2024年浙江省温州市初中学业水平考试数学模拟卷A

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考生须知：
本试卷满分120分，考试时间120分钟。
答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在试卷首页的指定位置写上姓名和座位号。
必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明。
如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。
考试结束后，试题卷和答题纸一并上交。
试题卷
一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．在数轴上表示和两点之间的整数有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】D
【详解】解：在数轴上表示和两点之间的整数有，，，0，1，2，3共7个．
故选：D．
2．如下图几何体是由五个小立方体搭成的，现从左面看它得到的平面图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：从左面看，看到的图形分为上下两层，共2列，从左边数第一列下面一层有一个小正方形，第二列上下两层各有一个小正方形，即看到的图形如下：
故选：D．
3．3月5日，国务院总理李强在政府工作报告中提出，今年发展主要预期目标是：城镇新增就业1200万人以上，城镇调查失业率左右．数据“1200万”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：1200万用科学记数法表示为．
故选：B．
4．九（1）班三名同学进行唱歌比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，后来要求这三名同学用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都发生变化的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有2种情况，
∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率=．
故答案为：．
5．某次测试结束，嘉琪随机抽取了九（1）班学生的成绩进行统计，并绘制成如图所示的扇形统计图，则该班学生的平均成绩为（ ）
A．9分B．分C．分D．8分
【答案】A
【详解】解：平均成绩为：
（分）．
故选 A．
6．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：原式，
故选：A．
7．一个长方形的周长为，若这个长方形的长减少，宽增加，可成为一个正方形，设长方形的长为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：长方形的周长为，长方形的长为，
则长方形的宽为，
根据题意，得，
故选：B．
8．如图，在中，，，，分别以为边在的同侧作正方形，若四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于（ ）
A．36B．24C．48D．72
【答案】B
【详解】解：如图，过点F作于点D，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
．
故选B．
9．如图，、、都是的半径，，若， ，则的半径为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
过点作半径于点，则，
∴，
，
，
，
在中，
，
在中，，
，
，即的半径是．
故选：B．
10．【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（ ）

A．4200米B．4800米C．5200米D．5400米
【答案】B
【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为（分钟），小温游玩行走的时间为（分钟）；
设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象可得：
，
解得：，
∴游玩行走的速度为（米/秒），
由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为，
∴，
∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（米）；
故选B．
二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解： ．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：．
12．为了解某区初中学生每月参加社团活动时间的情况，随机抽查了名学生的社团活动时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知该区初中生共有名，依此估计，该区每月参加社团活动的时间不少于小时的学生数大约是 名．
【答案】
【详解】解：，
∴估计该区每月参加社团活动的时间不少于小时的学生数为名，
故答案为：．
13．不等式组的整数解是 ．
【答案】3
【详解】解：由得：，
由得：，
所以不等式组的解集为，
所以其整数解为3，
故答案为：3．
14．一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的半径是 ．
【答案】2
【详解】解：由弧长公式得，解得，
故答案为：2．
15．在温度不变的条件下，气体所产生的压强与气体的体积成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强P关于气体的体积V的函数图象．若压强由减压到，则气体体积增加了 ．

【答案】15
【详解】解：设这个反比例函数的解析式为，
时，，
，
，
当时，，
当时，，
，
气体体积增大了，
故答案为：15．
16．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为的正方形可以制作一副图中图1所示的七巧板（其中点Q，R分别与图2中的点E，G重合，点P在边上），则“拼搏兔”所在正方形的边长是 ．
【答案】
【详解】解：如图2中，连接，作交的延长线于M．
∵，
∴图1中④、⑤等腰直角三角形的直角边为，
∴在中，，
，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题：（本大题有8个小题，共66分）
17．计算：．
【答案】
【详解】解：
．
18．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，，请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
(1)在图1中画一个等腰三角形，使得点C的横、纵坐标之和为偶数；
(2)在图2中画一个，使得点P在坐标轴上．
【答案】(1)见详解(2)见详解
【详解】（1）解：如图1，，，，均满足题意．
（2）
如图2，，均满足题意．
19．党的二十大胜利召开后，某校掀起了学习党的二十大精神的热潮，为巩固学习成果，该校举办了学习贯彻党的二十大精神理论知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：
抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：
7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
七八年级教师竞赛成绩统计表
八年级教师竞赛成绩扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)估计该校七年级60名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；
(3)根据以上数据分析，请从平均数与中位数两个方面评价哪个年级教师学习党的二十大精神竞赛成绩更优异．
【答案】(1)8；9(2)54(3)见解析
【详解】（1）七年级教师的竞赛成绩：7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
中位数．
根据扇形统计图可知类是最多的，故．
故答案为：8；9．
（2）（人），
答：该校七年级60名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数大约有54人；
（3）根据表中可得，
∵七年级的平均数略高于八年级的平均数，
∴从平均数看，七年级成绩更优异；
∵七年级的中位数小于八年级的中位数，即八年级有一半的人成绩高于9分，
∴从中位数看，八年级成绩更优异，
综上，八年级教师的学习党的二十大精神竞赛成绩更优异．
20．在平面直角坐标系中，已知直线：与y轴相交于A点，与直线：相交于点．
(1)求m、k的值；
(2)求的长；
(3)若直线与直线，及x轴有3个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，求a的值．
【答案】(1)，(2)(3)或或13
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点在上，
∴，
∴．
（2）∵已知直线：与y轴相交于A点，
∴，
∴，
∵
∴．
（3）把代入得，，
把代入得，，
分三种情况：
①当第三点在直线上时，，解得；
②当第三点在直线上时，，解得；
③当第三点在x轴上时，则，解得，
∴直线与直线，及x轴有3个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为或或13
21．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点N，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)3
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
设长为x，则，
在中，，
即，
解得：，
∴．
22．如图1，公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，．
(1)求水线最高点与点之间的水平距离；
(2)当喷水口在处时，
①求水线的最大高度；
②身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由．
【答案】(1)水线最高点与点之间的水平距离为
(2)①水线的最大高度为；②，理由见解析
【详解】（1）解：如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，为原点，建立平面直角坐标系．
，
抛物线的对称轴是直线，
又，
水线最高点与点之间的水平距离为：；
（2）①由题意，结合（1），又因为抛物线形水线也随之上下平移，
可设过点的抛物线为，
又，，
，
，，
所求解析式为．
水线的最大高度为；

②令，
．
或，
为了不被水喷到，
．
23．数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下：
该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，，
【答案】（1）遮阳篷前端到墙面的距离约为（2）挡沿部分的约为．
【详解】解：（1）如图，作于，

，．
在中，，即，
，
答：遮阳篷前端到墙面的距离约为；
（2）解：如图，作于，于，延长交于，则，

四边形、四边形是矩形，
由（1）得，
，
在中，，即，
，
由题意得：，
，
在中，，即，
，
，
答：挡沿部分的长约为．
24．如图，已知是的直径，点在的延长线上，点在上，连接和，且平分．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，连接交于点，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，弧上有一点，连接，于点，交于点，，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
在中，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴，即平分；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可得，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
即；
（3）如图所示，连接过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，
设，由（2）可得，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∵是直径，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，则,
∴，，
∴．
年级
七年级
八年级
平均数
8.6
8.5
中位数
a
9
众数
8
b
活动课题
遮阳篷前挡板的设计
问题背景
我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长．

测量数据
抽象模型
我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可．

解决思路
经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题：
（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离；
（2）继续构造直角三角形，求出为时，的长度．
运算过程
．．．．．．．．