2024年北京市昌平区九年级中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共8页，共100分，考试时长为120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题（每小题2分，共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 2024年2月5日至25日，人民网连续第23次开展全国两会调查，调查围绕10个领域设置49个候选热词．本次调查广纳民情民意，吸引约6 150 000人次参与，其中6 150 000用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：B．
2. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；
故选D．
3. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行，

，.
，
，.
.
故选：C.
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.
4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是实数与数轴和算术平方根．由数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
A、，，故本选项不符合题意；
B、，，，，故本选项不符合题意；
C、，，，，，故本选项不符合题意；
D、，，，故本选项符合题意；
故选：D．
5. 正多边形的一个外角是，那么这个正多边形是（ ）
A. 正四边形B. 正六边形C. 正八边形D. 正十边形
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形的外角，根据多边形的外角和为进行求解即可．
【详解】解：∵正多边形的一个外角是，
∴这个正多边形的边数为，
∴这个正多边形为正六边形．
故选：B．
6. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式．根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可．
【详解】解：根据题意，得：，
解得，
故选：C．
7. 在不透明的袋子里有三个除颜色外其它都相同的小球，两个红球，一个黄球，从中随机同时取出两个小球，其中取到一个红球一个黄球的概率为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件概率，掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键．
根据题意，运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：列表把所有等可能结果表示出来，两个红球分别表示红1，红2，
共有6种等可能结果，其中一个红球一个黄球的结果有4种，
∴取到一个红球一个黄球的概率为，
故选：A ．
8. 如图，为半圆O的直径，C，D是直径上两点，且，过点D作的垂线交半圆于点E，．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，完全平方公式的变形．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，完全平方公式的变形是解题的关键．
由题意知，，，由，可得，可判断①的正误；如图，连接，则，证明，则，即，可判断②的正误；由，可得，可判断③的正误．
【详解】解：由题意知，，，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
如图，连接，
∵为半圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，②正确，故符合要求；
∴，
∴，
∴，③正确，故不符合要求；
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 使代数式有意义的x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案．
【详解】解：代数式有意义，


故答案为：
10. 分解因式：3x2+6xy+3y2＝_____．
【答案】3（x+y）2．
【解析】
【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解．
【详解】3x2+6xy+3y2=3（x2+2xy+y2）=3（x+y）2．
故答案为3（x+y）2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11. 分式方程的解是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，正确熟知解分式方程的步骤是解题的关键．
解分式方程，先去分母，将其转化为整式方程，再求解，最后要检验是否有增根．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
当时，．
所以原方程的解为．
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系xOy中，若点和在反比例函数图象上，则__________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征．根据比例函数中的系数得到关于的方程，求解即可得到答案．
【详解】解：点和在反比例函数图象上，
，
解得，
故答案为：8．
13. 如图，点P为外一点，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，点C为优弧上一点，若，则__________°．
【答案】50
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接，，由切线的性质定理得到，求出，由圆周角定理得到．
【详解】解：连接，，
，分别切圆于、，
半径，半径，
，
，
，
．
故答案为：50．
14. 年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 __________（结果保留两位小数）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了频率．熟练掌握频率的定义是解题的关键．
根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，种植杨树的成活率大约为，
故答案为：．
15. 图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为__________cm．
图1 图2
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
，
，
，，
，
解得：，
故答案为：3．
16. 某学校为丰富学生的课余生活，组织校园篮球赛，初三年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知第一天（2）班与（4）班比赛，第二天（3）班与（5）班比赛，第三天（4）班与（6）班比赛，第四天（2）班与（3）班比赛，那么第三天与（3）班比赛的是__________班，第五天与（1）班比赛的是__________班．
【答案】 ①. （1） ②. （2）
【解析】
【分析】本题考查逻辑推理能力．本题对学生的逻辑推理能力要求较高，根据每队都与其他队比赛一场，和已经进行的比赛，进行推断即可．
【详解】解：（3）班已知的比赛：第二天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（3）班比赛，而第三天已知进行的是（4）班与（6）班比赛，故第三天只有（1）班与（3）班比赛，
（4）班与（2）班比赛在第一天，（4）班与（6）班比赛在第三天，第二天已知（3）班与（5）班比赛，故第二天（4）班与（1）班比赛，（2）班与（6）班比赛，同理可得：第四天（1）班与（6）班比赛，（4）班与（5）班比赛，第一天（3）班与（6）班比赛，（1）班与（5）班比赛，故最后一天为（1）班与（2）班比赛，（3）班与（4）班比赛，（5）班与（6）班比赛，如表1
同一天场地上的比赛可交换进行．
故答案为：（1），（2）.
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 计算：.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式、绝对值、负指数幂、特殊角的三角函数值的运算，熟悉运算法则是解题的关键．根据二次根式、绝对值、负指数幂、特殊角的三角函数值的运算，化简计算即可．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组．先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：．
解不等式①得，；
解不等式②得，，
所以这个不等式的解集为．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查的是分数的混合运算．
将化简为，再整体代入，求值．
【详解】解：原式
，
，
原式.
20. 如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分．
（1）求证：四边形菱形；
（2）过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证，再证，得，然后证四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质结合三角函数得出，，求出，在中，解直角三角形，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，，，
中，，
，，
，，
过点C作的垂线交其延长线于点E，
，
中，，
．
21. 如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距设边空宽为，字宽为，字距为.再根据长的横幅列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：因为边空宽：字宽：字距，
所以设边空宽为，字宽为，字距为.
由题意可得：，
解得.
答：横幅字距为．
22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（1，3）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx＋b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）y=2x+1；（2）m≥3
【解析】
【分析】（1）据一次函数平移时k不变可知k=2，再把点（1，3）代入求出b的值，进而可得出结论．
（2）根据点（1，3）结合图象即可求得．
【详解】解：（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y=2x的图象平移得到，
∴k=2．
∵一次函数y=2x+b的图象过点（1，3），
∴3=2×1+b．
∴b=1．
∴这个一次函数的表达式为y=2x+1．
（2）把点（1，3）代入y=mx，求得m=3，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=2x+1的值，
∴m≥3．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换及一次函数和不等式的关系，熟知一次函数平移的性质是解答此题的关键．
23. 4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．
a.初一、初二年级学生得分的折线图
b.初三年级学生得分：
10，9，6，10，8，7，10，7，3，10
c.初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下
根据以上信息，回答下列问题：
（1）由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是__________（填“初一”或“初二”）；
（2）统计表中__________，__________；
（3）由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：__________（写出符合题意的序号）.
①平均数；②中位数；③众数；④方差.
【答案】（1）初一 （2），
（3）①②④
【解析】
【分析】本题考查折线统计图，平均数、中位数、众数和方差，理解相关统计量的意义和计算方法是正确解答的前提．
（1）根据方差的意义解答即可；
（2）根据算术平均数的意义可得m的值；根据中位数的定义可得n的值；
（3）分别根据平均数、中位数、众数和方差的定义和计算方法判断即可．
【小问1详解】
解：由折线图可知，初一学生得分的波动比初二的小，所以成绩更稳定的是初一．
故答案为：初一；
【小问2详解】
解：由题意得，，
把初三年级学生得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、9，
故中位数，
故答案为：8，8.5；
【小问3详解】
解：将其中的数据6改为9，则数据变为：10，9，9，10，8，7，10，7，3，10
数据变化，
平均数、方差改变，
中位数为：，
中位数改变，
众数依然是10，
众数不变．
故答案为：①②④．
24. 如图，是的直径，点C在上，若弦平分，交于点E，过点C作的切线，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）连接.证明，，又由，即可得到；
（2）证明为等边三角形，则，在中，得到设，则，则，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：连接.
平分
∴
是直径，
在中，
是切线
【小问2详解】
解：连接，
是直径，
∴，
，
为等边三角形，
中，
设，则
，
∴，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
即半径的长为2．
25. 通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的．
某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后衣服上都存留约1斤的污水．
（1）该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容：
方案一：采用一次漂洗的方式.
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；
方案二：采用两次漂洗的方式.
若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）；
通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好.
（2）若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________．
【答案】（1）；；；二
（2）10；
【解析】
【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键．
（1）数据计算：分别计算出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答：
实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断；
（2）先利用二次函数求出最值，确定出漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的最小值即可解决问题．
【小问1详解】
解：方案一：采用一次漂洗方式．
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的；
方案二：采用两次漂洗的方式．
若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的，
若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的
，方案二效果更好；
故答案为：，，；二；
【小问2详解】
解：，
当时有最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好，
第一次用 10斤清水，漂洗效果最好，
二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的
故答案为：二，．
26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，其中．
（1）若抛物线经过点，
①求抛物线的对称轴；
②当时，比较，的大小，并说明理由；
（2）设抛物线的对称轴为直线，若存在实数m，当时，，，都有，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）；，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键．
（1）①利用抛物线经过点和点，函数值相等的两点连线的垂直平分线即为对称轴，即可得解；
②分当时和当时两种情况讨论，证明点比点离对称轴更近即可得解；
（2）利用，开口向上得出，从而得到，结合“存在实数，当时，都有”得到，根据当时，有最小值，得出，从而得解．
【小问1详解】
解：①∵抛物线经过点和点，
∴抛物线的对称轴是：直线，
②，理由如下：
∵，
∴离对称轴越近，函数值越小，
∵，，
∴，
∴，
当时，，
即点比点离对称轴更近，
∴，
当时，
∵
∴，
即点比点离对称轴更近，
∴，
综上所述：．
【小问2详解】
∵即，开口向上，
∴，
∴
，
∵，
∴随着m的增大而增大，
要使得存在实数，当时，都有，
只需保证，
即当时，，
∴的取值范围是．
27. 如图，在中，，点D是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，G为的中点，连接，．
（1）如图1，当点D在边上时，
①根据题意，补全图1；
②直接写出：__________；
（2）如图2，当点D在内部时，（1）问中的比值还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
【答案】（1）①补图见解析；
②
（2）仍成立，证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据的外角为，得到点在直线上，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，作的垂直平分线，与交于点，即可作出图形；
②设，，再表示出、即可解题；
（2）延长，取，连接，证明，得到，再根据中位线定理得到，最后利用等量代换即可解题．
【小问1详解】
解：①根据题意补全图形如下：
②设，，
，，
，
，
；
【小问2详解】
解：成立，
延长，取，连接，
，，
，
，，
，
，
点为的中点，点为的中点，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形综合题，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质以及三角形中位线定理是本题解题的关键．
28. 对于平面直角坐标系中的点P和图形M，给出如下定义：将图形M绕P顺时针旋转得到图形N，当图形M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”．已知，．
（1）如图1，点P是线段的“关联点”，在点，，中，则满足条件的点是__________；
（2）若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，直接写出b的取值范围；
（3）以为圆心，1为半径的，若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接和，过点B作轴于点H，利用两点之间距离得到，，结合勾股定理的逆定理即可知点A饶点顺时针旋转得到点B；由点知设点A、点B饶点顺时针旋转得到点、点，则得到点和点，由点的纵坐标小于点B纵坐标，可知线段与线段无交点；由点的坐标得和，利用勾股定理的逆定理即可知点B饶点顺时针旋转得到点A；
（2）设线段饶点P顺时针旋转得，过点P作轴，与过点作交于点H，过点A作交于点G，由定义知，，利用可证得，即设点，求得点的纵坐标为，同理，可得点的纵坐标为，由“关联点”得线段的A点和线段的重合，或者线段的B点和线段的重合，分情况求解即可；
（3）假设饶点P顺时针旋转得，则为等腰直角三角形，进一步可知与由公共点，，即线段上存在点P使得，①当点P与点B重合时，点T可以取得最大值，此时过点P作轴，即可求得t的最大值；②当点T到线段的距离为时，求得直线的解析式为，利用，得，即可求得t的最小值．
【小问1详解】
解：连接和，过点B作轴于点H，如图，
∵，，，
∴，
∴
∴
∴点A饶点顺时针旋转得到点B，
则点是线段的“关联点”；
∵，，，
∴
设点A、点B饶点顺时针旋转得到点、点，则
∴点、点，
∵点的纵坐标小于点B纵坐标
∴线段与线段无交点，
则点不是线段的“关联点”；
∵，，，
∴，
∴
∴点B饶点顺时针旋转得到点A，
则点是线段的“关联点”；
故答案为：，；
【小问2详解】
设线段饶点P顺时针旋转得，过点P作轴，与过点作交于点H，过点A作交于点G，如图，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∴
由题意可设点，
∵，，
∴
∴点的纵坐标为，
同理，可得点的纵坐标为，
∵点P为线段的“关联点”，
∴线段的A点和线段的重合，或者线段的B点和线段的重合，
①当线段的A点和线段的重合，
∵，点的纵坐标为，
∴，解得；
②当线段的B点和线段的重合，
∵，点的纵坐标为，
∴；
综上所述，；
【小问3详解】
假设饶点P顺时针旋转得，则为等腰直角三角形，
∵点P为的“关联点”，
∴与由公共点，如图，
∴，
即线段上存在点P使得，
①当点P与点B重合时，点T可以取得最大值，此时过点P作轴，
∵，，，
∴
即t的最大值为4；
②当点T到线段的距离为时，如图，
则，
设直线的解析式为，则
，解得，
∴直线的解析式为，
设点C为直线与x轴的交点，则点，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查新定义下与圆相关的动态综合题，涉及旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、两点之间的距离、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质、圆的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解“关联点”，学会用动态的思维寻找特殊点解决问题．
红1
红2
黄
红1
--------
红1，红2
红1，黄
红2
红2，红1
----------
红2，黄
黄
黄，红1
黄，红2
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第一批次
第二批次
第三批次
第四批次
第五批次
种植数量
成活数量
成活频率
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
场地1
场地2
场地3
年级
初一
初二
初三
平均数
8
8
m
中位数
8
8.5
n