【二轮复习】2024年中考数学 题型9 二次函数综合题 10 二次函数与矩形（专题训练）

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(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】(1)；(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为；(3)4
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；
（2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
（3）连接A，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形是平行四边形，则，．求出时，点A的坐标为，则，即可得出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．

∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P．．
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点．
∴．
当时，点A的坐标为，
∴．
∴抛物线平移的距离是4．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，以及平移的性质．
2．（2023·山西·统考中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．

(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；
(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】(1)，点的坐标为；(2)①2或3或；②，S的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可；
（2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可；
②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由得，当时，．
解得．
∵点A在轴正半轴上．
∴点A的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点C的坐标为；
（2）①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．

∵，
∴．
解得．
如图2，当点在直线下方时，．

∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
综上所述，的值为2或3或；
②解：如图3，由（1）得，．

∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线上方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．
∵，
∴当时，S的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键．
3．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．

(1)求抛物线的解析式；
(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；
③抛物线与边分别相交于点，点在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．
【答案】(1)；(2)①；②；③或
【分析】（1）根据题意得出点，,待定系数法求解析式即可求解；
（2）①根据平移的性质得出，根据点的对应点落在抛物线上，可得，进而即可求解；
②根据题意得出，求得中点坐标，根据题意即可求解；
③连接，过点作于点，勾股定理求得，设点的坐标为，则，将代入，求得，求得，进而根据落在抛物线上，将代入，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，点的横坐标为，点的横坐标为，代入抛物线
∴当时，，则，
当时，，则,
将点，,代入抛物线，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）①解：∵轴交抛物线另一点为点，
当时，，
∴，
∵矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上
∴，
整理得
∵
∴
∴；
②如图所示，

∵,
∴,
∵
∴，
由①可得，
∴,的横坐标为，分别代入 ，
∴，
∴
∴的中点坐标为
∵点为线段的中点，
∴
解得：或（大于4，舍去）
③如图所示，连接，过点作于点，

则，∵
∴，
设点的坐标为，则，
将代入，
，
解得：，
当，
∴，
将代入
解得：，
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，矩形的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4.（2022·安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）．
【答案】(1)y＝x2＋8
(2)（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：＋9≤P1横坐标≤；方案二：＋≤P1横坐标≤
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，－m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
(1)由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，解得：a＝，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8；
(2)（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，m2＋8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26，
∵＜0，∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，令x2＋8＝3，解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋，
∵－1＜0，∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，令x2＋8＝，解得：x＝，
∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤．
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
5.（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．
（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的横坐标分别为：2，，或．
【分析】
（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为将，两点代入求得，c的值即可；
（2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化为，再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；
（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标;
②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标．
【详解】
解：（1）∵过，
∴
∴，
∴抛物线的解析式为：
（2）在上取一点，使得，连接，
∵
对称轴．
∴，
，
∴，
∴
∴
∴
当，，三点在同一点直线上时，最小为．
在中，，
∴
即最小值为．
（3）情形①如图，AB为矩形的一条边时，
联立
得


是等腰，
分别过 两点作的垂线，交于点，
过作轴，轴,

,也是等腰直角三角形
设，则，所以
代入，解得,（不符题意，舍）
同理，设，则 ，所以
代入，解得,（不符题意，舍）

② AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则
，


设 ，则

整理得：
解得：（不符题意，舍），（不符题意，舍），
，
综上所述：点的横坐标分别为：2，，或．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键．
6.（2021·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于两点，直线交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为分别交直线于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当，连接，求的面积；
（3）①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【分析】
（1）直接利用待定系数法即可求出答案．
（2）由题意可求出，．利用三角函数可知在和中，，由此即可求出，从而可求出．即可求出D点坐标，继而求出．再根据，即可求出FD的长，最后利用三角形面积公式即可求出最后答案．
（3）①连接，交于点．根据矩形的性质可知，．由可推出．由，可推出．再根据直线BC的解析式可求出C点坐标，即可得出OC的长，由此可求出AC的长，即可求出CH的长，最后即得出OH的长，即可得出H点坐标．
②在中，利用勾股定理可求出的长，再根据结合可推出，即要使最小，就要最小，由题意可知当点在上时，为最小．即求出BC长即可．在中，利用勾股定理求出的长，即得出周长的最小值为．
【详解】
解：（1）∵抛物线过两点，
，
解得，，
．
（2）
．
同理，．
又轴，轴，
∴在和中，，即，

．
当时，，
，即．
，
．
（3）①如图，连接，交于点．
∵四边形是矩形，
．
又，
∴，
．
∵四边形是矩形，
．
，
∵当x=0时，，
∴，
，
，
，
．
②在中，，
．
∴要使最小，就要最小．
，
∴当点在上时，为最小．
在中，．
周长的最小值是．
【点睛】
本题为二次函数综合题．考查二次函数的图象和性质，解直角三角形，一次函数的图象和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，三角形三边关系以及勾股定理等知识，综合性强，较难．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
7.（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点为第四象限内抛物线上一点，连接，过点作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点时，得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考：若点、，则线段的中点的坐标为．
【答案】（1）该抛物线的表达式为：；（2）面积最大值为8，此时P点的坐标为：P（2，-6）；（3）或或或
【分析】
（1）将两个点分别代入抛物线可得关于a，b的二元一次方程组，可解得a，b；
（2）设出P、Q两点坐标，应用三角形相似，及三角形面积公式，代入化简可得一个二次函数，求其最大值即可；
（3）抛物线的平移可确定抛物线解析式及对称轴，设出点E、F，应用中点坐标公式及矩形特点分成的三角形为直角三角形，可得出答案．
【详解】
解：（1）将A（-1,0），B（4,0）代入抛物线可得：
，
解得：，
∴该抛物线的表达式为：；
（2）过点P作PN⊥x轴于点N，如图所示：
设且，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，，
根据抛物线的基本性质：对称轴为在内，
∴在取得最大值，代入得：，
当时，，
∴面积的最大值为8，此时点P的坐标为：．
（3）在（2）的条件下，原抛物线解析式为，将抛物线向右平移经过点，可知抛物线向右平移了个单位长度，
∴可得：，
化简得平移后的抛物线：，
对称轴为：，
由（2）得：A（-1，0），，点E在对称轴上，
∴设E（3，e），点F（m，n），矩形AEPF，
当以AP为矩形的对角线时，则AP的中点坐标为：，EF的中点坐标为：，
根据矩形的性质可得，两个中点坐标相同，可得：
解得：
∵矩形AEPF，
∴为直角三角形，
∴，③
，
，
，
代入③化简可得：，④
∴将②代入④可得：，
化简得：，
根据判别式得：，
∴，
∴或；
当以AP为矩形的边时，如图所示：
过点P分别作PG⊥x轴于点G，PH∥x轴，过点F作PH的垂线，垂足为H，设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，如图，
∴，，AM=4，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，AE=PF，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴FH=2，
∵点，
∴，
当以AP为矩形的边时，如图所示：
同理可得；
综上所述：以、、、为顶点的四边形为矩形，或或或
【点睛】
题目考查确定二次函数解析式及其基本性质、矩形的性质、勾股定理等，难点主要是依据图像确定各点、线段间的关系，得出答案．
8.（2021·黑龙江中考真题）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或或．
【分析】
（1）先根据对称轴可得的值，再根据可得点的坐标，代入抛物线的解析式即可得；
（2）利用抛物线的解析式分别求出点的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得；
（3）过点作轴的垂线，交于点，先利用待定系数法求出直线的解析式，再设点的坐标为，从而可得和的坐标，然后根据可得关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得；
（4）设点的坐标为，分①当为矩形的边时，②当为矩形的边时，③当为矩形的对角线时三种情况，再分别利用待定系数法求直线的解析式、矩形的性质、点坐标的平移变换规律求解即可得．
【详解】
解：（1）抛物线的对称轴为，
，
，
，且点在轴负半轴上，
，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为；
（2）化成顶点式为，
则顶点的坐标为，
当时，，即，
则抛物线上两点之间的距离是，
故答案为：；
（3）如图，过点作轴的垂线，交于点，
，抛物线的对称轴为，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，则，，
，
，
，
由二次函数的性质得：在内，当时，取最大值，最大值为，
即面积的最大值为；
（4）设点的坐标为，
由题意，分以下三种情况：
①当为矩形的边时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
则直线的解析式为，
将点代入得：，即，
将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点，
四边形是矩形，
点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，
，
，即；
②当为矩形的边时，则，
同（4）①的方法可得：点的坐标为；
③当为矩形的对角线时，则，
，
即，
解得或，
或，
当点的坐标为时，
则将点先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度可得到点，
四边形是矩形，
点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，
，即；
同理可得：当点的坐标为时，点的坐标为，
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】
本题考查了二次函数的几何应用、待定系数法求函数解析式、矩形的性质等知识点，较难的是题（4），正确分三种情况讨论是解题关键
9.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
【分析】（1）①求出点A的坐标，直线直线OA的解析式即可解决问题．
②求出直线OB的解析式，求出点N的坐标，利用矩形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法求出m的值即可．
（2）分两种情形：①当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），求出点P的坐标利用待定系数法构建方程求出a即可．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，利用①中结论即可解决问题．
【解析】（1）①∵点A在y=14x2的图象上，横坐标为8，
∴A（8，16），
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M（12m，m）．
②假设能在抛物线上，
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为y=-12x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N（﹣2m，m），
∴MN的中点的坐标为（-34m，m），
∴P（-32m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m=329．
（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），
∴直线OA的解析式为y=14ax，
∴M（8a，2），
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y=-4ax，可得N（-a2，2），
∴P（8a-a2，4），代入抛物线的解析式得到，8a-a2=4，
解得a＝42±4，
∴直线OA的解析式为y＝（2±1）x．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为y=-4ax＝﹣（2±1）x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（2±1）x或y＝﹣（2±1）x．
10.如图，已知抛物线与轴交于点和点，交轴于点.过点作轴，交抛物线于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线与线段、分别交于、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，求矩形的最大面积；
（3）若直线将四边形分成左、右两个部分，面积分别为、，且，求的值.
【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）3；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先利用待定系数法求出直线AD，BD的解析式，进而求出G，H的坐标，进而求出GH，即可得出结论；
（3）先求出四边形ADNM的面积，再求出直线y＝kx＋1与线段CD，AB的交点坐标，即可得出结论．
【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴x2+2x﹣3=﹣3，
∴x=0或x=﹣2，
∴D（﹣2，﹣3），
∵A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴直线AD的解析式为y=﹣3x﹣9，直线BD的解析式为y=x﹣1，
∵直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，
∴G（﹣m﹣3，m），H（m+1，m），
∴GH=m+1﹣（﹣m﹣3）=m+4，
∴S矩形GEFH=﹣m（m+4）=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+3，
∴m=﹣，矩形GEFH的最大面积为3．
（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3），
∴CD=2，
∴S四边形ABCD=×3（4+2）=9，
∵S1：S2=4：5，
∴S1=4，
如图，设直线y=kx+1与线段AB相交于M，与线段CD相交于N，
∴M（﹣，0），N（﹣，﹣3），
∴AM=﹣+3，DN=﹣+2，
∴S1=（﹣+3﹣+2）×3=4，
∴k=
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的面积公式，梯形的面积公式，求出相关线段的长是解本题的关键．