数学九年级上册2.7 弧长及扇形的面积精练

这是一份数学九年级上册2.7 弧长及扇形的面积精练，文件包含第07讲弧长扇形面积和圆锥的侧面积知识解读+真题演练+课后巩固原卷版docx、第07讲弧长扇形面积和圆锥的侧面积知识解读+真题演练+课后巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。

理解弧长和扇形面积及公式，并会计算弧长和扇形的面积
经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程，感受转化、类比的数学思想、培养学生的探索能力；
通过弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系；
4.通过探索圆锥侧面积和全面积计算公式，并熟练运用公式解决问题。
知识点1：扇形的弧长和面积计算
扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积
注意：
(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；
(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；
(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，
即；
(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
知识点2：扇形与圆柱、圆锥之间联系
1、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
=
圆柱的体积：
2、圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：
注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（）
【题型1 弧长的计算】
【典例1】（2023•怀集县二模）如图，△ABC内接⊙O，∠BAC＝45°，BC＝，则的长是（ ）
A．B．C．D．π
【答案】C
【变式1-1】（2023春•永嘉县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交边AC于点E，若AD＝6，则的长为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【变式1-2】（2023•东区二模）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，点C是弧BD的中点，∠DAC＝30°，BC＝6，则弧BC的长为（ ）
A．πB．2πC．4πD．6π
【变式1-3】（2023•秦都区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，AC＝AD，若∠ABC＝130°，⊙O的半径为9，则劣弧的长为（ ）
A．4πB．8πC．9πD．18π
【题型2 利用弧长公式求周长】
【典例2】（2023•宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A．2πB．C．D．
【变式2-1】（2023•郁南县校级模拟）最近“羊了个羊”游戏非常火热，杨老师设置了一个数学版“羊了个羊”游戏．如图，一根6米长的绳子，一端拴在点A处，另一端拴着一只小羊（把小羊近似看作点D）．已知墙体AB的左边是空地，∠ABC＝60°，墙体AB长3米，小羊D可以绕到草地上活动，请问小羊D在草地上最大活动区域的周长是（ ）
A．B．2π+6C．π+6D．3π
【变式2-2】（2022秋•防城港期末）如图，圆的半径是2，圆内阴影图案的周长是（ ）
A．4πB．3πC．2πD．π
【题型3 计算扇形的面积】
【典例3】（2023•忻州模拟）习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是 一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．3m2C．D．
【变式3-1】（2022秋•郊区期末）如图，在4×4的方格中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的面积等于（ ）
A．2πB．C．D．
【变式3-2】（2022秋•临平区期末）若扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积为（ ）
A．2πB．4πC．12πD．24π
【题型4 计算不规则图形的阴影部分面积】
【典例4】（2023•平遥县二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2023•建昌县二模）如图，扇形纸片的半径为6，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2023•南宁三模）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2023•阳泉一模）如图，扇形AOB的圆心角为直角，OA＝20，点C在AB上，以OB，CB为邻边构造▱OBCD．边CD交OA于点E．若OE＝12，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）
A．200π﹣240B．200π﹣216C．100π﹣216D．100π﹣240
【题型5 旋转过程中扫过的路径或面积】
【典例5】（2020秋•江城区月考）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置．若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．10πcmB．10πcmC．15πcmD．20πcm
【变式5-1】（2022•枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ．（结果保留π）
【变式5-2】（2022•武山县校级一模）如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A、P之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为 ．
【变式5-3】（2022秋•邯山区校级期末）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C，直接写出A′，B′坐标；
（2）在（1）的条件下，请直接写出点B旋转到点B′所经过的路线长 （结果保留π）；
（3）在（1）的条件下，求点A旋转到点A′时，线段AC所扫过的面积（结果保留π）．
【典例6】（2023•丰润区二模）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．3π
【变式6-1】（2023•凉山州模拟）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A'B'C'，已知AC＝6，BC＝4，则线段AB扫过的图形面积为（ ）
A．B．
C．6πD．以上答案都不对
【变式6-2】（2023•西城区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB'C'，并使点C'落在AB边上．
（1）旋转角α的度数是 ．
（2）线段AB所扫过部分的面积是 ．（结果保留π）
【题型6 圆锥的计算】
【典例7】（2023•零陵区三模）如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
【变式7-1】（2023•河东区二模）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为（ ）
A．24πB．36πC．48πD．72π
【变式7-2】（2023•玉溪三模）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），​则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【变式7-3】（2023•双柏县模拟）若圆锥的底面半径是2cm，侧面展开扇形的面积为4πcm2，则圆锥的母线长为（ ）
A．2cmB．4cmC．2πcmD．4πcm
【题型7 圆柱的计算】
【典例8】（2022秋•怀柔区校级月考）将一个高6cm的圆柱转化成如图的一个几何体后，表面积增加了48cm2．这个圆柱的半径是（ ）cm．
A．2B．4C．8D．16
【变式8-1】（2023春•肇源县期中）一个圆柱，底面直径和高都是2分米，这个圆柱的侧面积是（ ）平方分米．
A．6πB．5πC．4πD．2π
【变式8-2】（2022春•绥棱县期末）一根长3米的圆柱形木料，横着截4分米，和原来相比，剩下的圆柱形木料的表面积减少12.56平方分米，原来这根圆柱形木料底面周长为（ ）分米．
A．0.314B．31.4C．3.14D．6.28
【变式8-3】（2022•新华区校级一模）图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为（ ）
A．48πcm3B．60πcm3C．72πcm3D．84πcm3
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1．（2023•新疆）如图，在⊙O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（ ）
A．12πB．6πC．4πD．2π
2．（2023•连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣20B．π﹣20C．20πD．20
3．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（ ）
A．11﹣2B．11﹣4C．8﹣2D．8﹣4
4．（2023•永州）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为 度．
5．（2023•温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 ．
6．（2023•金华）如图，在△ABC 中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm．
7．（2023•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
8．（2023•重庆）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
9．（2023•内江）如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是 ．
10．（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 cm2．（结果保留π）
11．（2023•自贡）如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 cm2．
户：gaga；邮箱：18376708956；学号：189
1．（2023•东莞市校级模拟）如图，点A、B、P在⊙O上，若AO＝2，∠APB＝35°，则劣弧的长度为（ ）
A．B．C．πD．
2．（2023•南岗区校级三模）已知扇形半径为6，弧长为4π，则扇形面积为（ ）
A．10πB．12πC．16πD．24π
3．（2023•大同模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，半径OA＝3，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，使点O恰好落在AB上的点D处，折痕为BC，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．﹣3C．D．
4．（2023•建昌县一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交边CD于点E，连接AE，则扇形BAE的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023•南皮县校级一模）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，AB为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形DAB的面积是（ ）
A．1B．1.5C．2D．
6．（2022秋•防城港期末）在中国书画艺术中，扇面书画是一种特殊的形式．如图扇面书法作品的形状是同心圆作出的扇面，扇面弧所对的圆心角是120°，大圆半径是20cm，小圆半径是10cm，则此书法作品的扇面面积是（ ）
A．300πcm2B．200πcm2C．100πcm2D．80πcm2
7．（2022•治多县模拟）钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）
A．πB．πC．πD．4
8．（2023•宿迁一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（ ）
A．12cm2B．24cm2C．12πcm2D．24πcm2
9．（2023•常德三模）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则这个圆锥的底面圆的面积为（ ）
A．2.25πcm2B．9πcm2C．12πcm2D．36πcm2
10．（2023•天门校级模拟）如图，圆锥的轴截面是一个斜边为2的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．B．C．2πD．
11．（2023•微山县一模）如图，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，弧BB′的长是（ ）
A．2πB．C．D．
12．（2023•庆元县一模）如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画：先画正三角形ABC，然后分别以点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧．若一个弧三角形的周长为2π，则此弧三角形的面积是（ ）
A．B．C．D．2π
13．（2023•阳泉二模）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，半圆绕点B顺时针旋转45°．点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
​
A．B．πC．D．
14．（2022•南岗区校级开学）一个底面直径是10厘米，高是20厘米的圆柱，如果把它沿直径垂直于底面切成两半，表面积增加了 平方厘米．
15．（2022•常山县模拟）一个圆柱的底面半径为5cm，母线长为6cm，则这个圆柱的侧面积为 cm2．
16．（2023•西湖区校级二模）已知扇形的半径为3cm，圆心角为150°，则该扇形的弧长为 cm．
17．（2023•镇平县二模）如图，扇形纸片AOB，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，已知，则图中阴影部分的周长 ．
​
18．（2022•盘龙区校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1cm．将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△AB'C'位置．则边BC扫过的面积是 cm2．
19．（2022秋•赵县期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 ；
（2）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为 ．（结果保留根号）
20．（禹会区一模）如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为 ．
21．（海淀区校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．如果A（﹣4，0），B（﹣1，2）．请回答：
（1）点B'的坐标为 ．
（2）点A经过的路径的长度为 π．（友情提示：已经有π）
22．（2022秋•牡丹区校级期末）一个圆柱体，高减少了4厘米，表面积就减少50.24平方厘米，求这个圆柱体的底面积．