广东省汕头市2024届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省汕头市2024届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．在3与15之间插入3个数,使这5个数成等差数列,则插入的3个数之和为( )
A.21B.24C.27D.30
3．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则结合a的值,下列解三角形有两解的为( )
A.B.C.D.
4．展开式中项的系数为( )
A.42B.35C.7D.1
5．已知函数,是奇函数,则的最小值为( )
A.3B.5C.D.
6．在复数范围内,下列命题是真命题的为( )
A.若,则是纯虚数
B.若,则z是纯虚数
C.若,则且
D.若、为虚数,则
7．已知圆锥的顶点为S,O为底面圆心,母线与互相垂直,的面积为8,与圆锥底面所成的角为,则( )
A.圆锥的高为1
B.圆锥的体积为
C.圆锥侧面展开图的圆心角为
D.二面角的大小为
8．如图,设、分别是椭圆的左、右焦点,点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点,延长与椭圆交于点Q,若,则直线的斜率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某次数学考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况,计算得到这100名学生中,成绩位于内的学生成绩方差为12,成绩位于内的同学成绩方差为10.则( )
参考公式：样本划分为2层,各层的容量､平均数和方差分别为：m、、；n、、.记样本平均数为,样本方差为,.
A.
B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14
C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
10．已知函数,则( )
A.曲线的对称轴为,
B.在区间上单调递增
C.的最大值为
D.在区间上的所有零点之和为
11．如图,是连接河岸与的一座古桥,因保护古迹与发展的需要,现规划建一座新桥,同时设立一个圆形保护区.规划要求：
①新桥与河岸垂直；
②保护区的边界为一个圆,该圆与相切,且圆心M在线段上；
③古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于.
经测量,点A,C分别位于点O正北方向､正东方向处,.根据图中所给的平面直角坐标系,下列结论中,正确的是( )
A.新桥的长为
B.圆心M可以在点A处
C.圆心M到点O的距离至多为
D.当长为时,圆形保护区的面积最大
三、填空题
12．在一组样本数据,,…,,,,…,不全相等)的散点图中,若所有样本点都在直线上,则这组样本数据的样本相关系数为______.
四、双空题
13．已知外接圆的半径为1,圆心为点O,且满足,则______,_____.
14．如图,在正方体中,E是棱的中点,记平面与平面的交线为,平面与平面的交线为,若直线分别与所成的角为,则______,______.
五、解答题
15．已知数列和,其中,,数列的前n项和为.
(1)若,求；
(2)若是各项为正的等比数列,,求数列和的通项公式.
16．已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程；
(2)若既存在极大值,又存在极小值,求实数a的取值范围.
17．如图,三棱台中,侧面四边形为等腰梯形,底面三角形为正三角形,且.设D为棱上的点.
(1)若D为的中点,求证：；
(2)若三棱台的体积为,且侧面底面,试探究是否存在点D,使直线与平面所成角的正弦值为？若存在,确定点D的位置；若不存在,说明理由.
18．已知点为双曲线上的动点.
(1)判断直线与双曲线的公共点个数,并说明理由；
(2)(i)如果把(1)的结论推广到一般双曲线,你能得到什么相应的结论？请写出你的结论,不必证明；
(ii)将双曲线,的两条渐近线称为“退化的双曲线”,其方程为,请利用该方程证明如下命题：若为双曲线C上一点,直线：与C的两条渐近线分别交于点P,Q,则T为线段的中点.
19．2023年11月,我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》,内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动,在某种植番石榴的果园中,老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴,规定只能摘一次,并且只可以向前走,不能回头.结果,学生小明两手空空走出果园,因为他不知道前面是否有更大的,所以没有摘,走到前面时,又发觉总不及之前见到的,最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同),最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等,为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的,小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前颗番石榴,自第颗开始,只要发现比他前面见过的番石榴大的,就摘这颗番石榴,否则就摘最后一颗.设,记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.
(1)若,,求P；
(2)当n趋向于无穷大时,从理论的角度,求P的最大值及P取最大值时t的值.
(取)
参考答案
1．答案：A
解析：因为,而推不出,例如满足,但不成立,
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选：A.
2．答案：C
解析：令插入的3个数依次为,,,即3,,,,15成等差数列,
因此,解得,
所以插入的3个数之和为.
故选：C.
3．答案：B
解析：由正弦定理可得,,所以,
因为三角形有两解,所以,且,因此由选项知,只有符合.
故选：B.
4．答案：A
解析：的展开式通项为,
因为,
在中,令,可得项的系数为；
在中,令,得,可得项的系数为.
所以,展开式中项的系数为.
故选：A.
5．答案：C
解析：令,得,故函数的定义域为.
因为是奇函数,则其定义域关于原点对称,
可得,即,
此时,可得,
可得是奇函数,即符合题意；
故,
当且仅当,即,时等号成立,
故的最小值为,
故选：C.
6．答案：D
解析：对于A选项,取,则,所以,,此时,不是纯虚数,A错；
对于B选项,取,则成立,但z不是纯虚数,B错；
对于C选项,取,,则,但且,C错；
对于D选项,若、为虚数,设,,
则,,
所以,
,D对.
故选：D.
7．答案：D
解析：对于A选项,因为与底面垂直,为底面圆的一条半径,则,
所以,与圆锥底面所成的角为,
又因为,所以,的面积为,解得,
所以,该圆锥的高为,A错；
对于B选项,该圆锥的底面半径为,
故该圆锥的体积为,B错；
对于C选项,设该圆锥侧面展开图的圆心角为,
底面圆周长为,则,C错；
对于D选项,取的中点E,连接、,
因为,E为的中点,则,由垂径定理可得,
所以,二面角的平面角为,
因为平面,平面,则,
因为,,则为等腰直角三角形,
则,所以,,
所以,,
因为,故,所以,二面角的大小为,D对.
故选：D.
8．答案：C
解析：连接、,由P在以为直径的圆上,故,
P、Q在椭圆上,故有,,
设,则,
则有,,
即可得,解得,
故,则,
故.
故选：C.
9．答案：BCD
解析：对于A选项,在频率分布直方图中,所有直方图的面积之和为1,
则,解得,A错；
对于B选项,前两个矩形的面积之和为,
前三个矩形的面积之和为,
设计该年级学生成绩的中位数为m,则,
根据中位数的定义可得,解得,
所以,估计该年级学生成绩的中位数约为77.14,B对；
对于C选项,估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为
分,C对；
对于D选项,估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为
,D对.
故选：BCD.
10．答案：BC
解析：由题意可得：
.
对于选项A：令,,解得,,
所以曲线的对称轴为,,故A错误；
对于选项B：因为,则,
且在内单调递增,所以在区间上单调递增,故B正确；
对于选项C：当,,即,时,取到最大值为,故C正确；
对于选项D：令,,解得,,可知的零点为,,
则在区间上的零点为,,,,共8个,结合A可知,这些零点均关于直线,
所以在区间上的所有零点之和为,故D错误；
故选：BC.
11．答案：AC
解析：如图,以,为x,y轴建立直角坐标系,则,,
依题意,直线的斜率,直线方程为：,
直线的斜率,则直线方程为,
由,解得,即,,A正确；
设,即,直线的一般方程为,
圆M的半径为,显然,由,得,
则,解得,即长的范围是,B错误,C正确；
当,即长为时,圆M的半径r最大,圆形保护区的面积最大,D错误.
故选：AC.
12．答案：1
解析：由已知,这组样本数据的样本完全正相关,故其相关系数为1.
13．答案：/；/
解析：由两边平方得：,
依题意,,所以；
.
故答案为：；.
14．答案：/0.5；/
解析：在正方体中,E是棱的中点,
延长与延长线交于点F,连接,则直线即为直线,,
由,得,又,于是,
由平面平面,平面平面,平面平面,
则,又,因此,,
所以.
故答案为：；.
15．答案：(1)
(2),
解析：(1)当时,,从而是等差数列,,
,所以是等比数列,
又,则,
所以.
(2)是各项为正的等比数列,设其首项为,公比为q,
由,可得,则,(定值)
则数列为等差数列,设其首项为,公差为d,
由数列的前n项和,
可得方程组,整理得,
解得：,,,且,
由,可得,则,
则数列的通项公式为；数列的通项公式为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,函数,求导得,则,而,
所以曲线在点处的切线方程为,即.
(2)函数的定义域为,
求导得,
当时,,由,得,由,得,
则函数在上递增,在上递减,函数只有极大值,不合题意；
当时,由,得或,
①若,即,由,得或,由,得,
则函数在,上递增,在上递减,
因此函数的极大值为,极小值为,符合题意；
②若,即,由,得或,由,得,
则函数在,上递增,在上递减,
因此函数的极大值为,极小值为,符合题意；
③若,即,由在上恒成立,得在上递增,
函数无极值,不合题意,
所以a的取值范围为.
17．答案：(1)证明见解析
(2)存在,D与重合,理由见解析
解析：(1)取中点M,连结、,则,,
由,平面,得平面,又平面,
所以.
(2)取中点N,连结,由(1)得为二面角平面的平面角,
由平面平面得：,即,
以M为原点,直线,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
设该棱台的高为h,由,得,
则,,,,,,
设平面的法向量为,
则,取,得,
设,则,
于是,解得或(舍去),
所以存在点D满足条件,此时D与重合.
18．答案：(1)1个,理由见解析
(2)(i)过双曲线,上一点的切线方程为
(ii)证明见解析
解析：(1)由点在双曲线上,得,即
由消去y得：,
则,显然,
所以该直线与双曲线有且只有1个公共点.
(2)(i)由(1)知,直线与双曲线相切于点,
所以过双曲线,上一点的切线方程为.证明如下：
显然,即,
由消去y得：,
于是,
因此直线与双曲线,相切于点,
所以过双曲线,上一点的切线方程为.
(ii)当时,直线l的斜率不存在,由对称性知,点T为线段的中点；
当时,设,,线段的中点,
由消去y得：,
由,得,则,
又,于是,即点T与点N重合,
所以点T为线段的中点.
19．答案：(1)
(2)P的最大值为,此时t的值为
解析：(1)依题意,4个番石榴的位置从第1个到第4个排序,有种情况,
要摘到那个最大的番石榴,有以下两种情况：
①最大的番石榴是第3个,其它的随意在哪个位置,有种情况；
②最大的番石榴是最后1个,第二大的番石榴是第1个或第2个,其它的随意在哪个位置,有种情况,
所以所求概率为.
(2)记事件A表示最大的番石榴被摘到,事件表示最大的番石榴排在第i个,则,
由全概率公式知：,
当时,最大的番石榴在前k个中,不会被摘到,此时；
当时,最大的番石榴被摘到,当且仅当前个番石榴中的最大一个在前k个之中时,此时,
因此,
令,求导得,由,得,
当时,,当时,,
即函数在上单调递增,在上单调递减,
则,于是当时,取得最大值,
所以P的最大值为,此时t的值为.