广东省江门市新会第一中学2023-2024学年高三热身考试数学试题

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一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，，则的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆的离心率为，长轴长为，则该椭圆的短轴长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（ ）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）
5．已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（ ）
A． B．
C． D．的大小关系与有关
6．人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A．B．C．D．
7．如图3，圆台的上、下底面半径分别为，，且，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（ ）
图3
A． B． C． D．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知是关于的方程的两个根，其中，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知两个变量y与x对应关系如下表：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）
A．与正相关 B．
C．样本数据的第百分位数为 D．各组数据的残差和为
11．已知函数，则（ ）
A．若的图象向右平移个单位长度后与的图象重合，则的最小值为
B．若的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为
C．若函数的最小正周期为，则
D．当时，若的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则方程有无穷多个解
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数的定义域为 ．
13．已知中，，则 ．
14．已知曲线为坐标原点．给出下列四个结论：
①曲线关于直线成轴对称图形；
②经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点；
③直线与曲线所围成的图形的面积为；
④设直线，当时，直线与曲线恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是 ．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. （本小题满分13分）
甲、乙两个不透明的袋中各装有个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有个红球、个黄球，乙袋中有个红球、个黄球.
（1）若从两袋中各随机地取出个球,求这个球颜色相同的概率；
（2）若先从甲袋中随机地取出个球放入乙袋中,再从乙袋中随机地取出个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望.
16．（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，平面平面，，，．
（1）若，分别为，的中点，证明：平面；
（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值．
17.（本小题满分15分）
设是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程有实根；②在定义域区间上可导，且满足.
（1）判断，是否是集合中的元素，并说明理由；
（2）设函数为集合中的任意一个元素，证明：对其定义域区间中的任意、，都有.
18. （本小题满分17分）
如图，为圆上一动点，过点分别作轴､轴的垂线，垂足分别为，点满足，点的轨迹记为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的两条直线分别交曲线于两点，且，求证：直线过定点；
（3）若曲线交轴正半轴于点，直线与曲线交于不同的两点，直线分别交轴于两点，试探究：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
19．（本小题满分17分）
约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．设正整数a共有k个正约数，记为
()．
(1)当时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；
(2)当时，若构成等比数列，求证：()；
(3)记，求证：
x
1
2
3
4
5
y
5
m
8
9
10.5