辽宁省2024届高三下学期高考扣题卷（二）（三模）数学试卷（Word版附解析）

这是一份辽宁省2024届高三下学期高考扣题卷（二）（三模）数学试卷（Word版附解析），共28页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（ ）
A B. C. D.
3. 已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ）
A B. 1C. D. 3
4. 已知平行四边形ABCD，点P在的内部（不含边界），则下列选项中，可能的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
5. 设等差数列的前n项和为，点在函数的图象上，则（ ）
A. B. 若，则，使最大
C. 若，则，使最大D. 若，则，使最大
6. 已知定义在R上的函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. A，B，C是直线与函数（，）的图象的三个交点，如图所示．其中，点，B，C两点的横坐标分别为，若，则（ ）
A. B. -1C. D. 2
8. 已知棱长相等的正三棱锥底面的三个顶点均在以为球心的球面上（其中为的中心），球面与棱分别交于点，，．若球的表面积为，则多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下图为某市2023年第一季度全市居民人均消费支出构成图．已知城镇居民人均消费支出7924元，与上一年同比增长4.4％；农村居民人均消费支出4388元，与上一年同比增长7.8％，则关于2023年第一季度该市居民人均消费支出，下列说法正确的是（ ）
A. 2023年第一季度该市居民人均消费支出6393元
B. 居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和超过了总人均消费支出的50％
C. 城乡居民人均消费支出的差额与上一年同比在缩小
D. 医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和约占总人均消费支出的20.6％
10. 过抛物线的焦点F的直线与C交于，两点，点为C的准线上一点，则（ ）
A B. 若，则
C. 的最小值为4D.
11. 定义域为R的函数满足，且函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. 的图象关于点对称B. 的一个周期为4
C. D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若，则实数m的取值范围为_________．
13. 已知，则________．
14. 的展开式中，的系数为________（用数字作答）．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线方程为，求实数的值；
（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．
16. 跳绳是一项很好的健体运动，坚持跳绳能够有效提高人体下肢的爆发力和身体协调能力．2023年暑假期间，某高中以2022年入学（以下称2022级）的学生为试点，倡议学生每天坚持不超过半小时的跳绳锻炼．开学后，对2022级学生进行了一次计时一分钟的跳绳测试，并从中随机抽查了100名学生在暑期每周跳绳的累计时间及测试成绩（一分钟跳绳的个数），得到如下数据：
（1）请完成下面列联表，并判断是否有99.9％的把握认为“2022级学生的测试成绩与学生每周跳绳的累计时间有关”；
（2）将测试成绩位于区间之内评定为“良好”，位于区间 之内评定为“优秀”．在被抽查的这100名学生中，对评定为“良好”和“优秀”按分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取3人，记这3人中被评定为“优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
附：，其中．
17. 棱长均为2斜三棱柱中，在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处，P为棱（包含端点）上的动点．
（1）求点P到平面的距离；
（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
18. 平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．
19. 在直角坐标平面内，将函数及在第一象限内的图象分别记作，，点在上．过作平行于x轴的直线，与交于点，再过点作平行于y轴的直线，与交于点．
（1）若，请直接写出，的值；
（2）若，求证：等比数列；
（3）若，求证：．
人数
5
10
20
15
15
10
15
10
每周跳绳的累计时间（单位：小时）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
成绩区间（单位：个）
[90，100）
[120，130）
[140，150）
[170，180）
[170，180）
[160，170）
[180，190）
[190，200）
跳绳个数不少于170个
跳绳个数不足170个
合计
每周跳绳的累计时间不少于2小时
每周跳绳的累计时间不足2小时
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
2024年辽宁高考扣题卷（二）
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数为增函数，以及必要不充分条件的定义可得答案.
【详解】由，得，
取，，此时满足，但是不满足，
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2. 已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.
【详解】因为双曲线C的焦点为在纵轴上，所以，
且双曲线C方程满足，
故，则C的方程为．
故选：D．
3. 已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的几何意义及圆中最值问题数形结合计算即可.
【详解】的几何意义是复数z对应的点Z到点的距离为1，
即点Z在以点为圆心，1为半径的圆上，
的几何意义是点Z到点的距离．
如图所示，故．
故选：B．
4. 已知平行四边形ABCD，点P在的内部（不含边界），则下列选项中，可能的关系式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，设，结合平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解.
【详解】设，由平面向量的基本定理，可得：
当时，此时点P在直线BD上；
当时，此时点P在点A和直线BD之间；
当时，此时点P在点C和直线BD之间；
当时，此时点P在过点C且与直线BD平行的直线上，
对于A中，由向量，满足，所以点在内部，所以A错误；
对于B中，由，满足，所以点在上，所以B错误；
对于C中，由，满足，所以点可能在内部，所以C正确；
对于D中，由，满足，此时点P在过点C且与直线BD平行的直线上，所以D错误.
故选：C.
5. 设等差数列的前n项和为，点在函数的图象上，则（ ）
A. B. 若，则，使最大
C. 若，则，使最大D. 若，则，使最大
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的前n项和，得到，可判定A错误；由时，得到，当时，可判定B错误；由，得到，可判定C错误；由，得到，可判定D正确．
【详解】因为等差数列的前n项和（d为公差），
所以，点在函数的图像上，
对于A中，因为在函数的图象上，
可得，，，所以无意义，所以A错误；
对于B中，若，则，此时，
当时，不存在，使最大，所以B错误；
对于C中，若，则，有最小值，无最大值，所以C错误；
对于D中，若，则，有最大值，所以D正确．
故选：D.
6. 已知定义在R上的函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数并判断奇偶性，通过导函数求出函数的单调区间，根据函数单调性比较大小即可
【详解】令，因为，
所以为偶函数．
，
因为当时，，，此时，
所以在上单调递增．
因为，，，
因为，，，
所以，所以，
即．
故选：A．
7. A，B，C是直线与函数（，）的图象的三个交点，如图所示．其中，点，B，C两点的横坐标分别为，若，则（ ）
A. B. -1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据求得，求得，结合，得到，得到，即可求解.
【详解】由，可得，
因为，且点A在图像的下降部分，所以，
故，
因为，所以是直线与的图像的三个连续的交点；
由点横坐标，即，解得，，
解得，，所以．
因为，所以，所以，所以，
则．
故选：A．
8. 已知棱长相等正三棱锥底面的三个顶点均在以为球心的球面上（其中为的中心），球面与棱分别交于点，，．若球的表面积为，则多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用正四面体和球的关系，利用正弦定理求出正四面体的棱长，，作，利用几何关系得到，再利用体积公式及比列关系求出多面体的体积即可.
【详解】设球的半径为，由，得，
依题意，三棱锥为正四面体，且，
设正四面体的棱长为．在等边三角形中，
由正弦定理可得，即，解得．
因为平面，所以，所以．
作，垂足为H，在中，由，
得，
所以在中，．
因为，，所以为线段的中点，所以，所以．
依题意，多面体为正三棱台，
所以，即，
又，
所以正三棱台的体积为．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下图为某市2023年第一季度全市居民人均消费支出构成图．已知城镇居民人均消费支出7924元，与上一年同比增长4.4％；农村居民人均消费支出4388元，与上一年同比增长7.8％，则关于2023年第一季度该市居民人均消费支出，下列说法正确的是（ ）
A. 2023年第一季度该市居民人均消费支出6393元
B. 居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和超过了总人均消费支出的50％
C. 城乡居民人均消费支出的差额与上一年同比在缩小
D. 医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和约占总人均消费支出的20.6％
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据消费支出构成图及已知条件分析数据一一判定选项即可.
【详解】2023年第一季度全市居民人均消费支出为（元），故A正确；
易知居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和为（元），
占总人均消费支出的，故B正确：
依题意可得2022年第一季度城乡居民人均消费支出的差额为（元），
2023年第一季度城乡居民人均消费支出的差额为（元），
由于，故C错误；
医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和占总人均消费支出的，故D正确．
故选：ABD．
10. 过抛物线的焦点F的直线与C交于，两点，点为C的准线上一点，则（ ）
A. B. 若，则
C. 的最小值为4D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，求得抛物线的标准方程，设直线l方程为，联立方程组，结合抛物线焦点弦的性质，以及根与系数的关系和向量的数量积的运算，逐项判定，即可求解.
【详解】因为点是抛物线的准线上一点，可得，解得，
即抛物线方程为的焦点为，
对于A中，设直线l方程为，联立方程组，整理得，
所以且，，所以，所以A错误；
对于B中，因为，由抛物线的定义，可得，所以，
又因为，可得，所以，所以B正确；
对于C中，由，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，所以C正确；
对于D中，由，，
所以
，
所以，即，所以D正确．
故选：BCD．
11. 定义域为R的函数满足，且函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. 的图象关于点对称B. 的一个周期为4
C. D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据抽象函数的对称性、周期性及函数图象变换一一计算判定选项即可.
【详解】在中，令，则有，
即，所以的图像关于点对称，
将图像上各点的横坐标变为原来的倍，可得的图像关于点对称，
但无法确定的图像关于点对称，故选项A错误；
由，得，
即，所以的图像关于点对称，且,
又因为的图像关于直线对称，故，所以,
所以即即，
所以的一个周期为4，且，故选项B，C正确；
若且的图像关于点对称，则，所以，
所以，所以，
故选项D错误．
故选:BC．
【点睛】思路点睛：抽象函数性质判断，往往需要对原有的运算性质进行变换，从而得到新的对称性或周期性.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若，则实数m的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据交集的结果，根据端点值的大小，列式求解.
【详解】因为，所以，则．
故答案为：．
13. 已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦的和角公式，同角三角形函数的和积关系及二倍角公式先得，再将三倍角化为二倍角推导计算得即可.
【详解】由，得即，
两边平方得，得，
所以．
故答案为：．
14. 的展开式中，的系数为________（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】将化为，对，利用二项式定理求项的系数即可得出.
【详解】因为，
所以项为，
所以的系数为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将转化为，从而利用组合的思想即可得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线方程为，求实数的值；
（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数几何意义和切线方程，可直接构造方程组求得结果；
（2）构造函数，将问题转化为恒成立；求导后，分别在、和的情况下，结合单调性和最值求得符合题意的范围.
【小问1详解】
，，
在处的切线为，，
解得：，.
【小问2详解】
由得：，
令，则当时，恒成立；
；
①当时，，，，
在上单调递减，，不合题意；
②当时，，
i.当，即时，在上恒成立，
在上单调递增，，符合题意；
ii.当，即时，
若，则，在上单调递减，
此时，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
16. 跳绳是一项很好的健体运动，坚持跳绳能够有效提高人体下肢的爆发力和身体协调能力．2023年暑假期间，某高中以2022年入学（以下称2022级）的学生为试点，倡议学生每天坚持不超过半小时的跳绳锻炼．开学后，对2022级学生进行了一次计时一分钟的跳绳测试，并从中随机抽查了100名学生在暑期每周跳绳的累计时间及测试成绩（一分钟跳绳的个数），得到如下数据：
（1）请完成下面列联表，并判断是否有99.9％的把握认为“2022级学生的测试成绩与学生每周跳绳的累计时间有关”；
（2）将测试成绩位于区间之内评定为“良好”，位于区间 之内评定为“优秀”．在被抽查的这100名学生中，对评定为“良好”和“优秀”按分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取3人，记这3人中被评定为“优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
附：，其中．
【答案】（1）列联表见解析，有99.9％的把握认为“2022级学生的测试成绩与学生每周跳绳的累计时间有关”
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据条件补全列联表，并依据卡方公式结合独立性检验思想判定即可；
（2）根据分层抽样得出优秀人数的可能取值，并计算相应概率，从而得出离散型随机变量的分布列即可.
【小问1详解】
依题意补全列联表如下：
因为，
所以有的把握认为“2022级学生的测试成绩与学生每周跳绳的累计时间有关”．
【小问2详解】
对评定为“良好”和“优秀”按分层抽样抽取11人，其中被评定为“良好”的有9人，被评定为“优秀”的有2人，则X的可能值为0，1，2．
，，，
所以X的分布列为：
X的数学期望．
17. 棱长均为2斜三棱柱中，在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处，P为棱（包含端点）上的动点．
（1）求点P到平面的距离；
（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解即得.
（2）由向量共线求出向量的坐标，再利用线面角的向量求法列出函数关系，并求出函数的值域即可.
【小问1详解】
依题意，平面ABC，(底面为正三角形)，且，
以O为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，，
由，平面，平面，则平面，
即点P到平面的距离等于点到平面的距离，
设为平面的一个法向量，由，取，得，
因此点到平面的距离，
所以点P到平面的距离为．
【小问2详解】
设，，
则，
由，得为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，
则，
令，则，，
则，
由，得，于是，，则，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是.
18. 平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）点Q在定直线上，定直线方程为
【解析】
【分析】（1）设点的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得，结合正方形面积得的方程；
（2）设，的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得，化简得，代入直线方程即可，从而求出定直线方程.
【小问1详解】
设，
由，得，
所以，
因为正方形ABCD的面积为，即，
所以，整理可得，
因此C的轨迹方程为．
【小问2详解】
依题意，直线l存在斜率，设l：，即，
设点，，，
由，消y得，
即，
由
，
可以得到，
所以，
可得，，
由，得，
所以，
可得
，
所以，
因为，
所以点Q在定直线上，定直线方程为．

19. 在直角坐标平面内，将函数及在第一象限内的图象分别记作，，点在上．过作平行于x轴的直线，与交于点，再过点作平行于y轴的直线，与交于点．
（1）若，请直接写出，的值；
（2）若，求证：是等比数列；
（3）若，求证：．
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将代入函数解析式一一计算得相应坐标即可；
（2）根据纵坐标相等，及其所在函数的解析式可得出，根据问题构造，再由等比数列的定义即可证明；
（3）由（2）的结论得，根据指数幂的正负，可得出的奇数项与偶数项的范围，再由递推关系计算得，从而判定，作差化简放缩得， 后累加及等比数列求和公式证明即可.
【小问1详解】
易知当时，代入函数解析式可知：
，所以，．
【小问2详解】
依题意，由可得
因为在上，所以，
又，
所以，整理可得，
所以①，且②，
由得，
又由，得，即是以为公比等比数列；
【小问3详解】
若，由（2）得，
因，所以，
因为，所以，
又因为，
所以
所以，从而，
所以
从而|
所以
【点睛】思路点睛：第二问根据问题式借助点的横纵坐标关系及函数关系构造相关数列即可证明；第三问根据上问结论先得出通项公式，再判定的奇偶数项的大小与范围，借助递推关系得出，之后作差仍要借助递推关系式推出，依次放缩累加即可证明结论.
人数
5
10
20
15
15
10
15
10
每周跳绳的累计时间（单位：小时）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
成绩区间（单位：个）
[90，100）
[120，130）
[140，150）
[170，180）
[170，180）
[160，170）
[180，190）
[190，200）
跳绳个数不少于170个
跳绳个数不足170个
合计
每周跳绳的累计时间不少于2小时
每周跳绳的累计时间不足2小时
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
跳绳个数不少于170个
跳绳个数不足170个
合计
每周跳绳的累计时间不少于2小时
40
10
50
每周跳绳的累计时间不足2小时
15
35
50
合计
55
45
100
X
0
1
2
P