过点作轴于点，设点的运动时间为，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要能根据点的位置得出对应的函数类型．分点在，到，三段上的三种情况讨论，分别判断出函数类型即可得出答案．
【详解】解：当在到之间时，
和同时发生变化，
该部分对应的函数图象为二次函数，此时S随时间增大而增大，
当在到之间时，
为定值，
三角形的面积不变，
该部分对应的函数图象为平行于轴的线段，
当由到时，
三角形的底不变，只有高变小，
该部分对应的函数图象的类型为一次函数，此时S随时间增大而减小，
故选：C．
14. 在矩形中，，点P是线段上一点，点M、N、E分别是的中点，下列四种情况，哪一种情况不可能使四边形成为矩形（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，先由三角形中位线定理得到，则当时，四边形是矩形，由矩形的性质得到，设，则，由勾股定理推出，据此求出即可得到答案．
【详解】解：∵点M、N、E分别是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是矩形，
∵四边形是矩形，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四个选项中，只有D选项符合题意，
故选：D．
15. 如图，的两条角平分线相交于点，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：
甲：；
乙：四边形的面积是定值；
丙：当时，的周长取得最小值．
则下列说法正确的是( )
A. 只有甲正确B. 只有丙错误C. 乙、丙都正确D. 甲、乙、丙都正确
【答案】B
【解析】
【分析】作于点，于点，连接，，证明，得出，故甲说法正确；由全等证出，由四边形的面积是定值，得出四边形的面积是定值，故乙说法正确；证出，由等腰三角形的腰长最小时周长最小得，当时，的周长和面积均取得最小值，故丙说法正确．
【详解】解：作于点，于点，连接，
平分，平分，
平分，
，
，，
，
，
，
，
．故甲说法正确；
由图得，，
，
，
即，
四边形的面积是定值，
四边形的面积是定值，故乙说法正确；
，，，
，
，
，
当时，即与重合，
的周长取得最小值，故丙说法不正确．
故选：B．
16. 如图，⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为
A. 3B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由P在直线y=-x+6上，设P（m，6-m），连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，在直角三角形OPQ中，利勾股定理列出关系式，配方后利用二次函数的性质即可求出PQ的最小值．
【详解】解：∵P直线y=-x+6上，
∴设P坐标为（m，6-m），
连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，
在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP2=PQ2+OQ2，
⊙O是以原点为圆心，为半径的圆，
∴PQ2=m2+（6-m）2-2=2m2-12m+34=2（m-3）2+16，
则当m=3时，切线长PQ的最小值为4．
故选B．
二、填空题（本大题有3个小题，共10分．17小题2分；18−19题各4分，每空2分）
17. 计算：______．
【答案】−1
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简余弦值以及负整数指数幂，再运算加法，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
18. 如图，数轴上A点与数轴原点重合，B点表示的数是2．过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D所表示的数是d．
（1）______；
（2）若，则______．
【答案】 ①. ②. 13
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，完全平方公式以及勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，得出，结合勾股定理得，结合，即可作答．
（2）结合以及完全平方公式，得出，即，再代入进行计算，即可作答．
【详解】解：（1）∵数轴上A点与数轴原点重合，B点表示的数是2
∴
∵，
∴在中，
∵以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D所表示的数是d
∴
即；
（2）∵，
∴
即
∴
即
故答案为：，13．
19. 如图，是反比例函数上的一个动点，过作轴，轴．
（1）若矩形的对角线，则矩形周长为________；
（2）如图，点在上，且，若关于直线的对称点恰好落在坐标轴上，连结，则的面积为___________．
【答案】 ①. ②. 4或
【解析】
【分析】（1）设矩形的两边为、，利用反比例函数的几何意义得到，再根据勾股定理得到，根据完全平分公式变形得到，则可计算出，从而得到矩形的周长；
（2）当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图2，与相交于点，利用三角形面积公式得到，再根据对称轴的性质得垂直平分，，接着证明垂直平分得到，所以，则；当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图3，证明四边形为正方形得到，，则可计算出，而，于是得到．
【详解】解：（1）设矩形的两边为、，则，
矩形的对角线，
，
，
，
，
矩形的周长为，
故答案为；
（2）当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图2，与相交于点，
矩形的面积，
而，
，
点与点关于对称，
垂直平分，，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
；
当关于直线的对称点恰好落在轴上，如图3，
点与点关于对称，
，，
为等腰直角三角形，
平分，
四边形为正方形，
，，
，
，
而，
，
综上所述，的面积为4或，
故答案为4或．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的几何意义和轴对称的性质；灵活运用矩形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质．
三、解答题（本大题有7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 已知两个实数：和．
（1）计算：；
（2）若m为正整数，与这两个数的平方和小于m，求m的最小值．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，求一元一次不等式的整数解：
（1）利用分母有理化进行求解即可；
（2）根据题意，列出不等式，求出不等式的整数解即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
由题意得：
解得
∴m取最小正整数值6．
21. 把正整数1至2025排列成如下一个数表：
（1）通过计算说明数2024在第几行，第几列？
（2）把图中带【】的3个方格当作一个整体平移，设被框住的3个数中，最大的一个数为x．则被框住的三个数的和能否等于2023？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）第405行，第4列
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字类变化规律，一元一次方程的应用．
（1）观察数表，得出表格每行有5个数字，运用除以5，即可作答．
（2）观察数表，被框住的3个数中，最大的一个数为x，再表达出另外两个数为和，根据和等于2023列式，计算再分析，即可作答．
【小问1详解】
解：表格每行有5个数字，
，
∵，
∴2024在第405行，第4列．
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
∵被框住的3个数中，最大的一个数为x，
∴另外两个数为和，
∴，
解得，
则，，
∵677在第136行第2列，675在第135行5列，671在第135行第1列．
∴被框住的三个数的和不能等于2023．
22. 甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号分别是1，2，3，4，乙口袋中小球编号分别2，3，4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下编号为n．
（1）请用画树状图或列表的方法表示所有可能情况；
（2）规定：若m，n都是方程的解时，小明获胜；m，n都不是方程的解时，小刚获胜，请说明此游戏规则是否公平？
【答案】（1）见解析 （2）不公平
【解析】
分析】（1）根据题意画出画树状图即可；
（2）先解一元二次方程，根据（1）的结论即可求解．
【小问1详解】
解：画树状图如图所示：
由图知共有12种等可能结果．
【小问2详解】
解：
解得：，．
m，n都是方程的解时，共有4种情况，则小明获胜的概率为，
m，n都不是方程的解时，共有2种情况，则小刚获胜的概率为，
故游戏不公平．
【点睛】本题考查了画树状图法求概率，解一元二次方程，掌握概率的求法是解题的关键．
23. 同学们用气象探测气球探究气温与海拔高度的关系，1号气球从海拔5米处出发，以1米分的速度匀速上升，与此同时，2号气球从海拔15米处出发，以0.5米分的速度匀速上升，用时20分钟，两个气球达到同一高度，又过了a分钟后1号球的海拔高度比2号球高5米，此时气球发生故障不宜继续上升，于是停留在当前高度进行维修，10分钟后2号气球也达到了这一高度并建议1号气球返航，于是1号气球开始匀速下降，40分钟后降落到出发点．设1号、2号气球在飞行过程中的海拔分别为（米）、（米），它们飞行的时间为x（分）．
（1）求出a的值；
（2）求出D点坐标，并求出对应的关于x的函数解析式；
（3）直接写出两个气球从出发到1号球返回这个时间段里，两球高度之差s不超过3米的总时长是多少．
【答案】（1）10 （2），
（3）20.4分
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息，并用待定系数法求函数解析式．
（1）根据题意求出两个气球到达同一高度时的时间，即可求出a的值；
（2）根据题意求出两个气球到达同一高度时的高度，即可求出点D的坐标，再利用待定系数法求出的解析式即可；
（3）根据题意求出两个气球高度之差s不超过3米时x的取值，即可求出总时长．
【小问1详解】
解：由题意得，，
，
，
解得，
；
【小问2详解】
解：由（1）可知，时，，
，
，
，
设对应的解析式为，
，
解得，
对应的解析式为；
【小问3详解】
解:两球高度之差是3米时，满足，，，，
即，；
，；
，；
，；
两个气球高度之差s不超过3米时的总时长为分．
24. 如图（1），点O是线段的中点，点A、点C分别是在线段、上的点，且，使线段绕点O顺时针旋转，以O为圆心，分别以、为半径作大小两个半圆，连结，如图（2）．
（1）和有什么特殊位置关系？请说明理由；
（2）设小半圆与相交于点E，．
①当取得最大值时，求其最大值以及的长；
②当恰好与小半圆相切时，求阴影部分面积．
【答案】（1），理由见解析
（2）①最大值36， ②
【解析】
【分析】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质及扇形面积计算，熟知相关性质定理及公式是正确解决本题的关键.
（1）根据全等三角形的判定与性质可得结论；
（2）①当时，取得最大值，根据三角形面积公式可得答案；②当恰好与小半圆相切时，，然后根据直角三角形的性质及扇形面积公式可得答案．
【小问1详解】
解：
理由：在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①当时，取得最大值，
最大值，
在中，
，
∴；
②当恰好与小半圆相切时，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，抛物线经过A、B两点．

（1）当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式；
（2）在（1）题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点P的坐标；
（3）如果抛物线的顶点D位于内，求a的取值范围．
【答案】（1）抛物线的解析式为
（2）
（3）抛物线顶点D位于内，a的取值范围是
【解析】
【分析】（1）已知抛物线与x轴的两交点，设其交点式为且，再代入C点坐标求得a即可；
（2）如图1，设交y轴于点E，由点B、C坐标可得为等腰直角三角形，再由可得，利用可得的坐标，然后由B、E两点坐标可得直线解析式，再与二次函数解析式联立即可求得交点坐标；
（3）由二次函数与x轴两交点可得其对称轴为，利用其交点式且，可得顶点坐标为，由点B、C坐标求得直线解析式令可得抛物线顶点纵坐标的最大值，若顶点D位于内，则顶点纵坐标要大于0，解不等式即可求得a的取值范围；
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为且，
将点C的坐标（0，3）代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图1，设交y轴于点E，

∵、，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，即，
∴，
∴，
∵点P在第三象限，
∴，
设直线的解析式为：且，
把和代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当直线和二次函数相交时：，
解得：，，
代入一次函数可得交点坐标为或，
∵点P在第三象限，
∴；
【小问3详解】
解：∵抛物线经过A、B两点，
∴对称轴是：直线，
由、，可得直线的解析式为：，
可知当时，，
设抛物线的解析式为且，
令可得其顶点坐标为，
当顶点坐标刚好在直线上时可得：，则，
由图可知当抛物线的顶点D位于内时，其顶点纵坐标取值范围：，
∴；
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与一次函数的综合，正切三角函数，二次函数的对称轴等知识；掌握二次函数的交点式是解题关键．
26. 如图，已知矩形中，，，点P从点C出发沿边向点B运动，连接，过点P作交边于点Q，以为对角线作正方形．
（1）若，则______．
（2）点M一定在的角平分线上吗？请说明理由；
（3）当点P从点C重合的位置运动至点M落在边上时，求点M运动的路径长；
（4）在点P从点C到点B的运动过程中，请直接写出的外心到边的距离的最大值．
【答案】（1）
（2）点M一定在的角平分线上，理由见解析
（3）
（4）3
【解析】
【分析】（1）证明，列出比例式进行求解即可；
（2）过点作，证明，得到，即可得出结论；
（3）连接，由（2）可知，点在的角平分线上，求出点与点重合时的长，以及点落在上的长，两条线段的差值即可点运动的路径长；
（4）取的中点，过点作，垂径定理，得到为的中点，进而得到，得到当最大时，最大，设，根据，列出比例式，求出的最大值，即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵矩形，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
一定，理由如下：
过点作，则四边形为矩形，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点一定在的角平分线上；
【小问3详解】
连接，由（2）知：点一定在的角平分线上，
∴，
当点与点重合时，点与点重合，此时：，
∵正方形，
∴，
当点M落在边上时，此时，
∴，
∴点运动的路径长为：；
【小问4详解】
设的交点为，
∵，
∴点为的外心，
过点作，则：，
∴为的中位线，
∴，
设，则：，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为，
∴的最大值为3，
即：的外心到边的距离的最大值为3．
【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的外心，三角形的中位线等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
大
美
河
北
大
——
美大
河大
北大
美
大美
——
河美
北美
河
大河
美河
——
北河
北
大北
美北
河北
——
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
1
2
【3】
4
5
第2行
6
【7】
8
【9】
10
第3行
11
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