2023-2024学年湖南省永州市冷水滩区李达中学七年级（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市冷水滩区李达中学七年级（下）月考数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算中，正确的是( )
A. x2⋅x3=x6B. (ab2)3=a3b6C. 3a+2a=5a2D. (−3x)2=6x2
2.下列各式：①(x−2y)(2y+x)；②(x−2y)(−x−2y)；③(−x−2y)(x+2y)；④(x−2y)(−x+2y).其中能用平方差公式计算的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
3.解三元一次方程组x+y+z①3x+2y+z=10②2x−y+z③，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为( )
A. ①+③，①×2−②B. ①+③，③×2+②
C. ②−①，②−③D. ①−②，①×2−③
4.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为( )
A. x+y=1000,47x+119y=999B. x+y=1000,74x+911y=999
C. x+y=1000,7x+9y=999D. x+y=1000,4x+11y=999
5.计算(−72)2019×(27)2020的结果是( )
A. −72B. −27C. 1D. 27
6.如果(x+m)与(x+4)的乘积中不含x的一次项，则m的值为( )
A. 0B. −1C. −4D. 4
7.计算(x2+x+1)(x2−x+1)的值是( )
A. x4+2x2+1B. x4−2x3+x2+1
C. x4−x2−2x−1D. x4+x2+1
8.如图，其中①②中天平保持左右平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为( )
A. 30克B. 25克C. 20克D. 50克
9.已知a=6+5b，则代数式a2−10ab+25b2的值是( )
A. 12B. 16C. 24D. 36
10.计算(1−122)(1−132)…(1−192)(1−1102)=( )
A. 1021B. 1321C. 920D. 1120
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如果xa−2+2yb+1=0是二元一次方程，则a= ______，b= ______．
12.若3×9m×27m=311，则m的值为______．
13.已知m2−2km+16是完全平方式，则k= ______．
14.已知关于x、y的方程2x+y=2a+1x+2y=5−5a的解满足x+y=−3，则a的值为______．
15.已知xm=2，xn=5，则x3m+n=______．
16.探索题：
(x−1)(x+1)=x2−1
(x−1)(x2+x+1)=x3−1
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1
(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1
根据以上规律，判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几______．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
17.如图，有一块长为a米、宽为b米的长方形空地，现计划将这块空地四周均留出2米宽修道路，中间用来绿化．
(1)求出绿地的面积；(用含a、b的代数式表示)
(2)若a=2b，且道路的面积为224米 ​2，求原长方形空地的宽．
18.甲，乙两位同学在解方程组ax+by=1cx+y=−1时，甲正确地解得方程组的解为x=−1y=1.乙因大意，错误地将方程中系数C写错了，得到的解为x=2y=−1；若乙没有再发生其他错误，试确定a，b，c的值．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：
(1)(2ab)2−4a2b(b+1)；
(2)(−2x2)3+x2⋅x4−(−3x3)2．
20.(本小题6分)
解下列方程组：
(1)2x+y=33x−5y=11；
(2)x+y2+x−y3=64(x+y)−5(x−y)=2．
21.(本小题6分)
先化简，再求值：(x+2y)(x−2y)−(2x−y)2+(3x−y)(2x−5y)，其中x=−1，y=−2．
22.(本小题8分)
已知：(x−y)2=6，(x+y)2=3，求：
(1)xy；
(2)x2+y2+xy的值．
23.(本小题10分)
某中学拟组织七年级师生去张家界森林公园春游．下面是李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
李老师：“客运公司有45座和33座两种型号的客车可供租用，45座客车每辆每天的租金比33座的贵200元．”
小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆45座和2辆33座的客车到张家界森林公园春游，一天的租金共计4400元．”
小明：“我们七年级师生共336人．”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)客运公司45座和33座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)七年级师生到该公司租车一天，如何才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算？
24.(本小题10分)
学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
(1)选取1张A型卡片，6张C型卡片，则应取____张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是____(请用含a，b的代数式表示)；
(2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为____；
(3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分(长方形)的面积分别表示为S1，S2，若S=S1−S2，且S为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．
25.(本小题10分)
定义：将二次三项式x2+bx+c变形为(x+m)2+n的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即(x+m)2≥0就可以解决很多问题，例如：把多项式x2−2x+3配方为：x2−2x+3=x2−2⋅x⋅1+12−12+3=(x−1)2+2．
(1)若多项式A=x2+2x+3，B=x2+6x．
①证明：无论x取任何实数，多项式A的值一定恒为正数；
②求多项式2A−B的最小值．
(2)因为a2−2ab+b2=(a−b)2≥02可得到：a2−2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab这是重要的基本不等式：a2+b2≥2ab，(当a=b时，且2ab是定值时，a2+b2有最小值是2ab)，若S=a2−6a+1+1(a−3)2，求S的最小值，并求出此时a的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、x2⋅x3=x5，故该项不正确，不符合题意；
B、(ab2)3=a3b6，故该项正确，符合题意；
C、3a+2a=2a，故该项不正确，不符合题意；
D、(−3x)2=9x2，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
根据幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的方法、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：①(x−2y)(2y+x)=(x−2y)(x+2y)=x2−4y2；
②(x−2y)(−x−2y)=−(x−2y)(x+2y)=4y2−x2；
③(−x−2y)(x+2y)=−(x+2y)(x+2y)=−(x+2y)2；
④(x−2y)(−x+2y)=−(x−2y)(x−2y)=−(x−2y)2；
∴能用平方差公式计算的是①②．
故选：A．
将4个算式进行变形，看那个算式符合(a+b)(a−b)的形式，由此即可得出结论．
本题考查了平方差公式，解题的关键是将四个算式进行变形，再与平方差公式进行比对．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，牢记平分差公式是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：解三元一次方程组x+y+z①3x+2y+z=10②2x−y+z③，如果消掉未知数z，
则应对方程组变形为②−①，②−③．
故选：C．
观察z的系数，利用加减消元法消去z即可．
此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4.【答案】A
【解析】解：∵共买了一千个苦果和甜果，
∴x+y=1000；
∵共买一千个苦果和甜果共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
∴47x+119y=999．
∴可列方程组为x+y=100047x+119y=999．
故选：A．
利用总价=单价×数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：原式=(−72)2019×(27)2019×27
=(−72×27)2019×27
=−27．
故选：B．
根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：(x+m)⋅(x+4)=x2+(m+4)x+4m．
∵(x+m)与(x+4)的乘积中不含x的一次项，
∴m+4=0．
∴m=−4．
故选：C．
利用多项式乘多项式法则先计算(x+m)与(x+4)的乘积，再根据乘积中不含x的一次项得到关于m的一次方程，求解即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：原式=[(x2+1)+x][(x2+1)−x]
=(x2+1)2−x2
=x4+2x2+1−x2
=x4+x2+1．
故选：D．
根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可．
本题考查完全平方公式、平方差公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用及等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．
根据等式的性质即可求出答案．
【解答】
解：设三角形重为x，圆形重为y，
由图可得：3x+2y=80,3y+2x=70,
两式相加得：x+y=30．
故选：A．
9.【答案】D
【解析】解：∵a=6+5b，
∴a−5b=6，
∴a2−10a+25b2
=(a−5b)2
=62
=36，
故选：D．
先根据已知条件，求出a−5b的值，然后把所求代数式进行分解因式，最后把所得值整体代入求值即可．
本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式．
10.【答案】D
【解析】解：原式=(1−12)(1+12)×(1−13)(1+13)×…×(1−19)×(1+19)×(1−110)×(1+110)，
=12×32×23×43×…×89×109×910×1110，
=1120．
故选：D．
先利用平方差公式把原式展开，得到原式=(1−12)(1+12)×(1−13)(1+13)×…×(1−19)×(1+19)×(1−110)×(1+110)，然后算出括号里的数，再依次相乘即可得到答案．
本题考查有理数的乘方以及平方差公式，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是利用平方差公式把原式展开再进行约分从而得出答案．
11.【答案】3 0
【解析】解：∵xa−2+2yb+1=0是二元一次方程，
∴a−2=1，b+1=1，
解得：a=3，b=0．
故答案为：3，0．
根据二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次，进而判断得出答案．
此题主要考查了二元一次方程的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
12.【答案】2
【解析】解：∵3×9m×27m=3×32m×33m=31+2m+3m=311，
∴1+2m+3m=11，
解得：m=2．
故答案为：2．
由幂的乘方与同底数幂的乘法，可得3×9m×27m=3×32m×33m=31+2m+3m，则可得方程1+2m+3m=11，解此方程即可求得答案．
此题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法．此题比较简单，注意掌握方程思想的应用．
13.【答案】±4
【解析】解：∵m2−2km+16是完全平方式，
∴m2−2km+16=(m±4)2，
∴m2−2km+16=m2±8m+16，
∴−2km=±16m，
∴−2k=±16，
故答案为：±4．
根据完全平方式的特征进行计算，即可解答．
本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：2x+y=2a+1①x+2y=5−5a②，
①+②，得
3x+3y=6−3a，
∴x+y=2−a，
∵x+y=−3，
∴2−a=−3，
∴a=5．
故答案为：5．
①+②可得x+y=2−a，然后列出关于a的方程求解即可．
本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
15.【答案】40
【解析】解：因为xm=2，xn=5，
所以x3m+n
=x3m·xn
=(xm)3·xn
=23×5
=8×5
=40．
故答案为：40．
逆用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方的法则对所求式子进行整理，再代入相应值运算即可．
本题主要考查幂的乘方与同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16.【答案】3
【解析】解：22013+22012+…+22+2+1=(2−1)(22013+22012+…+22+2+1)=22014−1，
21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64...
2014÷4=．
∴22014的尾数是4．
4−1=3，
∴22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是3．
故答案为：3．
给22013+22012+…+22+2+1乘(2−1)从而可知22013+22012+…+22+2+1=22014−1，然后找出2n的尾数规律，从而得出答案．
本题考查了尾数规律的知识，要细心观察．
17.【答案】解：(1)依题意，得：(a−4)(b−4)，(2分)
=ab−4a−4b+16，(3分)
∴绿地的面积是(ab−4a−4b+16)米 2.(4分)
(2)依题意，得：ab−(ab−4a−4b+16)，(5分)
=ab−ab+4a+4b−16=4a+4b−16，(6分)
∵a=2b，
∴原式=4×2b+4b−16=12b−16，(7分)
∴12b−16=224，
解得：b=20.(8分)
答：原长方形空地的宽是20米．
【解析】根据几何图形(长方形)列出表示绿地的面积的代数式再根据已知道路的面积是224，列出方程，通过解方程即可．
本题考查把实际问题转化成数学问题能力，知识点是根据长方形的面积公式(s=ab)根据图形列出解析式，进一步求出结果．
18.【答案】解：把x=−1y=1代入到原方程组中，得−a+b=1−c+1=−1可求得c=2，
乙仅因抄错了c而求得x=2y=−1，但它仍是方程ax+by=1的解，
所以把x=2y=−1代入到ax+by=1中得2a−b=1，
把2a−b=1与−a+b=1组成一个二元一次方程组−a+b=12a−b=1，
解得a=2b=3，
所以a=2，b=3，c=2．
【解析】所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程的值，根据题意可得a−b=2a−3b=1c+3=−2，解方程组可得原方程组中a、b、c的值．
此题主要考查了二元一次方程组解的定义以及解二元一次方程组的基本方法．
19.【答案】解：(1)原式=4a2b2−4a2b2−4a2b
=−4a2b；
(2)原式=−8x6+x6−9x6
=−16x6．
【解析】(1)根据幂的乘方与积的乘方以及单项式乘多项式的计算方法进行计算即可；
(2)根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法的计算方法进行计算即可；
本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法以及单项式乘多项式，掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法以及单项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
20.【答案】解：(1)2x+y=3①3x−5y=11②，
由①得y=3−2x，
将y=3−2x代入②，得3x−5(3−2x)=11，
解得x=2，
因此y=3−2×2=−1，
所以原方程组的解为x=2y=−1；
(2)原方程组化简整理，得5x+y=36①−x+9y=2②，
①+②×5，得46y=46，
解得y=1，
把y=1代入②，−x+9=2，
解得x=7，
所以原方程组的解为x=7y=1．
【解析】(1)利用代入消元法求解；
(2)先将方程整理为一般形式，再利用加减消元法求解即可．
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法和加减消元法．
21.【答案】解：(x+2y)(x−2y)−(2x−y)2+(3x−y)(2x−5y)
=x2−4y2−4x2+4xy−y2+6x2−15xy−2xy+5y2
=3x2−13xy，
当x=−1，y=−2时，原式=3×(−1)2−13×(−1)×(−2)=−23．
【解析】根据平方差公式、完全平方公式和多项式乘多项式可以将题目中的式子化简，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查了整式的混合运算中的化简求值问题，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法：先化简题目中的式子，然后代入求值．
22.【答案】解：(1)∵(x−y)2=6，(x+y)2=3，
∴(x−y)2−(x+y)2=6−3，
即−4xy=3，
即xy=−34；
(2)∵(x+y)2=3，xy=−34，
∴x2+y2+xy
=(x+y)2−xy
=3+34
=154．
【解析】(1)根据完全平方公式进行计算即可；
(2)根据完全平方公式将原式化为
本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
23.【答案】解：(1)设客运公司45座客车每辆每天的租金是x元，33座的客车每辆每天的租金是y元，
依题意得：x−y=2004x+2y=4400，
解得：x=800y=600．
答：客运公司45座客车每辆每天的租金是800元，33座的客车每辆每天的租金是600元．
(2)设租用45座的客车m辆，33座的客车n辆，
依题意得：45m+33n=336，
解得：n=112−15m11，
又∵m，n均为自然数，
∴m=6n=2．
答：应该租用45座客车6辆，33座客车2辆，才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算．
【解析】(1)设客运公司45座客车每辆每天的租金是x元，33座的客车每辆每天的租金是y元，根据“45座客车每辆每天的租金比33座的贵200元，且租用4辆45座和2辆33座的客车一天的租金共计4400元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设租用45座的客车m辆，33座的客车n辆，根据租用的客车正好乘坐336人，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，即可得出租车方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24.【答案】解：(1)9，a+3b ；
(2)(a−b)2=(a+b)2−4ab；
(3)设MN长为x，
S1=(a−b)[x−(a−b)]=ax−bx−a2+2ab−b2
S2=3b(x−a)=3bx−3ab
S=S1−S2=(a−4b)x−a2+5ab−b2
由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化，
可知当a−4b=0时，即a=4b时，S=−a2+5ab−b2为定值，
即a=4b时，S为定值．
【解析】解：(1)A型卡片的面积为a2，B型卡片的面积为b2，C型卡片的面积为ab，
题中已经选择1张A型卡片，6张C型卡片，面积之和为a2+6ab，
由完全平方公式的几何背景可知一个正方形的面积可以表达成一个完全平方公式，可以很轻易得知a2+6ab+9b2=(a+3b)2，
故应取9张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是a+3b
故答案为：9；a+3b
(2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，可以得到一个边长为(a+b)的正方形，
剪出中间正方形作为第四种D型卡片，可知D型卡片的面积为一个边长为(a+b)的正方形的面积减去4张C型卡片的面积，即：(a+b)2−4ab，
由图可得D型卡片是一个边长为(a−b)的正方形，
由正方形的面积为边长的平方可知：(a−b)2=(a+b)2−4ab
故答案为：(a−b)2=(a+b)2−4ab
(3)见答案．
此题主要考察了完全平方公式的几何背景.正方形的面积等于边长的平方；完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方，例如：(a+b)2=a2+b2+2ab；完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方，例如：(a−b)2=a2+b2−2ab，；如果某正方形的边长是(a+b)，则此正方形的面积就是：(a+b)2=a2+b2+2ab，如果某正方形的边长是(a−b)，则此正方形的面积就是：(a−b)2=a2+b2−2ab，任何一个完全平方公式都可以化成以某个整式为边长的正方形的面积表达式，这就是完全平方公式的几何背景．
此题以数形结合的方式巧妙考查了完全平方公式的几何背景，题目新颖独特，难度中等．
25.【答案】解：(1)①∵x2+2x+3
=x2+2⋅x⋅1+12−12+3
=(x+1)2+2≥2，
∴无论x取任何实数，多项式A的值一定恒为正数；
②∵2A−B=2(x2+2x+3)−(x2+6x)
=x2−2x+6
=(x−1)2+5≥5，
∴多项式2A−B的最小值为5；
(2)∵S=a2−6a+1+1(a−3)2
=(a−3)2+1(a−3)2−8≥2−8=−6，
∴S的最小值为−6，此时(a−3)2=1(a−3)2，
解得：a=4或2．
【解析】(1)根据完全平方公式进行配方求解；
(2)根据新方法求解．
本题考查了配方法，掌握完全平方公式是解题的关键．