广西重点高中2023-2024学年高二下学期五月联合调研测试数学试题

这是一份广西重点高中2023-2024学年高二下学期五月联合调研测试数学试题，共18页。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚, 将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2. 选择题必须使用 2 B 铅笔填涂; 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整 笔迹清楚。
3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答, 超出答题区书写的答案无效; 在草稿纸、试题 卷上答题无效。
4. 保持卡面清洁, 不要折叠、不要弄破、弄皱, 不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知方程 x2k+5+y23−k=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为
A. −5,3 B. −5,−1 C. −1,3 D. 3,+∞
2. 已知向量 a=2,b=1 ,且 a−2b=23 ,则向量 a,b 的夹角是
A. 5π6 B. π6 C. 2π3 D. π3
3. 设 m,n 是两条不同的直线, α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是
A. 若 m⊥α,m//n,n⊥β ,则 α⊥β
B. 若 α//β,m⊂α,m//n ,则 n//β
C. 若 m,n 是两条不同的异面直线, m//α,n//β,m⊂β,n⊂α ,则 α//β
D. 若 m⊥n,α//β ,则 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角互余
4. 已知 an 为递增的等比数列, Sn 是它的前 n 项和,若 a1a5=2a3 ,且 2a4 与 a5 的等差中项 为 8,则 S5 等于
A. 154 B. 152 C. 314 D. 312
5. 已知函数 fx=x2+aex+e−x+3a>0 ,则不等式 f2x−1≤fx+2 的解集 是
A. −∞,−13∪[3,+∞) B. −13,3
C. [3,+∞) D. (−∞,3]
6. 某校选派一支代表队参加市里的辩论比赛, 现有 “初心” “使命” 两支预备队. 选 “初心’ 队的概率为 23 ,且 “初心” 队获胜的概率为 45 ; 选 “使命” 队的概率为 13 ,且 “使命” 队 获胜的概率为 35 ,则该校在比赛中获胜的条件下,选 “使命” 队参加比赛的概率为
A. 311 B. 811 C. 15 D. 13
7. 在 △ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 c=4,b=2,∠BAC 的平分线 AD 的长为 6 ,则 BC 边上的高 AH 的长为
A. 352 B. 5 C. 332 D. 152
8. 已知点 F1,F2 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 的 右支上, y 轴上一点 A ,使 AF1⊥PF1 ,若 PF2=25PA ,则双曲线 C 的离心率为
A. 332 B. 335 C. 352 D. 355
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知一组数据 8,9,12,12,13,16,16,16,18,20 ,则这组数据的
A. 众数为 12 B. 平均数为 14 C. 中位数为14.5 D. 第 25 百分位数为 12
10. 将函数 y=sin2ωxω>0 向右平移 π6 个单位,得到函数 fx ,下列关于 fx 的说法 一定正确的是
A. 当 ω=1 时, fx 关于 x=5π12 对称
B. fx 关于 −π6,0 对称
C. 当 11 ; .7 分 由于 g−1=1e>0 ,而 gx=ex−ax−a>14x2+x+1−ax−a ,取 x=4a,g4a>3a+1>0 , .8 分 ∴ 当 a>1 时,函数 fx 存在两个极值点; . .9 分
(另解: 两端用极限不扣分)
解法二: (同上) 由于 x→−∞ 时, fx→+∞,x→+∞ 时, fx→+∞ , .7 分
只需 glna0 ,解得 a>1 ; . .8 分
∴ 当 a>1 时,函数 fx 存在两个极值点; . .9 分
解法三: 令 f′x=ex−ax−a=0 ,即 ex=ax+1
当 x=−1 时,方程不成立, ∴x=−1 不是方程的根 .4 分
当 x≠−1 时,则有 exx+1=a ,令 gx=exx+1
∵ 函数 fx 存在两个极值点 ∴gx=exx+1 的图像与 y=a 的图像有两个不同的交点 45 分
而 g′x=xexx+12
当 x1 时,函数 fx 存在两个极值点 . .9 分
（2）由（1）知 −10 在 1,+∞ 上恒成立,所以 ℎt 在 1,+∞ 上递增. .15 分
而 ℎe=3−ee−1,ℎe2=4e2−1 ,当 ℎt∈3−ee−1,4e2−1 时,则 t∈e,e2 , .16 分
∴x2+1x1+1 的取值范围是 e,e2 . .17 分
19. 解: (I) 由题意: 动点 T 到点 F0,1 的距离与到直线 l:y=−1 的距离相等,
∴T 的轨迹 C 是以 F 为焦点,以直线 l:y=−1 为准线的抛物线 .1 分
∴C 的方程为: x2=4y .2 分
(II) (1) 设直线 AB⊥x 轴,则直线 AB 与抛物线 C 有且只有一个交点,不合乎题意
设直线 AB 的方程为 y=kx+b ,设点 Ax1,y1、Bx2,y2 ,则 x1≠22 且 x2≠22 ,(或 22k+b≠2 )
联立 y=kx+bx2=4y ,可得 x2−4kx−4b=0 ,
Δ=16k2+16b>0 ,由韦达定理可得 x1+x2=4k,x1x2=−4b , ⋅3 分
解法一: PA=x1−22,y1−2,PB=x2−22,y2−2
∴PA⋅PB=x1−22x2−22+y1−2y2−2=x1x2−22x1+x2+y1y2−2y1+y2+12 4 分
而 y1y2=x124⋅x224=b2,y1+y2=kx1+x2+2b=4k2+2b ⋅5 分
∵PA⊥PB ∴PA⋅PB=−4b−22×4k+b2−24k2+2b+12=0
整理得 b−42=42k+12 ,解得 b=22k+6 或 b=−22k+2 (舍) . 6 分
故直线 AB 的方程为 y=kx+22k+6=kx+22+6 ,因此,直线 AB 过定点 −22,6 .7 分
解法二: PA=x1−22,y1−2=x1−22,x12−84 ,同理 PB=x2−22,x22−84 ,
PA⋅PB=x1−22x2−22+x12−8x22−816 4 分
=x1−22x2−22+x1−22x2−22x1+22x2+2216
=x1−22x2−2216⋅16+x1+22x2+22=0, ⋅5 分
∵x1≠22 且 x2≠22,∴16+x1+22x2+22=0
即 x1x2+22x1+x2+24=−4b+82k+24=0 ,可得 b=22k+6 ⋅6 分
故直线 AB 的方程为 y=kx+22k+6=kx+22+6 ,因此,直线 AB 过定点 −22,6 .7 分
（2）由（1）可知,直线 AB 的斜率存在,且直线 AB 的方程为 y=kx+b ,记线段 AB 的中点为点 M
① 当 k=0 时,则 A、B 关于 Y 轴对称,此时线段 AB 的垂线为 Y 轴,
因为 PA=PB ,则点 P 为坐标原点,又因为 PA⊥PB ,则 △PAB 为等腰直角三角形.
则 △PAB 的两腰所在直线的方程为 y=±x ,联立 y=xx2=4y ,解得 x=0y=0 或 x=4y=4 ,
此时, PA=PB=42+42=42,S△PAB=12×422=16 ; . .8 分
② 当 k≠0 时, x1+x22=2k,y1+y22=k⋅x1+x22+b=2k2+b ,即点 M2k,2k2+b . .9 分
因为 PA=PB ,则 PM⊥AB ,设点 Px0,y0 ,其中 x0≠x1 且 x0≠x2 ,
AP=x0−x1,x02−x124, BP=x0−x2,x02−x224,
由已知可得 AP⋅BP=x0−x1x0−x2+x02−x12x02−x2216=x0−x1x0−x216x0+x1x0+x2+16=0 ,
10 分
所以, x02+x0x1+x2+x1x2+16=x02+4kx0−4b+16=0 ,则 b=y0+kx0+4 .11 分
直线 PM 的斜率为 kPM=2k2+b−y02k−x0=−1k ,可得 b=y0−2−2k2+x0k , .12 分
所以, 2kk2+3+k2−1x0=0 ,当 k=±1 时,等式 2kk2+3+k2−1x0=0 不成立.
所以, k≠0 且 x0=−2kk2+3k2−1 , .13 分
所以, b=x024+kx0+4 ,则 k2+b=k2+k2k2+32k2−12−2k2k2+3k2−1+4
=k2k2−12+k2k2+32−2k2k2+3k2−1+4k2−1k2−12=4k2+12k2−12, .14 分
所以 AB=1+k2x1+x22−4x1x2=41+k2k2+b , 15 分
故 S△PAB=12AB⋅12AB=4k2+1k2+b=16k2+13k2−12=16k2+1k4+k2+1k4−k2+1>16 .16 分
综上所述, S△PAB≥16 . 因此, △PAB 面积的最小值为 16 . .17 分有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
40
80
感染支原体肺炎
40
合计
120
200
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
C
D
B
A
D
D
BCD
AC
ACD
有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
40
40
80
感染支原体肺炎
80
40
120
合计
120
80
200
X
0
1
2
3
P
8125
36125
54125
27125