四川省凉山州2024届高三下学期第三次诊断性检测数学（文）试卷(含答案)

这是一份四川省凉山州2024届高三下学期第三次诊断性检测数学（文）试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知是等比数列的前n项和，，，则公比( )
A.-3B.C.3或D.-3或
3．若x，y满足约束条件，则最大值为( )
A.8B.1C.-2D.0
4．工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量y（单位：mg/L）与过滤时间t小时的关系为（，a均为正的常数）.已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过( )（最终结果精确到1h，参考数据：，）
A.43hB.38hC.33hD.28h
5．调查某校高三学生的身高x和体重y得到如图所示散点图，其中身高x和体重y相关系数，则下列说法正确的是( )
A.学生身高和体重没有相关性
B.学生身高和体重呈正相关
C.学生身高和体重呈负相关
D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8255
6．某考点在高考期间安排了高一、高二年级各两名同学参与执勤，电视台从4名执勤同学中随机抽取2名同学采访，则这两名同学来自于同一个年级的概率是( )
A.B.C.D.
7．已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则( )
A.B.C.D.
8．已知直线与圆交于M，N两点，记的面积为S，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
9．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min.某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为( ).
D.m
10．已知正六棱锥S－ABCDEF底面边长为2，体积为，则S－ABCDEF外接球的体积为( )
A.B.C.D.
11．椭圆的光学性质是：从一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点；双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线照射到双曲线上，其反射光线的延长线会经过另一个焦点.如图示椭圆光学装置1，光线经过椭圆焦点射出经椭圆两次反射后又回到焦点，经历时长为.在装置1中放入与椭圆具有公共焦点双曲线构成如图示装置2，光线从焦点射出依次经双曲线及椭圆反射后回到经历时长.若，则该装置中椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为( )
A.B.C.D.
12．已知为定义在R上且不恒为零的函数，若对，都有成立，则下列说法中正确的有( )个.
①；②若当时，，则函数在单调递增；
③对，；④若，则
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
13．已知，若z为纯虚数，则______.
14．过抛物线的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则线段AB的中点到y轴距离为______.
15．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，.若，则的取值范围是______.
16．在中，已知AB＝1，AC＝3，点G为的外心，点O为重心，则______.
三、解答题
17．某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生，物化政，物化地及政史地四个模块供高一学生选择（物化生，物化政，物化地统称为物理类，政史地称为历史类），下图是该校高一1000名学生选择各个模块扇形统计图.已知该校学生选择物理类男女比例为，选择历史类男女比例为.
（1）完成2×2列联表，并判断能否有99％把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”?
（2）从该校选择历史类学生中按照性别分层抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加历史知识趣味问答比赛，求至少有1名男生被抽到的概率.
附：.
18．如图，在正四棱柱中，，，点E，F，G，H分别在棱，，，上，，，.
（1）证明：点H在平面EFG中；
（2）求多面体的体积.
19．如图，点均在x轴的正半轴上，，…，分别是以，，…，为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上.
（1）求，，的值，并写出的通项公式（不用证明）；
（2）求数列的前n项和.
20．已知平面内动点P与两定点，连线的斜率之积为3.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点的直线与轨迹E交于A，B两点，点A，B均在y轴右侧，且点A在第一象限，直线与交于点M，证明：点M横坐标为定值.
21．已知函数.
（1）当时，求的极值点；
（2）若且函数有三个零点，求实数m的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中，伯努利双纽线C（如下图）的普通方程为，直线l的参数方程为 （其中为直线l倾斜角，t为参数）.
（1）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求C和l的极坐标方程；
（2）设M，N是曲线C与x轴异于原点的两个交点，l与C在第一象限的交点为P.当时，求的面积.
23．已知函数的最小值为a.
（1）求实数a的值；
（2）求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：因为集合或，，所以，
故选：B.
2．答案：D
解析：设等比数列的首项为，则
解得或
故选：D
3．答案：A
解析：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
由目标函数，可得化为，
所以当直线在y上的截距最小时，z最大，
即直线过点A时，z最大，
又由，解得，即，可得.
故选：A.
4．答案：D
解析：废气中污染物含量v与过滤时间t小时的关系为，令，得废气中初始污染物含量为，
又前5小时过滤掉了污染物，
，则，
当污染物过滤掉时，，
则，
当污染物过滤掉还需要经过.
故选：D.
5．答案：B
解析：由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近，
所以学生身高和体重具有相关性，A不正确;
又身高和体重y的相关系数为，相关系数，
所以学生身高和体重呈正相关，B正确，C不正确；
从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是0.8255，D不正确.
故选：B.
6．答案：C
解析：由题意，设高一的两名同学为，，高二的2名同学为，，则随机抽取2名同学采访，共有，，，，，6种情况，其中这两名同学来自于同一个年级的情况有，2种，所以这两名同学来自于同一个年级的概率是.
故选C.
7．答案：C
解析：易知，
由二次函数的单调性可知时上式取得最小值，
即
所以.
故选：C
8．答案：A
解析：由得，.
由题意可知，到直线的距离，解得.
，
.
当时，，故充分性成立;
当时，即，整理得，
即或.解得或，故必要性不成立.综上可知，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
9．答案：A
解析：设座抢距离地面的最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
设函数表示游客离底面的高度，
因为摩天轮的最高点距离地面为，直径为，且转一周大约需要，周期，，，所以，，，即，
当时，游客在点，其中以为终边的角为，
所以，
当时，可得
所以，摩天轮的座舱后距离地面高度约为.
故选：A.
10．答案：C
解析：由正六棱雉得，底面为正六边形，设底面的中心为O，连接，，
则，底面，为正六棱雉的高，所以，
因为正六棱雉的体积为，所以，即，故点O为外接球的球心，半径为2，
故外接球的体积，
故选：C.
11．答案：C
解析：不妨设光的传播速度为单位1，椭圆的长轴长为，焦距为，双曲线的实轴长为，焦距为
，则由装置1知，
由装置2知：，，，可得：
又由题知：，所以，
故椭圆离心率与双曲线离心率之比为，
故选：C.
12．答案：C
解析：令，，①对；
，，
②对；
当时由①知③成立，当时，由
②
所以③正确.
由①得由③得
∴∴得④错.
13．答案：1
解析：，
因为z为纯虚数，所以，，即，所以，则，故答案为：1.
14．答案：3
解析：由题意得：，设，，
则，解得：，则线段的中点横坐标为，故线段的中点到y轴的距离为3.
故答案为：3
15．答案：
解析：
16．答案：
解析：
17．答案：（1）列联表见解析；没有99%把握认为“该校学生选择物理类与性别有关”；
（2）.
解析：根据扇形统计图易得选择物理类学生为人，其中
男生人，女生，选择历史类100人，其中男生
人，女生人
所以没有99%把握认为“该校学生选择物理类与性别有关”
（2）记“至少有一名男生被抽到”为事件M，按照性别分层抽样抽取5人，则抽到男生2名，
记作A，B，女生3名，记作C，D，E.从5人中随机抽取2人，共：，，，，，，，，，10种不同取法，事件M发生包含：，，，，，，共7个基本事件，
由古典概型得，所以至少有1名男生被抽到的概率为.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）取中点Q，BF中点M，连接EM，MQ，QH.，
∴四边形MQGF为平行四边形①
又，，.∴.四边形EMQH为平行四边形
②由①②得.E，F，G，H四点共面，即点H在平面EFG中.
（2）连接HF，，.为正四棱柱.，
又F，H，分别是，中点...
平面即平面.
在中由勾股定理，.
由（1）可得四边形EFGH为平行四边形且.
四边形EFGH为菱形.O为EG中点.
平面，平面，
.
在中，，，
在中，，，
19．答案：（1）；
（2）；.
解析：（1）第一个等边三角形顶点坐标代入得，
将点坐标代入，将点坐标代入
得，
（2）由（1）得，
.
20．答案：（1）；
（2）证明见解析.
解析：（1）设动点，.
（2）易知直线AB斜率不为0.设AB方程为，且.设，.
，，
由题意易得.直线方程为①
直线方程为②
由①÷②得
点M横坐标为定值.
21．答案：（1）极小值点是，无极大值点；
（2）.
解析：（1）当时，.
当时，单调递减；当时，单调递增.
极小值点是，无极大值点.
（2）或
当时，，函数单调递增，∴至多一个零点，不满足条件；
当时函数在单调递增，单调递减，
单调递增，，函数至多一个零点，不满足.
当时，函数在单调递增，单调递减，单调递增.
，令，.
在区间单调递减，单调递增，.
即
.
综上：m的取值范围是.
22．答案：（1）C：；l：，；
（2）.
解析：（1）由，，，则C为
，C的极坐标方程为，
由题意易得直线l的极坐标方程为，
（2）由题意得时即，
直线l过原点.∴，
联立C，l方程，且，
则，
又，且
所以.
23．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）当时取“＝”，
（2）法一：由（1）可知，原式
，当时取“＝”.
法二：由柯西不等式得
原式
当且仅当时取“＝”
法三：由权方和不等式得
原式，当时取“＝”.
男生
女生
合计
物理类
历史类
合计
1000
0.05
0.01
0.001
k
3.841
6.635
10.828
男生
女生
合计
物理类
480
420
900
历史类
40
60
100
合计
520
480
1000