河北省保定市名校协作体2024届高三下学期三模数学试题（Word版附解析）

这是一份河北省保定市名校协作体2024届高三下学期三模数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了已知，则，函数，若函数在区间上是减函数，且，则，已知复数满足等内容，欢迎下载使用。

时限：120分钟 满分：150分 命审题：高三数学备课组
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
2.函数（ ）
A.是偶函数，且在区间上单调递增
B.是偶函数，且在区间上单调递减
C.是奇函数，且在区间上单调递增
D.既不是奇函数，也不是偶函数
3.如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知的三个角的对边分别是，若，则（ ）
A. B. C. D.
6.设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
7.若函数在区间上是减函数，且，则（ ）
A. B. C.1 D.2
8.已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图，在正方体中，分别为棱的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是（ ）
A.四点共面
B.平面被正方体截得的截面是等腰梯形
C.平面
D.平面平面
10.已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.的最小值为3 D.的最小值为3
11.已知函数的定义域为，对，且为的导函数，则（ ）
A.为偶函数 B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.
12.己知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则______.
13.已知矩形中，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为______.
14.一只口袋装有形状､大小完全相同的3只小球，其中红球､黄球､黑球各1只.现从口装中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为______（用表示）.
二､解答题：本题共5小题，共77分.
15.（本小题满分13分）
己知函数.
（1）求函数的单调区间.
（2）若函数有最大值，求实数的值.
16.（本小题满分15分）（1）假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型，请写出参数的最小二乘估计；
（2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果.下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量（万），其中年份对应的年份代码为1-5.已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述.
令变量，则变量与变量满足一元线性回归模型，利用（1）中结论求关于的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量.
17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，.
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求.
18.（本小题满分17分）己知圆，动圆与圆相内切，且经过定点
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若直线与（1）中轨迹交于不同的两点，记外接圆的圆心为（为坐标原点），平面上是否存在两定点，使得为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分17分）对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的.
（1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的.
（2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列.
（3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式.
数学试题参考答案及评分标准
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分.
12. 13. 14.
选择题与填空题详解：
1.【答案】C
【解析】，故正确选项为C
2.【答案】A
【解析】的定义域为，
为偶函数；当时，在区间上单调递增，故正确选项为A
3.【答案】B
【解析】这个电路是通路，原件A正常工作，且元件B，C至少有一个正常工作，其概率为，故正确选项为B
4.【答案】B
【解析】先判断充分性：，
令，则数列的偶数项成等差数列，
令，则数列的奇数项成等差数列，
但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3，∴“”不是“数列是等差数列”的充分条件；
再判断必要性：若数列是等差数列，则，“”是“数列是等差数列”的必要条件；综上，“”是“数列是等差数列”的必要不充分条件，故正确选项为B
5.【答案】D
【解析】，
，故正确选项为D.
6.【答案】C
【解析】为的中点，过点作垂直于轴于点为的中位线，则的坐标为，则直线的斜率为，故正确选项为C.
7.【答案】A
【解析】，依题意，
两式相减得，故正确选项为A
8.【答案】C
【解析】（方法一）设的重心为，则，
点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
的最小值是，故正确选项为C
（方法二）以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，则，设点的轨迹方程为，设圆心为，由圆的性质可知当过圆心时最小，最小值为，故正确选项为C.
9.【答案】BD
【解析】易得经过三点的平面为一个正六边形，点在平面外，
四点不共面，选项A错误；分别连接和，则平面即平面，截面是等腰梯形，选项B正确；分别取的中点，则平面即为平面显然不平行平面选项错误，同时平面平面平面选项D正确.综上，正确选项为BD.
10.【答案】ABD
【解析】为纯虚数，设选项A正确；
，则所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，，
选项B正确；为纯虚数，对应点在轴上（除去原点），的取值范围为，
无最小值，选项C错误；为纯虚数或0，对应的点在轴上（除去点），当时取得最小值3，∴选项D正确，故正确选项为ABD.
11.【答案】BCD
【解析】令，则为奇函数，故选项A不正确；
令，则，令，则为奇函数的周期为4，，故选项B正确；
为奇函数，为偶函数；
的周期为4，且，
为偶函数，，
关于对称，，故选项C正确；
令，则，即①，令，
则②，
由①+②得，
故选项D正确，故正确选项是BCD.
12.【答案】
【解析】圆锥曲线的离心率为该圆锥曲线是双曲线，将方程化成焦点在轴上的标准形式，则.
13.【答案】
【解析】如图，以所在直线为旋转轴，旋转一周形成两个共底面的圆锥，旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为，这两个几何体重叠部分是以圆为底面，为顶点的两个小圆锥，其体积记为，则所求几何体体积
14.【答案】
【解析】由题知
四､解答题：
15.【解析】（1）
1°当时在区间上单调递增.
2°当时，时，单调递增
时，单调递减
综上，当时，的增区间是，当时，的增区间是，减区间是
（2）由（1）知当时，无最大值.
当时，，平方有，解得.
16.【解析】（1）
要使残差平方和最小，当且仅当；
（2），由（1）知，
关于的经验回归方程为，
，
当（万），
因此，预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到34.4万辆.
17.【解析】（1）证明：底面是菱形，，
平面平面，
又平面平面，
又平面，
平面
即平面.
（2）（方法一）由（1）知平面，延长，相交于点，
则即为与平面所成的角
过作，作于点，连接平面，
，又平面
即为平面与平面的夹角，
（方法二）以为原点，以为轴，为轴，
过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，则，
，
平面与平面所成的角为
平面是平面的一个法向量，又平面平面，
设只需，则平面
令，则
18.【详解】（1）设圆的半径为，圆与动圆内切于点.点在圆内部，点在圆内部.
，
点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，其方程为.
（2）（方法一）联立与椭圆方程，消得，
设，则，
的中垂线方程为：，即①
同理可得的中垂线方程为：②
由①②两式可得，
外接圆圆心的横坐标，
其中
，
又的中垂线方程为，即，
圆心的纵坐标为，
圆心在双曲线上，
存在定点，使得（定值）
（方法二）设外接圆方程为，联立与圆的方程消得，则
，解得，设圆心坐标为，
则，
圆心在双曲线上，
存在定点，使得（定值），
19.【解析】（1）是等差数列，设，
令，
则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的.
（2）因为数列是“优分解”的，设，
其中，
则.
当时，
当时，是首项为，公比为的等比数列.
（3）一方面，数列是“优分解”的，设，
其中，由（2）知
因为，所以.
是首项为2，公比为的等比数列.
另一方面，因为是“优分解”的，设，
其中，
是首项为2，公比为的等比数列，
，且，
化简得，
即数列是首项，公比为的等比数列.
又，
又解得，
综上所述，.年份代码
1
2
3
4
5
销量（万）
4
9
14
18
25
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
B
D
C
A
C
题号
9
10
11
答案
BD
ABD
BCD