2024届四川省绵阳南山中学高三下学期高考仿真演练(一)理科数学试题

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命题人：曾皓 审题人：何宗福
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C. D．
2．设复数的共轭复数为，且满足，则可以是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数是奇函数，则实数（ ）
A．B．C．D．
4．在区间上随机取一个实数，使在上单调递增的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．已知某几何体的三视图如图所示，该几何体最长的棱为，则该几何体的体积为（ ）
俯视图
A.B．
C.D．
6．如图，在棱长为2的正方体中，是正方体上底面的中心，是的中点，则与平面所成角的正切值为（ ）
A．B．
C．D．2
7．将2名医生和甲、乙、丙、丁4名护士分成2个小组，分别安排到两个社区参加义诊活动，每个社区有1名医生和2名护士，其中甲乙不在同一小组，则不同的分配方法有（ ）种.
A．6B．8C．10D．12
8．关于函数，有下列命题：
①的最小正周期为； ②函数的图象关于对称；
③在区间上单调递增； ④将函数的图象向右平移个单位长度后所得到的图象与函数的图象重合．
其中正确的为（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②④
9．已知函数 有两个不同的根，分别是（ ）
B.3 C.6 D.9
10．过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．已知数列的各项均为正数，，若表示不超过的最大整数，则（ ）
A．615B．620C．625D．630
12．若函数在上单调递增，则不可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若满足约束条件则的最小值为 ．
14．已知非零向量满足，且则的夹角大小为 ．
15．已知等比数列的前项和为，若，则取最大值时，的值为 ．
16．已知圆，点在抛物线上运动，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（一）必考题：共60分．
17．数学来源于生活，当然也服务于生活。某学校兴趣小组针对“当地某一零售超市夏天如何配备冷饮”的问题，做了一系列研究。经研究发现，“冷饮的需求量（单位：杯）”与“当天的气温（单位：）”线性相关。根据统计，小组随机抽取了该超市6天销量情况与当天的气温，对应关系如下表：
(1)经过计算，得到当天的气温x与销量y满足回归方程．若今天的气温为31，则该超市可以配备多少杯冷饮？
(2)为了进一步详细研究这种变化规律，该小组又从这6天中随机选取3天，记为销量不低于110杯的天数，求的分布列和数学期望．
18．已知在中，D为BC边的中点，且.
(1)若的面积为，，求；
(2)若，求的周长的最大值.
19.在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)是侧棱上一点，记，是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．已知函数．
(1)当时，求函数在区间上零点的个数；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．已知椭圆组合成的曲线如图1所示，根据图形特点，称曲线为“猫眼曲线”.特别地，若两个椭圆离心率相等，则称为“优美猫眼曲线”.
（1）已知“猫眼曲线”满足成等比数列，公比为，判断此时曲线是否为“优美猫眼曲线”.若曲线经过点，求出组成这个曲线的两个椭圆的标准方程.
（2）对于（1）中所求的“猫眼曲线”，作直线（斜率为,且）.
①若直线不经过原点O，且与组成的两个椭圆都相交，交椭圆所得弦的中点为, 交椭圆所得弦的中点为,如图1所示，是否为与无关的定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
②若直线的斜率与椭圆相切，交椭圆于两点，Q为椭圆上与不重合的任意一点，如图2所示，求面积的最大值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．第十四届全国冬季运动会于2月17日在内蒙古呼伦贝尔开幕，这是继北京冬奥会后全国举办的又一冬季项目大型体育赛事，也是内蒙古首次承办的全国大型综合体育盛会。本次赛事共设8个大项，16个分项，176个小项。在开闭幕期间，运动员、裁判员、教练员、媒体记者等总规模达4000余人。武大靖、任子威等明星运动员也纷纷亮相。某高中体育爱好者打算借四叶草具有幸福幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章以作纪念。如图，在极坐标系中，方程表示的图形为“四叶草”对应的曲线．
(1) 当的时；求以极点为圆心的单位圆与的交点的极坐标；
(2) 设和是上的两点，且，求的最大值．
23．已知函数的最小值是．
(1)求的值；
(2)若，证明：．气温x（）
17
19
23
29
33
35
销量y（杯）
78
87
96
110
134
149