湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期数学期中考试试卷

这是一份湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期数学期中考试试卷，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(共8题；共40分)
1. 若 ， 则（ ）
A . 1 B . 2 C . D .
2. 在平行四边形ABCD中， ， ， 对角线AC与BD交于点O，则的坐标为
A . B . C . D .
3. 王大爷养了3只鸡和2只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则2只兔子相邻走出房子的不同方法数有（ ）
A . 120种 B . 72种 C . 48种 D . 36种
4. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为2， ， 则抛物线方程是（ ）
A . B . C . D .
5. 函数在区间上的大致图象为（ ）
A . B . C . D .
6. 对于一组具有线性相关关系的数据 ， 根据最小二乘法求得经验回归方程为 ， 则以下说法正确的是（ ）
A . 至少有一个样本点落在回归直线上 B . 预报变量y的值由解释变量x唯一确定 C . 决定系数越小，说明该模型的拟合效果越好 D . 在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高
7. 设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（ ）
A . B . C . D .
8. 设 ， ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．(共3题；共18分)
9. 已知a，b，c，且 ， ． 则下列关系一定成立的有（ ）
A . B . C . D .
10. 已知 ， 分别是椭圆的左、右焦点，A为椭圆上一动点，B为椭圆的上顶点，是边长为2的正三角形．下列说法正确的是（ ）
A . 离心率 B . 使得为等腰三角形的点A有4个 C . 当直线倾斜角为时，周长为6 D . 将椭圆C进行旋转得到椭圆 ， 使得以和B为焦点，则C和有且仅有2个交点
11. 如图，正八面体棱长为2，P为棱MC．上一动点（不含端点）．下列说法正确的是（ ）
A . 存在点P，使得 B . 当P为棱MC的中点时，正八面体表面从N点到P点的最短距离为 C . 异面直线AP和MD所成角随PC的增大而减小 D . 以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．(共3题；共15分)
12. 若集合 ， 且 ， 则实数．
13. 已知p：“”是q：“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．
14. 如果圆至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(共5题；共77分)
15. 已知函数为奇函数．
（1） 求a的值；
（2） 当时，求的单调区间和极值．
16. 如图，△ABC与△DBC所在平面垂直，且 ， ．
（1） 证明：；
（2） 求直线BC与平面ABD所成角的余弦值．
17. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1） 求角A；
（2） 若 ， 求△ABC的面积最大值．
18. 投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分．
（1） 设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布列与期望；
（2） 记n次抛掷得分恰为分的概率为 ， 求的前n项和；
（3） 投掷骰子100次，记得分恰为n分的概率为 ， 当b，取最大值时，求n的值．
19. 对于椭圆 ， 令 ， ， 那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆 ， 在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的 ， 由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题．
（1） 在原坐标系中斜率为k的直线l，经过 ， 的伸缩变换后斜率变为 ， 求k与满足的关系；
（2） 设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程；
（3） 点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值．