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所属成套资源：【热点模型】备战2024年高考物理二轮复习热点模型精讲
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专题05 抛体模型的运动学问题与功能动量-【热点模型】2024年高考物理二轮复习热点模型
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这是一份专题05 抛体模型的运动学问题与功能动量-【热点模型】2024年高考物理二轮复习热点模型，文件包含专题05抛体模型的运动学问题与功能动量原卷版docx、专题05抛体模型的运动学问题与功能动量解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
一、以核心和主干知识为重点。构建知识结构体系，确定每一个专题的内容，在教学中突出知识的内在联系与综合。
二、注重情景与过程的理解与分析。善于构建物理模型，明确题目考查的目的，恰当运用所学知识解决问题：情景是考查物理知识的载体。
三、加强能力的提升与解题技巧的归纳总结。学生能力的提升要通过对知识的不同角度、不同层面的训练来实现。
四、精选训练题目，使训练具有实效性、针对性。
五、把握高考热点、重点和难点。
充分研究近5年全国和各省市考题的结构特点，把握命题的趋势和方向，确定本轮复习的热点与重点，使本轮复习更具有针对性、方向性。对重点题型要强化训练，举一反三、触类旁通，注重解题技巧的提炼，充分提高学生的应试能力。
专题05 抛体模型的运动学问题与功能动量
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26010" 一．平抛运动的运动描述 PAGEREF _Tc26010 \h 1
\l "_Tc2699" 二．平抛与斜面、台阶、圆问题 PAGEREF _Tc2699 \h 2
\l "_Tc185" 三．平抛的临界问题 PAGEREF _Tc185 \h 3
\l "_Tc3041" 四．平抛运动与功能动量 PAGEREF _Tc3041 \h 5
\l "_Tc2884" 五、平抛运动的轨迹 PAGEREF _Tc2884 \h 5
一．平抛运动的运动描述
1． 平抛运动中的物理量
两个三角形，速度与位移；
九个物理量，知二能求一；
时间和角度，桥梁和纽带；
时间为明线，角度为暗线。
2．平抛运动时间和水平射程
(1)运动时间：由知，运动时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定。
3．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。
②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt。
(2)位移的变化规律
①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。
h
x
v
v0
θ
α
②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔt2。
4.平抛运动常用三种解法
①正交分解法：分解位移（位移三角形）：若已知h、x，可求出；
分解速度（速度三角形）：若已知v0、θ，可求出；
②推论法：若已知h、x，可求出；
③动能定理法：若已知h、v0，动能定理：，可求出。
5． 重要推论的两种表述
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲中A点和B点所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α，如图乙所示。
二．平抛与斜面、台阶、圆问题
1． 斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
v0
θ(
)α
)α
x＝v0t ，y＝eq \f(1,2)gt2，
tan θ＝eq \f(y,x)，可求得t＝eq \f(2v0tan θ,g)。
2． 斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。
3． 与斜面的最大距离问题
两种分解方法：
4． 垂直撞斜面平抛运动的时间的计算
5． 撞斜面平抛运动中的最小位移问题
v0
)θ
H
H-y
x
6． 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
v0
)θ
θ
7． 台阶平抛运动问题
8． 半圆模型的平抛运动时间的计算
（1）在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝eq \f(1,2)gt2，R±eq \r(R2－h2)＝v0t，联立两方程可求t。（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+csθ)=v0t，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t或v0。
9． 平抛与圆相切问题
10．半圆模型平抛运动的推论
从半圆端点平抛，落在圆面时的速度不可能垂直圆面。根据推论速度的反向延长线交于水平位移的中点，则不可能过圆心，也就不可能垂直圆面。
三．平抛的临界问题
h1
v2
s2
h2
s1
v1
1．平抛运动中的临界速度问题
从网上擦过的临界速度
h1
s2
h2
s1
出界的临界速度
2．既擦网又压线的双临界问题
v0
x
根据，可得比值：
3．撞墙平抛运动的时间的计算
若已知x和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间，则竖直速度为v=gt、高度为.
撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。
v0
x
x/2
5． 平抛的相遇问题
6． 斜抛运动
四．平抛运动与功能动量
1.做平抛运动的物体：
2.做平抛运动的物体重力的瞬时功率：
3.做平抛运动的物体重力的平均功率：
4.做平抛运动的物体：
5.做平抛运动的物体动量变化率恒定：
6.做平抛运动的物体处于完全失重状态；只有重力做功机械能守恒。
五、平抛运动的轨迹
1．平抛轨迹完整(即含有抛出点)
在轨迹上任取一点，测出该点离原点的水平位移x及竖直位移y，就可求出初速度v0，因x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，故v0＝x eq \r(\f(g,2y))。
2.平抛轨迹残缺(即无抛出点)
如图所示，在轨迹上任取三点A、B、C，使A、B间及B、C间的水平距离相等，由平抛运动的规律可知，A、B间与B、C间所用时间相等，设为t，则Δh＝hBC－hAB＝gt2，所以t＝eq \r(\f(hBC－hAB,g))，所以初速度v0＝eq \f(x,t)＝x eq \r(\f(g,hBC－hAB))。
【模型演练1】（2023·山西·统考高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
【模型演练2】（2023上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，竖直面内有一正方形区域，其边和边水平。一小球自点由静止释放，从点以速率穿出区域。现将等若干个小球自点，先后以不同的水平速度平行该竖直面抛入区域，小球从边上除两点以外的各处穿出边。忽略空气阻力，重力加速度的大小为。
（1）求该正方形区域的边长；
（2）小球是所有穿过正方形区域过程中动量变化量为的小球中，穿出时速度最大的小球，求其进入正方形区域时速度的大小；
（3）小球穿过正方形区域的过程中，它们的动能变化量之比为，求小球穿出正方形区域时速度的大小。
【模型演练3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图甲是风洞实验室全景图，风洞实验室是可量度气流对实体作用效果以及观察物理现象的一种管道状实验设备。图乙为风洞实验室的侧视图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间为风洞区域，物体进入该区域会受到水平方向的恒力，自该区域下边界的O点将质量为m的小球以一定的初速度竖直上抛，从M点离开风洞区域，经过最高点Q后小球再次从N点返回风洞区域后做直线运动，落在风洞区域的下边界P处，NP与水平方向的夹角为37°，，，重力加速度大小为g。求；
（1）风洞区域小球受到水平方向恒力的大小；
（2）小球运动过程中离风洞下边界OP的最大高度；
（3）OP的距离。
【模型演练4】（2024·湖北武汉·校联考模拟预测）“中国载人月球探测工程”计划在2030年前实现中国人首次登陆月球。设想在地球和月球上有两个倾角相同的山坡，简化为如图所示的足够长的倾角为θ的斜面。现分别从这两个山坡上以相同大小的速度v0水平抛出两个完全相同的小球，小球再次落到山坡上时速度大小分别记为v1、v2，速度方向与坡面的夹角分别记为θ1、θ2。已知地球与月球表面重力加速度分别为g、，不计小球在地球上运动时的空气阻力，以下关系正确的是（ ）
A．θ2＞θ1B．θ2＜θ1C．v2＜v1D．v2＝v1
1．（2024上·江苏苏州·高三统考期末）如图甲，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是 （ ）
A．从O到P两谷粒的动量变化相同
B．从O到P两谷粒的动能变化相同
C．从O到P两谷粒的运动时间相等
D．谷粒2在最高点的速度小于
2．（2024上·江苏常州·高三统考期末）在海边的山坡高处的岸防炮，可以同时向两个方向投出弹丸，射击海面上的不同目标。如图所示，在一次投射中，岸防炮以相同大小的初速度v0在同一竖直面内同时射出两颗弹丸，速度方向与水平方向夹角均为θ，不计空气阻力。则（ ）
A．到达海面时两炮弹的速度大小相同方向不同
B．到达海面前两炮弹之间的距离越来越小
C．到达海面前两炮弹的相对速度越来越大
D．到达海面前两炮弹总在同一竖直线上
3．（2024上·河北保定·高三统考期末）将弹性小球以某初速度从O点水平抛出，与地面发生弹性碰撞（碰后竖直速度与碰前等大反向，水平速度不变），反弹后在下降过程中恰好经过固定于水平面上的竖直挡板的顶端。已知O点高度为1.25m，与挡板的水平距离为6.5m，挡板高度为0.8m，，不计空气阻力的影响。下列说法中正确的是（ ）
A．小球水平方向的速率为5m/s
B．小球第一次落地时速度与水平方向的夹角为30°
C．小球经过挡板上端时，速度与水平方向夹角的正切值为1
D．小球从挡板上端运动到水平地面经历的时间为0.4s
4．（2024上·北京昌平·高三统考期末）一小球做平抛运动，小球的速度大小v、加速度大小a、动能Ek和机械能E随时间t的变化关系图像如图所示，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·广东惠州·统考三模）图（a）为某景区的蛙口喷泉，两次喷出水的轨迹A、B如图（b）所示，最大高度相同，轨迹A的落点M恰好在轨迹B最高点的正下方，不计空气阻力，对轨迹A、B的说法正确的是（ ）
A．水滴在空中运动的时间不相同
B．水滴的初速度大小相等
C．水滴在最高点速度均为0
D．质量相同的水滴在空中运动过程中动量的变化量相同
6．（2023上·广东茂名·高三统考阶段练习）在足球场上罚任意球时，防守运动员会在球门与罚球点之间站成一堵“人墙”，以增加防守面积，防守运动员会在足球踢出瞬间高高跃起，以增加防守高度。如图所示，虚线是某次射门时足球的运动轨迹，足球恰好擦着横梁下沿进入球门，忽略空气阻力和足球的旋转，下列说法正确的是（ ）
A．足球上升到最高点时的速度为0
B．足球下降过程中重力的功率一直在增大
C．足球在飞行过程中机械能先减小后增大
D．只要防守运动员跳起的最大高度超过轨迹最高点，就一定能“拦截”到足球
7.（2024·河南郑州·统考一模）如图所示，正方体框架的底面处于水平地面上。从顶点A沿不同方向水平抛出小球（可视为质点），不计空气阻力。关于小球的运动，下列说法正确的是（ ）
A．落点在上的小球，落在点时平抛的初速度最大
B．落点在内的小球，落在点的运动时间最长
C．落点在上的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是
D．落点在上的小球，落地时重力的瞬时功率均不相同
8．（2023上·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校联考学业考试）如图所示为某名运动员保持固定姿势欲骑车飞跃宽度d=2 m的壕沟AB。已知两沟沿的高度差h=0.4 m，g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．运动员在空中飞行的过程中，重力的功率逐渐增大
B．运动员离开A点时的速度越大，在空中运动的时间越长
C．运动员在空中飞行的过程中，动量变化量的方向斜向右下方
D．运动员离开A点时的速度大于5 m/s就能安全越过壕沟
9．（2023上·广西·高三校联考阶段练习）“投壶”是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏。如图所示，若将投壶用的箭（质量均相等）视为质点，投壶时箭距壶口的高度为，与壶边缘的最近水平距离为，壶的口径为。若将箭的运动视为平抛运动，假设箭都投入壶中，重力加速度为，则（ ）
A．若箭的初速度为，则
B．箭落入壶中前瞬间重力的功率不相同
C．箭投入壶中时，最大速度与最小速度之比为
D．箭从抛出到刚落入壶的整个过程中动量的变化量都相同
10.（2023·湖北·模拟预测）如图所示，在光滑的水平面内建立xOy坐标，质量为m的小球以某一速度从O点出发后，受到一平行于y轴方向的恒力作用，恰好通过A点，已知小球通过A点的速度大小为v0，方向沿x轴正方向，且OA连线与Ox轴的夹角为30°，则（ ）
A．恒力的方向一定沿y轴正方向
B．恒力在这一过程中所做的功为
C．恒力在这一过程中的冲量大小为
D．小球从O点出发时的动能为
11.（多选）（2024上·河南南阳·高三校联考阶段练习）消防车从同一点M分别以不同的初速度沿与水平方向成30°和60°的夹角喷出甲、乙两水柱，两水柱经过空间同一点N，M、N两点在同一水平线上，如图所示，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙水柱喷出时的初速度大小之比为1∶2
B．甲、乙水柱从M点运动到N点的时间之比为∶1
C．甲、乙水柱上升的最大高度之比1∶3
D．甲、乙水柱从M点运动到N点过程平均速度之比为∶1
12．（多选）（2023上·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）如图所示，质量相同的两个小球A、B分别从3L和L的高度水平抛出后落地，A、B的水平位移大小分别为L和2L，忽略空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B的飞行时间之比为3∶1
B．A、B的初速度大小之比为
C．A、B落地时重力的瞬时功率之比为
D．A、B从抛出到落地过程中重力的平均功率之比为
13．（多选）（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）云顶滑雪公园位于张家口市境内，这里年平均气温只有，积雪时间长达150天，2022年冬奥会单板、自由式滑雪比赛在这里成功举行，随着冬季的来临这里成为了小朋友滑雪的天堂。如图所示为滑雪场地的简易图，小朋友由O点静止下滑，从A点沿水平方向离开轨道，经过一段时间落在倾角为的斜坡上的D点，假设小朋友可视为质点，且空气的阻力可忽略。小朋友由A到D的过程，下列说法正确的是（ ）
A．在任意相等时间内，小朋友动量的变化量相等
B．在下落任意相同的高度，小朋友动量的变化量相等
C．小朋友落在D点时速度与水平方向夹角的正切值等于
D．若从O点下方静止下滑，则小朋友落在BC段时速度与水平方向的夹角增大
14．（多选）（2023上·云南楚雄·高三云南省楚雄东兴中学校考阶段练习）将一质量为的小球水平抛出，其运动轨迹上有A、B、C三点，如图所示。其中A为抛出点，小球从A到B和B到C所用时间均为，且位移大小之比为，忽略空气阻力，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．小球从A到C动量变化量大小为
B．小球从A到C重力的平均功率为
C．小球平抛的初速度大小为
D．小球在B点的动量大小为
15．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）如图所示的坐标系，x轴水平向右，质量为m=0.5kg的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小球的加速度大小为10m/s2
B．加速度与初速度的夹角为60°
C．小球做类斜抛运动
D．当小球运动到x轴上的P点（图中未标出），则小球在P点的横坐标为
16.（2024·福建泉州·统考二模）在2023年杭州亚运会女子铅球决赛中，我国运动员巩立姣以19.58m的成绩成功卫冕。运动员为了寻求最佳效果，训练时会尝试不同质昼和不同夹角的抛球感觉。如图，在某次训练中运动员将质量的铅球斜向上抛出，铅球离开手的瞬间速度大小，方向与水平夹角，铅球离开手时离水平地面的高度。取重力加速度，，，不计空气阻力。求铅球：
（1）离开手瞬间的水平分速度大小和竖直分速度大小；
（2）上升到最高点的时间t和离地面的最大高度H；
（3）落地前瞬间的动能。
17．（2023·全国·统考高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
18．（2022·全国·统考高考真题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度和之比为3：7。重力加速度大小取，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
19．（2024·云南昆明·统考一模）如图所示，将一质量为0.2kg可视为质点的小球从离水平地面3.2m高的P点水平向右击出，测得第一次落点A与P点的水平距离为2.4m。小球落地后反弹，反弹后离地的最大高度为1.8m，第一次落点A与第二次落点B之间的距离为2.4m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）小球被击出时的速度大小；
（2）小球第一次与地面接触过程中所受合外力的冲量大小。
20．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）如图所示，风洞实验室中可以产生竖直向上、大小恒定的风力，一个质量为m的小球在O点以水平初速度v0抛出，恰好能沿水平方向运动到P点，O、P间的距离为L，将风力调大，小球仍由O点以水平初速度v0抛出，结果恰好经过P点正上方的Q点，P，Q间的距离为，重力加速度为g，求：
（1）调节后的风力大小；
（2）小球运动到Q点时的速度大小和方向。
21．（2023·山东·高三专题练习）在光滑水平桌面内建一个直角坐标系如图所示，一个质量为m的小球放在第二象限的A点，给小球沿x轴正方向的初速度v0，同时对小球施加沿y轴负方向的恒力F作用，当小球运动到原点O时，速度方向与x轴正方向的夹角为45°，此时突然将力F方向变为沿x轴负方向，大小不变，一段时间后小球经过y轴上的B点。
（1）A点的坐标；
（2）B点的坐标。
v0
θ(
v
)θ
dm
x
y
v0
θ(
v
)θ
dm
)θ
g
θ
x
y
方法
①临界速度法
②虚构斜面法
示意图
v0
h
s
v0
h
s
θ(
)θ
平抛与自由落体
平抛与竖直上抛
平抛与平抛
平抛与匀速
v2
v1
v3
v4
x:l=vt;
y:空中相遇t<
联立得
x:s=v1t;
y:½gt2+v2t-½gt2=H,
t=H/v2
联立得H/v2=s/t
球1比球2先抛
t1>t2、v1球3、4同时抛
t1=t2、v3>v4；
x:l=(v1-t2)t;
y:t=
y
v0
θ
vx
vy
x
v0csθ
vx
x
水平方向——匀速直线运动；
竖直方向——竖直上抛运动
①一分为二:从最高点分为两个平抛运动
②逆向思维
一、以核心和主干知识为重点。构建知识结构体系，确定每一个专题的内容，在教学中突出知识的内在联系与综合。
二、注重情景与过程的理解与分析。善于构建物理模型，明确题目考查的目的，恰当运用所学知识解决问题：情景是考查物理知识的载体。
三、加强能力的提升与解题技巧的归纳总结。学生能力的提升要通过对知识的不同角度、不同层面的训练来实现。
四、精选训练题目，使训练具有实效性、针对性。
五、把握高考热点、重点和难点。
充分研究近5年全国和各省市考题的结构特点，把握命题的趋势和方向，确定本轮复习的热点与重点，使本轮复习更具有针对性、方向性。对重点题型要强化训练，举一反三、触类旁通，注重解题技巧的提炼，充分提高学生的应试能力。
专题05 抛体模型的运动学问题与功能动量
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26010" 一．平抛运动的运动描述 PAGEREF _Tc26010 \h 1
\l "_Tc2699" 二．平抛与斜面、台阶、圆问题 PAGEREF _Tc2699 \h 2
\l "_Tc185" 三．平抛的临界问题 PAGEREF _Tc185 \h 3
\l "_Tc3041" 四．平抛运动与功能动量 PAGEREF _Tc3041 \h 5
\l "_Tc2884" 五、平抛运动的轨迹 PAGEREF _Tc2884 \h 5
一．平抛运动的运动描述
1． 平抛运动中的物理量
两个三角形，速度与位移；
九个物理量，知二能求一；
时间和角度，桥梁和纽带；
时间为明线，角度为暗线。
2．平抛运动时间和水平射程
(1)运动时间：由知，运动时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定。
3．速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0。
②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt。
(2)位移的变化规律
①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。
h
x
v
v0
θ
α
②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔt2。
4.平抛运动常用三种解法
①正交分解法：分解位移（位移三角形）：若已知h、x，可求出；
分解速度（速度三角形）：若已知v0、θ，可求出；
②推论法：若已知h、x，可求出；
③动能定理法：若已知h、v0，动能定理：，可求出。
5． 重要推论的两种表述
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲中A点和B点所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α，如图乙所示。
二．平抛与斜面、台阶、圆问题
1． 斜面上平抛运动的时间的计算
斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形）
v0
θ(
)α
)α
x＝v0t ，y＝eq \f(1,2)gt2，
tan θ＝eq \f(y,x)，可求得t＝eq \f(2v0tan θ,g)。
2． 斜面上平抛运动的推论
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。
3． 与斜面的最大距离问题
两种分解方法：
4． 垂直撞斜面平抛运动的时间的计算
5． 撞斜面平抛运动中的最小位移问题
v0
)θ
H
H-y
x
6． 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
v0
)θ
θ
7． 台阶平抛运动问题
8． 半圆模型的平抛运动时间的计算
（1）在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝eq \f(1,2)gt2，R±eq \r(R2－h2)＝v0t，联立两方程可求t。（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+csθ)=v0t，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t或v0。
9． 平抛与圆相切问题
10．半圆模型平抛运动的推论
从半圆端点平抛，落在圆面时的速度不可能垂直圆面。根据推论速度的反向延长线交于水平位移的中点，则不可能过圆心，也就不可能垂直圆面。
三．平抛的临界问题
h1
v2
s2
h2
s1
v1
1．平抛运动中的临界速度问题
从网上擦过的临界速度
h1
s2
h2
s1
出界的临界速度
2．既擦网又压线的双临界问题
v0
x
根据，可得比值：
3．撞墙平抛运动的时间的计算
若已知x和v0。，根据水平方向匀速运动，可求得时间，则竖直速度为v=gt、高度为.
撞墙末速度的反向延长线，交于水平位移的中点，好像是从同一点沿直线发出来的一样，如图。
v0
x
x/2
5． 平抛的相遇问题
6． 斜抛运动
四．平抛运动与功能动量
1.做平抛运动的物体：
2.做平抛运动的物体重力的瞬时功率：
3.做平抛运动的物体重力的平均功率：
4.做平抛运动的物体：
5.做平抛运动的物体动量变化率恒定：
6.做平抛运动的物体处于完全失重状态；只有重力做功机械能守恒。
五、平抛运动的轨迹
1．平抛轨迹完整(即含有抛出点)
在轨迹上任取一点，测出该点离原点的水平位移x及竖直位移y，就可求出初速度v0，因x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，故v0＝x eq \r(\f(g,2y))。
2.平抛轨迹残缺(即无抛出点)
如图所示，在轨迹上任取三点A、B、C，使A、B间及B、C间的水平距离相等，由平抛运动的规律可知，A、B间与B、C间所用时间相等，设为t，则Δh＝hBC－hAB＝gt2，所以t＝eq \r(\f(hBC－hAB,g))，所以初速度v0＝eq \f(x,t)＝x eq \r(\f(g,hBC－hAB))。
【模型演练1】（2023·山西·统考高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
【模型演练2】（2023上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，竖直面内有一正方形区域，其边和边水平。一小球自点由静止释放，从点以速率穿出区域。现将等若干个小球自点，先后以不同的水平速度平行该竖直面抛入区域，小球从边上除两点以外的各处穿出边。忽略空气阻力，重力加速度的大小为。
（1）求该正方形区域的边长；
（2）小球是所有穿过正方形区域过程中动量变化量为的小球中，穿出时速度最大的小球，求其进入正方形区域时速度的大小；
（3）小球穿过正方形区域的过程中，它们的动能变化量之比为，求小球穿出正方形区域时速度的大小。
【模型演练3】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图甲是风洞实验室全景图，风洞实验室是可量度气流对实体作用效果以及观察物理现象的一种管道状实验设备。图乙为风洞实验室的侧视图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间为风洞区域，物体进入该区域会受到水平方向的恒力，自该区域下边界的O点将质量为m的小球以一定的初速度竖直上抛，从M点离开风洞区域，经过最高点Q后小球再次从N点返回风洞区域后做直线运动，落在风洞区域的下边界P处，NP与水平方向的夹角为37°，，，重力加速度大小为g。求；
（1）风洞区域小球受到水平方向恒力的大小；
（2）小球运动过程中离风洞下边界OP的最大高度；
（3）OP的距离。
【模型演练4】（2024·湖北武汉·校联考模拟预测）“中国载人月球探测工程”计划在2030年前实现中国人首次登陆月球。设想在地球和月球上有两个倾角相同的山坡，简化为如图所示的足够长的倾角为θ的斜面。现分别从这两个山坡上以相同大小的速度v0水平抛出两个完全相同的小球，小球再次落到山坡上时速度大小分别记为v1、v2，速度方向与坡面的夹角分别记为θ1、θ2。已知地球与月球表面重力加速度分别为g、，不计小球在地球上运动时的空气阻力，以下关系正确的是（ ）
A．θ2＞θ1B．θ2＜θ1C．v2＜v1D．v2＝v1
1．（2024上·江苏苏州·高三统考期末）如图甲，我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是 （ ）
A．从O到P两谷粒的动量变化相同
B．从O到P两谷粒的动能变化相同
C．从O到P两谷粒的运动时间相等
D．谷粒2在最高点的速度小于
2．（2024上·江苏常州·高三统考期末）在海边的山坡高处的岸防炮，可以同时向两个方向投出弹丸，射击海面上的不同目标。如图所示，在一次投射中，岸防炮以相同大小的初速度v0在同一竖直面内同时射出两颗弹丸，速度方向与水平方向夹角均为θ，不计空气阻力。则（ ）
A．到达海面时两炮弹的速度大小相同方向不同
B．到达海面前两炮弹之间的距离越来越小
C．到达海面前两炮弹的相对速度越来越大
D．到达海面前两炮弹总在同一竖直线上
3．（2024上·河北保定·高三统考期末）将弹性小球以某初速度从O点水平抛出，与地面发生弹性碰撞（碰后竖直速度与碰前等大反向，水平速度不变），反弹后在下降过程中恰好经过固定于水平面上的竖直挡板的顶端。已知O点高度为1.25m，与挡板的水平距离为6.5m，挡板高度为0.8m，，不计空气阻力的影响。下列说法中正确的是（ ）
A．小球水平方向的速率为5m/s
B．小球第一次落地时速度与水平方向的夹角为30°
C．小球经过挡板上端时，速度与水平方向夹角的正切值为1
D．小球从挡板上端运动到水平地面经历的时间为0.4s
4．（2024上·北京昌平·高三统考期末）一小球做平抛运动，小球的速度大小v、加速度大小a、动能Ek和机械能E随时间t的变化关系图像如图所示，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·广东惠州·统考三模）图（a）为某景区的蛙口喷泉，两次喷出水的轨迹A、B如图（b）所示，最大高度相同，轨迹A的落点M恰好在轨迹B最高点的正下方，不计空气阻力，对轨迹A、B的说法正确的是（ ）
A．水滴在空中运动的时间不相同
B．水滴的初速度大小相等
C．水滴在最高点速度均为0
D．质量相同的水滴在空中运动过程中动量的变化量相同
6．（2023上·广东茂名·高三统考阶段练习）在足球场上罚任意球时，防守运动员会在球门与罚球点之间站成一堵“人墙”，以增加防守面积，防守运动员会在足球踢出瞬间高高跃起，以增加防守高度。如图所示，虚线是某次射门时足球的运动轨迹，足球恰好擦着横梁下沿进入球门，忽略空气阻力和足球的旋转，下列说法正确的是（ ）
A．足球上升到最高点时的速度为0
B．足球下降过程中重力的功率一直在增大
C．足球在飞行过程中机械能先减小后增大
D．只要防守运动员跳起的最大高度超过轨迹最高点，就一定能“拦截”到足球
7.（2024·河南郑州·统考一模）如图所示，正方体框架的底面处于水平地面上。从顶点A沿不同方向水平抛出小球（可视为质点），不计空气阻力。关于小球的运动，下列说法正确的是（ ）
A．落点在上的小球，落在点时平抛的初速度最大
B．落点在内的小球，落在点的运动时间最长
C．落点在上的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是
D．落点在上的小球，落地时重力的瞬时功率均不相同
8．（2023上·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校联考学业考试）如图所示为某名运动员保持固定姿势欲骑车飞跃宽度d=2 m的壕沟AB。已知两沟沿的高度差h=0.4 m，g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．运动员在空中飞行的过程中，重力的功率逐渐增大
B．运动员离开A点时的速度越大，在空中运动的时间越长
C．运动员在空中飞行的过程中，动量变化量的方向斜向右下方
D．运动员离开A点时的速度大于5 m/s就能安全越过壕沟
9．（2023上·广西·高三校联考阶段练习）“投壶”是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏。如图所示，若将投壶用的箭（质量均相等）视为质点，投壶时箭距壶口的高度为，与壶边缘的最近水平距离为，壶的口径为。若将箭的运动视为平抛运动，假设箭都投入壶中，重力加速度为，则（ ）
A．若箭的初速度为，则
B．箭落入壶中前瞬间重力的功率不相同
C．箭投入壶中时，最大速度与最小速度之比为
D．箭从抛出到刚落入壶的整个过程中动量的变化量都相同
10.（2023·湖北·模拟预测）如图所示，在光滑的水平面内建立xOy坐标，质量为m的小球以某一速度从O点出发后，受到一平行于y轴方向的恒力作用，恰好通过A点，已知小球通过A点的速度大小为v0，方向沿x轴正方向，且OA连线与Ox轴的夹角为30°，则（ ）
A．恒力的方向一定沿y轴正方向
B．恒力在这一过程中所做的功为
C．恒力在这一过程中的冲量大小为
D．小球从O点出发时的动能为
11.（多选）（2024上·河南南阳·高三校联考阶段练习）消防车从同一点M分别以不同的初速度沿与水平方向成30°和60°的夹角喷出甲、乙两水柱，两水柱经过空间同一点N，M、N两点在同一水平线上，如图所示，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙水柱喷出时的初速度大小之比为1∶2
B．甲、乙水柱从M点运动到N点的时间之比为∶1
C．甲、乙水柱上升的最大高度之比1∶3
D．甲、乙水柱从M点运动到N点过程平均速度之比为∶1
12．（多选）（2023上·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）如图所示，质量相同的两个小球A、B分别从3L和L的高度水平抛出后落地，A、B的水平位移大小分别为L和2L，忽略空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B的飞行时间之比为3∶1
B．A、B的初速度大小之比为
C．A、B落地时重力的瞬时功率之比为
D．A、B从抛出到落地过程中重力的平均功率之比为
13．（多选）（2024上·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）云顶滑雪公园位于张家口市境内，这里年平均气温只有，积雪时间长达150天，2022年冬奥会单板、自由式滑雪比赛在这里成功举行，随着冬季的来临这里成为了小朋友滑雪的天堂。如图所示为滑雪场地的简易图，小朋友由O点静止下滑，从A点沿水平方向离开轨道，经过一段时间落在倾角为的斜坡上的D点，假设小朋友可视为质点，且空气的阻力可忽略。小朋友由A到D的过程，下列说法正确的是（ ）
A．在任意相等时间内，小朋友动量的变化量相等
B．在下落任意相同的高度，小朋友动量的变化量相等
C．小朋友落在D点时速度与水平方向夹角的正切值等于
D．若从O点下方静止下滑，则小朋友落在BC段时速度与水平方向的夹角增大
14．（多选）（2023上·云南楚雄·高三云南省楚雄东兴中学校考阶段练习）将一质量为的小球水平抛出，其运动轨迹上有A、B、C三点，如图所示。其中A为抛出点，小球从A到B和B到C所用时间均为，且位移大小之比为，忽略空气阻力，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．小球从A到C动量变化量大小为
B．小球从A到C重力的平均功率为
C．小球平抛的初速度大小为
D．小球在B点的动量大小为
15．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）如图所示的坐标系，x轴水平向右，质量为m=0.5kg的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．小球的加速度大小为10m/s2
B．加速度与初速度的夹角为60°
C．小球做类斜抛运动
D．当小球运动到x轴上的P点（图中未标出），则小球在P点的横坐标为
16.（2024·福建泉州·统考二模）在2023年杭州亚运会女子铅球决赛中，我国运动员巩立姣以19.58m的成绩成功卫冕。运动员为了寻求最佳效果，训练时会尝试不同质昼和不同夹角的抛球感觉。如图，在某次训练中运动员将质量的铅球斜向上抛出，铅球离开手的瞬间速度大小，方向与水平夹角，铅球离开手时离水平地面的高度。取重力加速度，，，不计空气阻力。求铅球：
（1）离开手瞬间的水平分速度大小和竖直分速度大小；
（2）上升到最高点的时间t和离地面的最大高度H；
（3）落地前瞬间的动能。
17．（2023·全国·统考高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
18．（2022·全国·统考高考真题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度和之比为3：7。重力加速度大小取，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
19．（2024·云南昆明·统考一模）如图所示，将一质量为0.2kg可视为质点的小球从离水平地面3.2m高的P点水平向右击出，测得第一次落点A与P点的水平距离为2.4m。小球落地后反弹，反弹后离地的最大高度为1.8m，第一次落点A与第二次落点B之间的距离为2.4m。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）小球被击出时的速度大小；
（2）小球第一次与地面接触过程中所受合外力的冲量大小。
20．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）如图所示，风洞实验室中可以产生竖直向上、大小恒定的风力，一个质量为m的小球在O点以水平初速度v0抛出，恰好能沿水平方向运动到P点，O、P间的距离为L，将风力调大，小球仍由O点以水平初速度v0抛出，结果恰好经过P点正上方的Q点，P，Q间的距离为，重力加速度为g，求：
（1）调节后的风力大小；
（2）小球运动到Q点时的速度大小和方向。
21．（2023·山东·高三专题练习）在光滑水平桌面内建一个直角坐标系如图所示，一个质量为m的小球放在第二象限的A点，给小球沿x轴正方向的初速度v0，同时对小球施加沿y轴负方向的恒力F作用，当小球运动到原点O时，速度方向与x轴正方向的夹角为45°，此时突然将力F方向变为沿x轴负方向，大小不变，一段时间后小球经过y轴上的B点。
（1）A点的坐标；
（2）B点的坐标。
v0
θ(
v
)θ
dm
x
y
v0
θ(
v
)θ
dm
)θ
g
θ
x
y
方法
①临界速度法
②虚构斜面法
示意图
v0
h
s
v0
h
s
θ(
)θ
平抛与自由落体
平抛与竖直上抛
平抛与平抛
平抛与匀速
v2
v1
v3
v4
x:l=vt;
y:空中相遇t<
联立得
x:s=v1t;
y:½gt2+v2t-½gt2=H,
t=H/v2
联立得H/v2=s/t
球1比球2先抛
t1>t2、v1
t1=t2、v3>v4；
x:l=(v1-t2)t;
y:t=
y
v0
θ
vx
vy
x
v0csθ
vx
x
水平方向——匀速直线运动；
竖直方向——竖直上抛运动
①一分为二:从最高点分为两个平抛运动
②逆向思维
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