北京市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题
1. 复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知向量，，且，那么（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
4. 如图，在矩形中，，分别为中点，为中点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 设、表示两条不同的直线，、表示不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）．
A. ，，则B. ，，则
C ，，则D. ，，则
6. 在中，若，则的形状一定是（ ）
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
7. 已知平面，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 在正方体中，M是的中点，N是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知正方形的边长为，动点在以为圆心且与相切的圆上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 点可以是棱的中点B. 线段的最大值为
C. 点的轨迹是正方形D. 点轨迹的长度为
二、填空题
11. 若复数，则__________．
12. 已知向量，则________.
13. 已知，，则与的夹角为______．
14. 直三棱柱中，，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，设点分别是棱的中点，则三棱锥的体积是___________.
15. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.
16. 如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论：
①；
②；
③直线与底面所成角的正弦值为；
④面积的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题
17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．

（1）求证：；
（2）求证：平面；
18. 如图，在正方体中，，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面；
（3）设为正方体棱上一点，给出满足条件点的个数.(结论不要求证明)
19. 如图所示，D为外一点，且，，

（1）求sin∠ACD的值；
（2）求BD的长.
20. 在中，．
（1）求；
（2）求的最大值．
（3）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（3）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21. 已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成.
①任意中有三个，一个3；
②存在，使中恰有三个数相等.
（1）判断数表是否由生成；（结论无需证明）
（2）是否存在数表由生成？说明理由；
（3）若存在数表由生成，写出所有可能值.