【数学】北京市房山区2022-2023学年高二下学期期末试题（解析版）

这是一份【数学】北京市房山区2022-2023学年高二下学期期末试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 在等差数列40，37，34，……中，第6项是（ ）
A. 28B. 25C. 24D. 22
【答案】B
【解析】由题意知为等差数列，且，
则，所以，
故选：B.
2. 已知数列的通项公式为，则其前n项和（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】数列的通项公式为，则，
即数列是首项为2，公比为3的等比数列，
所以.
故选：A
3. 函数在上的平均变化率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得平均变化率为，故选：C
4. 用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当时，左边，
当时，左边，
所以左边应添加因式为
故选：B.
5. 定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数区间上单调递增
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在处取得极大值
【答案】A
【解析】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；
在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误；
当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误；
当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误，故选：A.
6. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，因为，故，
所以在上单调递增，
因为，所以，
故选：D.
7. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，，，
，
当时，，，恒成立，故A为凸函数；
对于B，对于，，，
当时，恒成立，故B为凸函数；
对于C，由，得，所以，
因为，所以恒成立，故C为凸函数；
对于D，对于，，，
当时，恒成立，故D不是凸函数.
故选：D.
8. 设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于AB，不妨设，，则，，满足题意，若，则，故A错误，
若，则，故B错误；
对于CD，因为，在上的导函数存在，且，
令，则，
所以在上单调递减，
因为，即，所以，
由得，则，故C正确；
由得，则，故D错误.
故选：C.
9. 设各项均为正数的等比数列的公比为q，且，则“为递减数列”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题设且，则，
若为递减数列，故，则，充分性成立；
若，则，易知为递减数列，必要性也成立；
所以“为递减数列”是“”的充分必要条件.故选：C
10. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（ ）
A. 1125块B. 1134块C. 1143块D. 1152块
【答案】B
【解析】记从中间向外每环扇面形石板数为，是等差数列，且公差为，，
设每层有环，则，，
是等差数列，则也成等差数列，
所以，
所以，，
故选：B．
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
11. 已知数列为，，，，，则该数列的一个通项公式可以是________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】依题意，，
所以前4 项都满足的一个通项公式为.
故答案为：
12. 已知函数，则________．
【答案】2
【解析】因为，所以，则，
所以，
故答案为：2.
13. 函数，若，则________．
【答案】
【解析】函数，求导得，而，
即，解得，
所以.
故答案为：
14. 在各项均为正数的等比数列中，若，则________．
【答案】
【解析】由可得：，
则，因为等比数列的各项均为正数，
则.
故答案：
15. 如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则小正方形的边长为________时，这个纸盒的容积最大，且最大容积是________．

【答案】①2 ②144
【解析】设剪下的四个小正方形的边长为x cm，
则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒的底面矩形长为cm，宽为cm，
则长方体纸盒的底面积为，而长方体纸盒的高为x cm，
于是长方体纸盒的体积（），，
求导得，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
所以当时， ()．
故答案为：2；144
16. 若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前n项和为．给出下列结论：
①；
②是奇数；
③；
④．
则所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】对于①，由，且，可得斐波那契数列：，，，，，，，，故故①正确；
对于②：由斐波那契数列：，，，，，，，，，，，，
可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数，且，所以是奇数，故②正确；
对于③：因为，
相加可得：，故③错误；
对于④：因为斐波那契数列总满足，且，
所以，
，
，
类似的有，，
其中
累加得，
，
故：，故④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分．
17. 设数列是等差数列，记其前n项和为．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和．
条件①：，；
条件②：，．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：（1）选条件①，设等差数列的公差为，由，，得，
解得，因此，
所以数列的通项公式是.
选条件②，由，得等差数列的公差，由，得，
所以数列的通项公式是.
（2）选条件①，由（1）知，，则，显然数列等比数列，首项、公比均为4，
所以数列的前n项和.
选条件②，由（1）知，，，
显然数列是等比数列，首项为4，公比为2，
所以数列的前n项和.
18. 已知函数.
（1）设，求曲线在点处的切线方程.
（2）设，若函数有三个不同零点，求实数的取值范围.
解：（1）由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，得f′(x)＝3x2＋2ax＋1.∵f(0)＝1，f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1.
(2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，∴f′(x)＝3x2＋8x＋4.
令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝.
当x变化时，f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：
∴当c>0且<0时，f(－4)＝c－16<0，f(0)＝c>0，存在x1∈(－4，－2)，x2∈，x3∈，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(x)的单调性知，当且仅当c∈时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.
19. 设函数在时取得极值．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求b的取值范围．
解：（1）函数，
求导得，
依题意，，解得，
此时，
当或时，，当时，，
即函数在上递增，在上递减，
因此函数在时取得极值，所以.
（2）当时，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
依题意，，即，解得或，
所以b的取值范围是或.
20. 已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为．
（1）计算，，，的值；
（2）根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明．
解：（1）因为，
所以，，
，
.
（2）猜想，
下面用数学归纳法进行证明：
当时，，猜想正确，
假设当时，猜想也正确，
则有，
当时，，
所以时，猜想也正确，
综上所述，.
21. 已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求的值.
解：（1）［方法一］：【最优解】指数找朋友
当时，等价于．
设函数，则．
，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
［方法二］：【通性通法】直接利用导数研究函数的单调性求得最小值
当时，．
令，令，得．则函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，从而，所以函数在区间内单调递增，有．
［方法三］：【最优解】指对等价转化
当时，．
令，函数在区间上单调递增，故，有，
故当时，．
（2）［方法一］：指数找朋友
设函数，
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，
所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
［方法二］：等价转化为直线与曲线的交点个数
令，得．
令．则函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，则．当时，，当时，，故函数在区间内只有一个零点时，．
［方法三］：等价转化为二次曲线与指数函数图象的交点个数
函数在区间内只有一个零点等价于函数的图象与函数的图象在区间内只有一个公共点．由与的图象可知它们在区间内必相切于y轴右侧同一点，设切点为，则，解方程组得，经验证符合题意．
［方法四］：等价转化为直线与曲线的交点个数
当时，，原问题转化为动直线与曲线在区间内只有一个公共点．由得函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．设与的切点为，则，于是函数在点P处的切线方程为．由切线过原点可得，故．
［方法五］：【通性通法】含参讨论
因为，，
当时，在区间内单调递增，又，故无零点；
当时，．
①当时，在区间内单调递增，有在区间内单调递增，又，故无零点；
②当时，令，得，故函数在区间内单调递减，在区间内单调递增．，从而单调递增．又，所以无零点．
③当时，，又，所以存在，使得，则函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，则为函数的唯一零点，且满足．所以，解得，则．
［方法六］：【最优解】等价变形＋含参讨论
当时，，无零点；
当时，，记，则；
当时，，函数在区间内单调递增，则有，故无零点；
当时，当时，单调递诚，当时，单调递增，当时，，当时，，
故，得．
x
(－∞，－2)
－2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
c