江西省南昌市等5地联考2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份江西省南昌市等5地联考2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z满足，则z的虚部为( )
A.-2B.-1C.D.2
2．( )
A.B.C.D.
3．如图，在正六边形ABCDEF中，( )
A.B.C.D.
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则( )
A.B.C.D.
5．设l，m是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若，，，则B.若，，，则
C.若，，，则D.若，，，则
6．将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，然后将所得图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则( )
A.B.C.D.
7．位于某港口A的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口A北偏东且与该港口相距30海里的B处，并正以20海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与海轮相遇.若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度（单位：海里/时）应为( )
A.B.20C.D.
8．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为4，平面经过BC，则平面截正四棱锥的外接球所得截面圆的面积的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列各式中值为的1是( )
A.B.C.D.
10．若复数z在复平面内对应的点为Z，则下列说法正确的是( )
A.若，则Z在第二象限
B.若z为纯虚数，则Z在虚轴上
C.若，则点Z的集合所构成的图形的面积为
D.若，且，则为实数
11．已知向量，，则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.存在，使得
C.
D.当时，在上的投影向量的坐标为
12．如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿BC向上翻折，得三棱锥．设CD＝2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点．下列说法正确的是( )
A.存在某个位置，使
B.存在某个位置，使
C.当三棱锥体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正切值为
D.当时，的最小值为
三、填空题
13．两条异面直线所成的角为，则的取值范围为______．
14．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为_______.
15．如图所示的斜截圆柱是用一个平面从圆柱上截取而来，其侧面可看成圆柱侧面的一部分，已知圆柱底面的半径为15cm，母线长最短40cm，最长60cm，则该斜截圆柱的侧面积为______．
16．函数的一个单调减区间为__________．（答案不唯一）
四、解答题
17．已知向量，夹角为，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，AC，BD交于点O．
（1）求证：平面平面PAD；
（2）设E是棱PD上一点，过E作，垂足为F，若平面平面PAB，求的值．
19．已知角，，角和的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）若，求的值；
（2）若，点A的横坐标为，求的值．
20．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的取值范围．
21．已知函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上恰有3个零点，，，求a的取值范围和的值．
22．如图，在直三棱柱中，，，，O为AC的中点，P为上的动点，E在BO上，且满足.现延长BO至D点，使得.
（1）若二面角的平面角为，求BP的长；
（2）若三棱锥的体积为，求CE与平面PCD所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：由，则，所以z的虚部为-2．
故选：A．
2．答案：C
解析：．
故选：C．
3．答案：C
解析：连接AD，BE，CF交于点O，
由正六边形的性质可知，六个小三角形均为全等的正三角形，
所以，且，
，
故选：C
4．答案：B
解析：由，，得，
故选：B．
5．答案：B
解析：对于A，若，，，此时l与m可能相交，如下图所示：
对于C与D，若，，，则与均可能发生，如下图所示：
对于B，若，，则，
又因为，故.
故选：B.
6．答案：A
解析：由题意将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的得，
纵坐标伸长为原来的2倍得，
将所得图像向右平移个单位长度，即．
故选:A．
7．答案：D
解析：如图所示，，，，
时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小为海里，海轮航行的距离为海里，故航行时间为小时，所以小艇的航行速度海里/时.故选D.
8．答案：C
解析：连接BD，AC交于O，连接PO，则底面ABCD且O是AC中点，
，，
所以O到P，A，B，C，D的距离均为，点O即为正四棱锥的外接球球心，取BC中点E，连接OE，分析可知，当时，截面圆的面积最小，线段BC也即此时截面圆的直径，所以截面圆的面积的最小值为．
故选：C．
9．答案：CD
解析：对于A，，所以A错误；
对于B，，所以B错误；
对于C，，所以C正确；
对于D，，所以D正确．
故选：CD．
10．答案：BD
解析：对于A，因为，故，所以在坐标轴上，故A错误；
对于B，若z为纯虚数，则Z在虚轴上，故B正确；
对于C，若，则点Z的集合所构成的图形是半径为3的圆及其内部，面积为，故C错误；
对于D，，，则为实数，故D正确．
故选：BD
11．答案：CD
解析：对于A，若，则，解得，故A错误；
对于B，若，则，
即，方程无解，
所以不存在，使得，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，当时，，，
则在上的投影向量的坐标为，故D正确.
故选：CD.
12．答案：ACD
解析：对于A：存在平面平面BCD，使得，证明如下：
因为平面平面BCD，平面平面，，平面BCD，
则平面ABC，因为平面ABC，所以，
故存在平面平面BCD，使，故A正确，
对于B：若，又，，AB，平面ABD，
则平面ABD，因为平面ABD，则，则是以CD为斜边的直角三角形，
因为，所以，，
又由题意知，故不存在某个位置，使，故B错误；
对于C：当三棱锥体积取得最大值时，平面平面BCD，即AE是三棱锥的高，
又，平面平面，平面BCD，所以平面ABC，
所以是直线AD与平面ABC所成的角，
所以，故C正确；
对于D：当时，因为F为BD的中点，
所以，则，
又因E为BC的中点，所以，
又，所以，
所以，
如图将沿AE旋转，得到，使其与在同一平面内且在内，
则当C，M，三点共线时，最小，
即的最小值为，
在中，，
则，
所以在中，由余弦定理得，
所以的最小值为，故D正确，
故选：ACD．
13．答案：
解析：因为两条异面直线所成的角为，所以，
所以.
故答案为：
14．答案：2
解析：根据正弦定理可知,,
所以,
而,
所以.
故答案为:2
15．答案：
解析：将相同的两个几何体，对接为圆柱，
则所求几何体的侧面积是新圆柱侧面积的一半，
则所求侧面积为，
故答案为：.
16．答案：（答案不唯一）
解析：因为，
要使函数有意义，
则有，所以，
解得：，
所以函数的定义域为，
，
令，则，
因为函数的定义域为，
由复合函数的单调性可知：函数的一个单调减区间为
故函数的一个单调减区间为.
故答案为：（答案不唯一）.
17．答案：（1）3；（2）；
解析：（1）因为向量，的夹角为，且，，
所以．
所以．
（2）．
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：因为底面ABCD，平面ABCD，故，
又，，，平面PAB，故平面PAB
又平面PAD，故平面平面PAB．
（2）因为平面平面PAB，平面平面，平面平面，
所以，
因为，且，所以
在中，由，，得，
即．
19．答案：（1）1；（2）
解析：（1）由，得，又，，所以，
所以
，
（2）由，得，，
又，所以，则
因为点A的横坐标为，
所以，，
所以
20．答案：（1）；
（2）
解析：（1），
由余弦定理可得，
整理得，
，
，，，．
（2）由正弦定理可知的外接圆半径为，
，，，
．
为锐角三角形，∴，即，，
，，，
即的取值范围为．
21．答案：（1）；
（2）
解析：（1）
．
由知，的图像关于点对称，
所以，得，．
因为，所以，即函数．
（2），
当时，．
函数在区间上恰有3个零点，
令，则在上有3个不相等的根．
即与在的图像上恰有3个交点，
作出与的图像，如图所示，
由图可知，，且，
所以．
故a的取值范围为，的值为．
22．答案：（1）1；（2）
解析：（1）据题意延长BO至D点，使得，连接，，，
取CD的中点M，连接BM，PM，
因为，，O为AC的中点，所以，
又，所以，由，得，
所以为等边三角形，所以，
易知，所以，所以，
所以为二面角的平面角，即，
又，，则，解得；
（2）因为，，O为AC的中点，所以，
在直三棱柱中，，
，
因为三棱锥的体积为，
所以，解得，所以P为的中点，
所以，
在中，，,
所以，
设E到平面PCD的距离为d，在中，，，
所以，
所以，
因为，所以，解得，
在中，由余弦定理得，所以.
设CE与平面PCD所成角为，所以，
所以CE与平面PCD所成角的正弦值为.