中考数学专题练习12 全等模型-角平分线模型

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模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作.
结论：、≌.

图1 图2
常见模型1（直角三角形型）
条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作.
结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.）
图3
常见模型2（邻等对补型）
条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。
结论：①；②；③.
例1．（2022·北京·中考真题）如图，在中，平分若则____．
例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
例3．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、，，，则①平分；②；③；④．上述结论中正确的是（ ）

A．①②B．①③C．②③④D．①②③④
例4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，点O为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)求证：．

例5．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）
【模型解读与图示】
条件：如图1，为的角平分线，，
结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。

图1 图2 图3
条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F.
结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。
例1．（2023·山东淄博·校考二模）如图，点在内部，平分，且，连接．若的面积为，则的面积为 ．

例2．（2022秋·湖北黄冈·八年级校考期中）如图， 中， 是 的角平分线， ；若的最大值为，则长为 ．
例3．（2022·绵阳市·九年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．
（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．
例4．（2022·安徽黄山·九年级期中）如图，在中，，，是边上一动点，于．（1）如图（1），若平分时，①求的度数；
②延长交的延长线于点，补全图形，探究与的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图（2），过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．
模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）
【模型解读与图示】
条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结.
结论：≌，CB=CA。

条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结.
结论：≌，≌，AB+CD=BC。
例1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．
（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 ．
（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．
（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．
例2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数．
例3．（2022·北京九年级专题练习）在四边形中，是边的中点．
（1）如图（1），若平分，，则线段、、的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）；（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．

例4．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

课后专项训练
1．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（ ）
A．①③B．①②③C．①③④D．②③
2．（2022·江苏常州·一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（ ）
A．B．9C．6D．7．2
3．（2023·成都·中考模拟）已知，如图，BC=DC，∠B+∠D=180°． 连接AC，在AB，AC，AD上分别取点E，P，F，连接PE，PF． 若AE=4，AF=6，△APE的面积为4，则△APF的面积是（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．（2023·福建厦门·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（ ）
A．①③B．①②③C．①③④D．②③
5．（2022·安徽合肥·一模）如图，中，AD平分，E是BC中点，，，，则DE的值为（ ）
A．1B．2C．D．
6．（2022·福建·福州一模）如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点B，交CD于点F，H是BC边的中点，连接DH交BE于点G，现给出以下结论：①△ACD≌△FBD；②AE=CE；③△DGF为等腰三角形；④S四边形ADGE=S四边形GHCE．其中正确的有_________（写出所有正确结论序号）．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为 ．
8．（2023·达州·校考一模）如图，已知四边形中，平分，，求证：．
9．（2022·安徽芜湖·九年级期中）如图，已知，是的平分线，且交的延长线于点E．求证：．
10．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
11．（2022秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABE中，D、C分别在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于点H．(1)求证：；(2)若AD＝3，AB＝8，求AH的长．
12．（2023·宁夏银川·校考二模）问题提出
（1）如图①，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点C，画射线，连接，则图①中与全等的是___________；

问题探究（2）如图②，在中，平分，过点D作于点M，连接，，若，求证：；
问题解决（3）如图③，工人刘师傅有块三角形铁板，，他需要利用铁板的边角裁出一个四边形，并要求，．刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作出的平分线交于点D，作的平分线交于点E，交于点F，得到四边形．请问，若按上述作法，裁得的四边形是否符合要求？请证明你的结论．
13．（2022·江苏·一模）如图，已知，AE，BD是的角平分线，且交于点P．
（1）求的度数．（2）求证：点在的平分线上．（3）求证：①；②．
14．（2022·北京西城·二模）在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB′上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是______，若，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
15．（2022·重庆·二模）已知：如图1，四边形ABCD中，，连接AC、BD，交于点E，．(1)求证：；(2)如图2，过点B作，交DC于点F，交AC于点G，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，若，求线段GF的长．
16．（2022·陕西西安·一模）如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，∠ABC＜105°，AE与DC交于点F．
（1）求证：AE＝DC；（2）求∠BFE的度数；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．
17．（2022·自贡市九年级月考）根据图片回答下列问题．
(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．

18．（2023·山东·九年级专题练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容．
已知：如图13.5.4，是的平分线，P是上任意一点，，垂足分别为点D和点E．
求证：．
分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得
【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明的过程．
【类比探究】（1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点分别在和上，连接和，若，求证： ；（2）如图③，的周长是12，分别平分和于点D，若 ，则的面积为 ．
19．（2023·安徽·九年级期末）如图，在中，，平分．
（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，若，求证：．
20．（2023·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）（情景呈现）画，并画的平分线．
（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，（如图1）．则；若把三角尺绕点旋转（如图2），则________．（选填：“<”、“>”或“=”）
（理解应用）（2）在（1）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3．
①图中全等三角形有________对．（不添加辅助线）；②猜想，，之间的关系为________．
（拓展延伸）（3）如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由．