四川省成都外国语学校2024届高三下学期高考模拟试题（四）数学（理科）试题

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本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）2至4页，共4页。满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知向量，，则（ ）
A.2B.3C.4D.5
3.满足条件的复数的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.已知，是空间两个不同的平面，命题：“”，命题：“平面内有无数条直线与平行”，则是的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里.”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
6.函数的零点个数为（ ）
A.0B.1C.2D.3
7.在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ）
A.B.C.D.
8.若，，则等于（ ）
A.B.C.D.
9.若如图所示的框图运行结果为，那么判断框中应填入的关于k的条件是（ ）
A.B.C.D.
10.若偶函数定义域为，在上的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A.B.C.D.
11.是椭圆：上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且.则的离心率为（ ）
A.B.C.D.
12.已知，，，则（ ）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.抛物线的准线方程是________.
14.已知命题：若满足，则是直角三角形.能说明为假命题的一组角为________，________.
15.数列满足：， ，且，则该数列前2024项和________.
16.在平面四边形中，，， ，将沿折起，使点到达，且，则四面体的外接球的体积为________；若点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：℃）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.
表中：，
（1）已知散点大致分布在函数附近，请求出关于时间的回归方程；
（2）已知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
附：（1）对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；
（2）参考数据：，，，，
18.已知函数，的最小正周期为.
（1）求在上的单调增区间；
（2）在锐角中角，，的对边分别是，，满足，求的取值范围.
19.如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形.
（1）求证： ；
（2）在线段上是否存在一点，使与平面成角？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.
20.已知在平面直角坐标系：中，动圆与圆：内切，与圆：外切，记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求的标准方程.
（2）若直线与交于，两点，直线与交于另一个点，连接交轴于点，试问是否存在，使得的面积等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21.若实数集，对，，均有，则称具有Bernulli型关系.
（1）若集合，，判断是否具有Bernulli型关系，并说明理由；
（2）设集合，，若具有Bernulli型关系，求非负实数的取值范围.
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，.
（1）求的参数方程；
（2）已知点在上，若在处的切线与直线：平行，求点的极坐标.
23.已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若时，恒成立，求的最小值.
模拟四理科参考答案
1.B【详解】因为，，所以.
2.D【详解】向量，，则，，
3.D【详解】，其共轭复数在复平面上对应的点所在象限是第四象限.
4.A【详解】若，则平面内任意一条直线平行于另一个平面，故平面内有无数条直线与平行，所以可以推出；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.若平面内有无数条直线与平行，则与可能相交，不一定平行，所以不能推出.
5.C【详解】设该马第天行走的里程数为，由题知，数列是公比为的等比数列，所以该马七天所走的里程为，解得，故该马第五天行走的里程数为.
6.C【详解】，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，，所以函数在和各有1个零点，所以共2个零点.
7.C【详解】圆心到直线的距离，解得，所以，直线与圆相交的概率为.
８.B【详解】显然，而，因此，解得，
由，得，所以.
9.A【详解】由题意可知输出结果为，第1次循环，，；第2次循环，，；第3次循环，，；此时满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为.
10.B 【详解】由图可知：在区间上单调递增，则在区间上.又由为偶函数.则在区间上单调递减，则在区间上.由可得在区间上，.在区间上，.在区间上，.在区间上，．故不等式的解集为
11.C 【详解】如图，设，，延长交于，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由，则是等腰直角三角形，故有，化简得，
即，代入得，即，由所以，所以，.
12.A 【解析】设，则，
所以在上单调递减，
所以，即，所以，，
，
∴.
13. 【详解】拋物线，即，焦准距，故其准线方程是，
14.， 【详解】当，时，，但，此时不是直角三角形
15.4 【详解】由已知可得，，，，，，，，所以，是以6为周期的数列.又，.
16.， 【详解】第一空：由题意知，，，，由勾股定理可知，，，所以，，取的中点，所以，所以四面体的外接球球心在斜边的中点处，四面体的外接球的半径，外接球的体积.第二空，根据题意可知，将四面体可放在棱长为3的正方体内，如图所示，过点作球的截面，若要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半径最小，设球到截面的距离，只需球心到截面的距离最大即可，而当且仅当与截面垂直时，球心到截面的距离最大，即取的中点F，，所以，所以截面圆半径为.
选择题答案：BDDA CCCB ABCA
13. 14.， 15.4 16.
17.（1）；
（2）7.5min.
【详解】（1），得，两边取自然对数，德，
令，则，
，.
结合表中数据，得，
结合参考数据可得.
由，得，
所以茶水温度关于时间的回归方程为.
（2）依题意。25℃室温下，茶水温度降至60℃口感最佳，
即，整理得，
于是，解得，
所以在相同条件下，刚泡好的茶水大约需要放置才能达到最佳饮用口感.
18.（1） （2）
【详解】（1）
.
∵，∴，故.
由，，解得，，
当时，，又，所以在上的单调增区间为.
（2）由，得，
∴，∵，∴.
∵，.
∴，∵是锐角三角形
∴解得
∵，∴，∴
∴的取值范围为
19.（1）证明见解析 （2）存在点，且
【详解】（1）如图所示，取中点，连接，，因为，所以，
又因为，所以，又因为，所以平面
因为平面，所以；
（2）法一：几何法
如图，过作垂直的延长线于.
由（1）知平面，平面
∴，又，平面，
∴平面假设存在点符合题意，连接，
则为在平面内的射影，则为与平面所成角，即，
在中，，，，
由余弦定理有：
∴在中，
∴
∴在中，
在中，，故.
法二：几何法
如图，把三棱锥放置于棱长为1的正方体中，易得到平面的距离等于到平面的距离，且，
若存在点符合题意，则，即
在中，，故.
法三：空间直角坐标系法
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有，，，设，
则由
解得
则，，，
令，则，
令平面的法向量为，则有，即.
可取，，
则，
整理得，
解得，由，故，
则，
即存在点，且.
20.（1） （2）存在
【详解】（1）由题意知，圆：，圆心，半径为3，圆：，圆心，半径为1.设动圆的半径为，则，，
所以，
由椭圆的定义可知，曲线是以，为左、右焦点的椭圆（不包含右顶点），
设曲线的方程为，则，，得，，又，故，所以的标准方程为.
（2）由题易知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
代入得，，
易知，设，，则，，
易知，，由椭圆的对称性知，则，
所以直线的方程为，令，
得
，
所以，
要使的面积等于，则，代入，得，
由题知，（舍）
所以.
不妨设，则直线的方程为，代入，得，
因为，所以，
所以存在，使得的面积等于.
21.【答案】（1）具有Bernulli型关系，理由见解析；（2）
【详解】（1）依题意，是否具有Bernulli型关系，等价于判定以下两个不等式对于是否均成立：
①，②，
∵，，
∴具有Bernulli型关系.
（2）令，，，
则，
①当时，显然有，∴成立；
②当时，若，则，即，
∴在区间上单调递减，
若，则，即，
若，则，即，
∴在区间上单调递增，
∴的最小值为，
∴，∴，
∴成立；
③当时，若，则，即，
∴在区间上单调递增，
若，则，即，
若，则，即，
∴在区间上单调递减，
∴的最大值为，∴，∴，即
∴当，且时，不能恒成立，
综上所述，可知若具有Bernulli型关系，则，
∴非负实数的取值范围为.
22.（1）（为参数，）；
（2）
【详解】（1）由，，所以，
结合，，，
得，，化简得，，
所以的参数方程为（为参数，）.
（2）由（1）所得的参数方程，可设点，
因为在处的切线与直线：平行，
所以，化简得，
又，所以，所以，
所以，，则，所以点的极坐标为.
23.（1）3 （2）7
【详解】（1）由题设可得，
当时，，当时，，
故的最小值为3.
（2）因为时，，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
当时，有恒成立，
故在上恒成立，因为，的图象为线段，
所以，故且.
当时，有在上恒成立，
所以在上恒成立，故，
所以且，
所以，故的最小值为7.
73.5
3.85