（预习课）2024年高中数学高二暑假讲义11 直线的方程（2份打包，原卷版+教师版）

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学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．
知识点 两条直线的交点
1．两直线的交点
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．
(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 .
(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0. ))
2．两直线的位置关系
1．若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( √ )
2．无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．( × )
3．若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( × )
4．在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．( √ )
一、求相交直线的交点坐标
例1 (1)求经过点(2,3)且经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点的直线方程；
(2)求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线方程．
反思感悟 求两相交直线的交点坐标．
(1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组．
(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．
跟踪训练1 (1)已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3)))
(2)经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
二、直线系过定点问题
例2 无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标．
反思感悟 解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
跟踪训练2 已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限．
对称问题
典例 光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
[素养提升] 对称问题中的直观想象与数学运算
(1)可以通过直观想象理解对称问题中的点线位置关系．
(2)直线的对称可以转化为点的对称，其中的点、直线可以通过数学运算确定．
1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
2．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点( )
A．(－3，－1) B．(－2，－1)
C．(－3,1) D．(－2,1)
4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________．
5．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________.
1．知识清单：
(1)两条直线的交点．
(2)直线过定点．
2．方法归纳：消元法、加减消元法、直线系法．
3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是( )
A．(2,2) B．(1,1) C．(1,2) D．(2,1)
2．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为( )
A．(－4，－3) B．(4,3)
C．(－4,3) D．(3,4)
3．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是( )
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．3x＋19y＝0 D．19x－3y＝0
4．两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是( )
A．－24 B．6 C．±6 D．24
5．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一定点，这个定点是( )
A．(2,3) B．(－2,3)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(1,2))) D．(－2,0)
6．过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为________．
7．三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为________．
8．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则a＝________，c＝________，m＝________.
9．求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程．
10．若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围．
11．直线kx＋y＋1＝2k，当k变动时，所有直线都通过定点( )
A．(2，－1) B．(－2，－1)
C．(2,1) D．(－2,1)
12．若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是( )
A．a＝1或a＝－2 B．a≠±1
C．a≠1且a≠－2 D．a≠±1且a≠－2
13．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
14．已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为________．
15．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为( )
A．y＝2x＋4 B．y＝eq \f(1,2)x－3
C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0
16．直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为P，求直线l的方程．
2．3.2 两点间的距离公式
学习目标 1.掌握两点间距离公式并会应用.2. 用坐标法证明简单的平面几何问题．
知识点 两点间的距离
公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．
(2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
1．点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.( × )
2．当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．( × )
3．点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当直线平行于坐标轴时|P1P2|＝|x1－x2|.( × )
一、两点间的距离
例1 如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．
延伸探究 题中条件不变，求BC边上的中线AM的长．
反思感悟 计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．
跟踪训练1 已知点A(－1,2)，B(2，eq \r(7))，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
二、运用坐标法解决平面几何问题
例2 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
反思感悟 利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
(2)用坐标表示有关的量；
(3)将几何关系转化为坐标运算；
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．
跟踪训练2 已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于( )
A．5 B.eq \r(37) C.eq \r(13) D．4
2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于( )
A．4 B．4eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
3．到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是( )
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
4．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于eq \r(2)的点的坐标是( )
A．(－4,5) B．(－3,4)
C．(－1,2) D．(0,1)
5．已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为________．
1．知识清单：两点间的距离公式．
2．方法归纳：待定系数法、坐标法．
3．常见误区：已知距离求参数问题易漏解．
1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则eq \f(|AC|,|CB|)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C．3 D．2
2．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是( )
A．2eq \r(3) B．3＋2eq \r(3)
C．6＋3eq \r(2) D．6＋eq \r(10)
3．已知坐标平面内三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
4．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是( )
A．2eq \r(5) B．3eq \r(5) C.eq \f(5\r(5),2) D.eq \f(7\r(5),2)
5．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )
A.eq \f(\r(89),5) B.eq \f(17,5) C.eq \f(13,5) D.eq \f(11,5)
6．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________．
7．在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，则Q点的坐标为________．
8．直线2x－5y－10＝0与坐标轴所围成的三角形面积是________．
9．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为eq \f(\r(2),4)，求a的值．
10．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．
11．以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．以上都不是
12．已知x，y∈R，S＝eq \r(x＋12＋y2)＋eq \r(x－12＋y2)，则S的最小值是( )
A．0 B．2 C．4 D.eq \r(2)
13．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝________.
14．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则eq \f(|PA|2＋|PB|2,|PC|2)＝________.
15．光线从B(－3,5)射到x轴上，经反射后过点A(2,10)，则光线从B到A经过的路程为________．
16．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.
2．3.3 点到直线的距离公式
2．3.4 两条平行直线间的距离
学习目标 1.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离．
知识点 点到直线的距离、两条平行线间的距离
思考1 点P (x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离怎样计算？
答案 P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；
P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.
思考2 两直线都与坐标轴平行，可以利用公式求距离吗？
答案 可以. 应用公式时要把直线方程都化为一般式方程．
1．当点P(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式不适用了．( × )
2．点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).( × )
3．直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离．( √ )
4．两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( √ )
一、点到直线的距离
例1 (1)求点P(2，－3)到下列直线的距离．
①y＝eq \f(4,3)x＋eq \f(1,3)；②3y＝4.
(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是eq \f(3\r(10),5)的直线l的方程．
反思感悟 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
跟踪训练1 (1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为________．
(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为________．
二、两平行线间的距离
例2 (1)求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离；
(2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程．
延伸探究 把本例(2)改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P(2,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程”．
反思感悟 求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
跟踪训练2 (1)已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．1 B．2 C.eq \f(1,2) D．4
(2)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
三、距离的综合应用
例3 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
反思感悟 应用数形结合思想求最值
(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．
跟踪训练3 已知△ABC的顶点坐标为A(1,1)，B(m，eq \r(m))，C(4,2)，11．已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( )
A．1 B．－1 C.eq \r(2) D．±eq \r(2)
2．两平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是( )
A.eq \f(3\r(2),4) B.eq \f(\r(2),4) C．2 D．1
3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
A.eq \r(10) B.eq \f(3\r(5),5)
C.eq \r(6) D．3eq \r(5)
4．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________．
5．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为________．
1．知识清单：
(1)点到直线的距离公式．
(2)两条平行线间的距离．
2．方法归纳：数形结合法、解方程(组)法．
3．常见误区：利用距离公式时直线方程形式不是一般式；忽略直线方程的特殊形式．
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1与l2之间的距离为( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
3．已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.eq \r(2) B.eq \r(2)－1
C.eq \r(2)＋1 D．2－eq \r(2)
4．已知直线3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B.eq \f(2\r(13),13) C.eq \f(5\r(13),26) D.eq \f(7\r(13),26)
5．(多选)已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值可能为( )
A．－3 B．3
C．－2 D．1
6．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．
7．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为eq \r(2)，则点P的坐标为________．
8．经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________________．
9．求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．
10．已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程．
11．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0
12．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
13．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是____________．
14．已知x＋y－3＝0，则eq \r(x－22＋y＋12)的最小值为________．
15．已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为( )
A．6 B．3 C.eq \f(6\r(5),5) D.eq \f(9\r(5),10)
16．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长
图示
公式(或求法)
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))