2024一轮题型分类细讲精练12：平面向量

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考的一．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
考点二．向量的线性运算
考点三.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
考点四．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，
使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
考点五．平面向量的坐标表示
(1)向量及向量的模的坐标表示
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)．
考点六．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
考点七.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].
考点八.平面向量的数量积
考点九.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
考点十.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
【方法技巧】
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
【核心题型】
题型一：平面向量的基础知识
1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量，必有
D．若满足且与同向，则
2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南·校联考一模）下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
B．若且，则
C．若G为的外心，则
D．若O为的垂心，则
题型二：平面向量的线性运算
4．（2023·湖南永州·统考二模）设为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023秋·广西河池·高三统考期末）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．4
6．（2022·河南·校联考模拟预测）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（ ）
A．B．C．D．
题型三：平面向量的共线定理
7．（2023·全国·高三专题练习）的外心满足，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．2
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（ ）
A．4B．C．D．2
9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆：相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型四：平面向量的基本定理
10．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022秋·甘肃武威·高三统考阶段练习）如图，在中，是的中点，若，则（ ）
A．B．1C．D．
12．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
题型五：平面向量的坐标运算
13．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点和数列满足，若分别为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．0
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（ ）
A．B．3C．D．4
15．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型六：平面向量的数量积问题
16．（2023·四川成都·统考一模）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知△ABC中，，，，在线段BD上取点E，使得，则（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（ ）
A．B．C．D．
题型七：平面向量的几何应用
19．（2022·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
21．（2022·全国·高三专题练习）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型八：平面向量的综合问题
22．（2022·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知向量， 函数．
(1)求函数的值域;
(2)函数在上有 10 个零点， 求的取值范围．
23．（2023·高三课时练习）已知点G为的重心．
(1)求；
(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值．
24．（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值．
【高考必刷】
一：单选题
25．（2023·四川·石室中学校联考模拟预测）已知向量，，则（ ）
A．7B．C．D．
26．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）若非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
27．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知的外接圆圆心为O，且，，则（ ）
A．0B．C．1D．
28．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）如图,在平行四边形中,,是边的中点,是上靠近的三等分点,若,则（ ）
A．4B．C．D．8
29．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知平面向量满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
30．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，，交于点F，则（ ）
A．B．C．D．
31．（2022·四川眉山·统考一模）已知椭圆的左焦点为，离心率为，直线与C交于点M，N，且，．当取最小值时，椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
32．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．6D．8
二、多选题
33．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）在中，已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
34．（2023·福建·统考一模）平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（ ）
A．与的夹角为B．为定值
C．的最小值为D．在上的投影向量为
35．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知O为坐标原点，点，，，则（ ）
A．B．
C．D．
36．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）在中，，，，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．，，，使得
三、填空题
37．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知向量满足，请写出一个符合题意的向量的坐标______.
38．（2023·全国·高三专题练习）在中，，点Q满足，则的最大值为___________.
39．（2023·陕西商洛·校考三模）已知平面向量，，，其中为单位向量，若，则的取值范围是__________.
40．（2023·全国·模拟预测）已知，，是平面向量，满足，，，则向量在向量上的投影的数量的最小值是______.
41．（2023·陕西渭南·统考一模）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则____________.
四、解答题
42．（2023·全国·高三专题练习）中，，，，.
(1)若，，求的长度；
(2)若为角平分线，且，求的面积.
43．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的内接四边形ABCD中，，BC=2，．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值．
44．（2022秋·广东广州·高三广州市第一一三中学校考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是的外心，．
(1)求角A；
(2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围，
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，
当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ