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安徽省合肥市第六中学2024届高三下学期最后一卷数学试卷（Word版附解析）
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这是一份安徽省合肥市第六中学2024届高三下学期最后一卷数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了已知函数，记，，，则，已知椭圆等内容，欢迎下载使用。
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集.集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知向量，，若当时，，当时，，则（ ）
A.，B.，
C.，D.，
4.已知函数，记，，，则（ ）
A.B.C.D.
5.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则可能是（ ）
A.B.C.1D.2
6.已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，，分别为，的离心率，则（ ）
A.B.
C.D.
7.已知等差数列的公差为，前项和为，，数列满足，则下列等式不可能成立的是（ ）
A.B.C.D.
8.已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.近年来，合肥汽车产业处在高速发展阶段，新能源赛道尤为突出，被工业和信息化部批准为全国唯一新能源汽车产业链供应链生态体系建设试点市.某专业机构评定新能源汽车品质优秀的一个指标为“某地区连续14天每天发生故障的车辆不超过7台”.根据该地区过去14天甲、乙、丙、丁四种品牌新能源车辆故障数据，可知一定符合该品质优秀指标的是（ ）
A.甲品牌：平均数为4，极差为4B.乙品牌：平均数为1，标准差大于0
C.丙品牌：平均数为2，方差为2D.丁品牌：中位数为2，众数为3
10.已知指数函数，，的底数分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，函数无极值点
B.在指数衰减模型中，设原有量为，经过次衰减，该量衰减到，则每次衰减率为
C.若a，b，c是三角形的三边长，则，使得，，不能构成一个三角形的三边长
D.若a，b，c是三角形的三边长，且所对的内角是该三角形的最大内角，则，
11.记正四棱柱为，截面将正四棱柱分成两部分，点E，F，G，H分别在棱，，，上，且，，记，，，，则下列说法正确的是（ ）
A.四边形为矩形
B.
C.若截面是有一个角为的菱形，则截面与的底面夹角的正弦值为
D.若的侧棱长为3，设，，，则在确定的空间直角坐标系中，不同的点共42个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.从5男2女共7名志愿者中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法.（用数字作答）
13.已知四面体的体积是，棱的长是c，和的面积分别是和.设平面和平面的夹角为，若，则______.
14.在平面直角坐标系中，已知动点和，定点和，若，且的周长恒为16，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
某商场零食区改造.如图，原零食区是区域，改造时可利用部分为扇形区域，已知，米，米，区域为三角形，区域是以为半径的扇形，且.
（Ⅰ）若需在区域外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；
（Ⅱ）在区域中，设置矩形区域作为促销展示区，求促销展示区的面积的最大值.
16.（15分）
春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节.某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据：
（Ⅰ）完成列联表，并依据的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响.
（Ⅱ）后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为，且的因发烧请假的男生需要输液治疗，的因发烧请假的女生需要输液治疗.学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率.
附：.
17.（15分）
图1为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该接收器的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，以顶点为坐标原点，以直线为轴建立如图2所示的平而直角坐标系.
图1图2
（Ⅰ）求该抛物线的方程；
（Ⅱ）设是该抛物线的准线与轴的交点，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程.
18.（17分）
如图所示，在长方体中，，，为棱的中点.
（Ⅰ）若是线段上的动点，试探究：是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由.
（Ⅱ）过作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围.
19.（17分）
已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，为函数的两个零点，求证：.
因发烧请假
非发烧请假
合计
流感暴发前
10
30
流感暴发后
30
合计
70
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
合肥六中2024届高三最后一卷
数学·答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.答案：A
解析：：由题意得，所以.
2.答案：D
解析：设，则由已知得，由实部、虚部分别相等解得，.
3.答案：C
解析：当时，与方向相同，得；当时，，得.
4.答案：B
解析：在区间上单调递增，在区间上单调递减，且的图象关于直线对称，又，所以，
又，故.
5.答案：C
解析：由已知得，.设的外接圆圆心为，则动点的轨迹为优弧（不包括、点）.设，则是关于的函数，且是增函数，
当，即B，O，M三点共线时，最大，此时，
当时，，即，所以的取值范围为.
6.答案：B
解析：由已知得，.
由，得，又，当，时，，
当，时，.
7.答案：D
解析：若，则或，与已知矛盾，另外可得也是等差数列，经验证知选项A，B，C能成立.
8.答案：C
解析：当点在第一象限时，圆，的方程为的形式，代入点的坐标，可得关于的方程，圆，的半径，是该方程的两个不同实根，所以.同理，当点在第二、三、四象限时也可得.
当点在轴上时，，此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在点处相切，且，满足.同理，当点在轴上时，，同样满足.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.答案：AC
解析：选项A正确，若最大数不小于8，则最小数不小于4，平均数大于4，与已知矛盾.符合条件的例子：1个2，1个6，其余数均为4.
选项B错误，反例：1个6，1个8，其余数均为0.
选项C正确，若有一个数据不小于8，则，与方差为2矛盾.符合条件的例子:0，0，0，1，1，2，2，2，2，3，3，4，4，4.
选项D错误，反例：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，3，9.
10.答案：BCD
解析：选项A错误，当时，函数为偶函数，当时，求导可得函数在上单调递减，在上单调递增，为其极小值点，同理当时，为其极小值点.
选项B正确，由相关概念可知.
选项C正确，，，，满足条件.
选项D正确，由已知得，，，，
设，则是减函数，又，
所以，，又，故，.
11.答案：BCD
解析：选项A错误，四边形为平行四边形.
选项B正确，设，，则，
所以，即.
选项C正确，计算可得.
选项D正确，由选项B知，，设，，
当时，的取值有2种可能，的取值有2种可能，所以点有个；
当时，的取值有3种可能，的取值有3种可能，所以点有个；
当时，点有个；当时，点有个；
当时，点有个，故不同的点共42个.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案：360
解析：.
13.答案：
解析：设三棱锥的高为，则，所以，设的边上的高为，
则，所以，所以，又，所以.
14.答案：
解析：由题意知，点在以为圆心，6为半径的圆上运动，点在以，为焦点，长轴长为10的椭圆上运动（长轴两端点除外）.为方便计算，可将，视为定点，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，以的中点为坐标原点，直线为轴建立如图的直角坐标系，设点和，则点的轨迹方程为，由图可知，当，，三点共线时（在，之间或，重合），等号成立.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解析：（Ⅰ）因为，，，
所以，，
则，，的长为，
所以广告带的总长度为（米）.
（Ⅱ）如图，连接.设.
因为，所以，，
因为，所以，所以，
所以
，
因为，所以，
当，即时取得最大值.
所以促销展示区的面积的最大值为平方米.
16.解析：（Ⅰ）零假设为：流感暴发与请假的同学中发烧的人数之间相互独立.
完成列联表如下所示.
根据列联表中的数据，经计算得
.
所以不成立，即可以认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响.
（Ⅱ）设A事件表示请假的同学为女生，B事件表示需要输液治疗，
则.
所以这名同学是女生的概率为.
17.解析：（Ⅰ）设抛物线的方程为.
因为，，所以点在抛物线上，
所以，故，所以抛物线的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.设直线：，，，，
由可得，
由，得，且，，.
由，可得，
整理得.
又，
所以点的轨迹方程为（且）.
18.解析：（Ⅰ）因为是的中点，所以，
所以，，，
因为，所以，又点在线段上，
所以向量在上的投影向量为，故，为定值.
（Ⅱ）设球心为，外接球半径为，最小截面圆的半径为.
由已知可得，则最大的截面面积为.
以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，.
取，，则，.
所以点到直线的距离为，
即点到过的截面的距离最大值为.
所以过的最小截面圆的半径，
因此最小的截面面积为，
综上，截面面积的取值范围是.
19.解析（I），.
当时，，则在上单调递增.
当时，令，得，解得.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ）设，则，，
所以，
所以，，
记，要证，
只需证，只需证，
只需证.
记，，则，
记，，
由（I）可知，取，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即，所以在上单调递增，
又，所以，所以成立.因发烧请假
非发烧请假
合计
流感暴发前
10
20
30
流感暴发后
30
10
40
合计
40
30
70
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集.集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知复数满足，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知向量，，若当时，，当时，，则（ ）
A.，B.，
C.，D.，
4.已知函数，记，，，则（ ）
A.B.C.D.
5.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则可能是（ ）
A.B.C.1D.2
6.已知椭圆：与双曲线：的焦点重合，，分别为，的离心率，则（ ）
A.B.
C.D.
7.已知等差数列的公差为，前项和为，，数列满足，则下列等式不可能成立的是（ ）
A.B.C.D.
8.已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.近年来，合肥汽车产业处在高速发展阶段，新能源赛道尤为突出，被工业和信息化部批准为全国唯一新能源汽车产业链供应链生态体系建设试点市.某专业机构评定新能源汽车品质优秀的一个指标为“某地区连续14天每天发生故障的车辆不超过7台”.根据该地区过去14天甲、乙、丙、丁四种品牌新能源车辆故障数据，可知一定符合该品质优秀指标的是（ ）
A.甲品牌：平均数为4，极差为4B.乙品牌：平均数为1，标准差大于0
C.丙品牌：平均数为2，方差为2D.丁品牌：中位数为2，众数为3
10.已知指数函数，，的底数分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A.当时，函数无极值点
B.在指数衰减模型中，设原有量为，经过次衰减，该量衰减到，则每次衰减率为
C.若a，b，c是三角形的三边长，则，使得，，不能构成一个三角形的三边长
D.若a，b，c是三角形的三边长，且所对的内角是该三角形的最大内角，则，
11.记正四棱柱为，截面将正四棱柱分成两部分，点E，F，G，H分别在棱，，，上，且，，记，，，，则下列说法正确的是（ ）
A.四边形为矩形
B.
C.若截面是有一个角为的菱形，则截面与的底面夹角的正弦值为
D.若的侧棱长为3，设，，，则在确定的空间直角坐标系中，不同的点共42个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.从5男2女共7名志愿者中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法.（用数字作答）
13.已知四面体的体积是，棱的长是c，和的面积分别是和.设平面和平面的夹角为，若，则______.
14.在平面直角坐标系中，已知动点和，定点和，若，且的周长恒为16，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
某商场零食区改造.如图，原零食区是区域，改造时可利用部分为扇形区域，已知，米，米，区域为三角形，区域是以为半径的扇形，且.
（Ⅰ）若需在区域外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；
（Ⅱ）在区域中，设置矩形区域作为促销展示区，求促销展示区的面积的最大值.
16.（15分）
春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节.某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据：
（Ⅰ）完成列联表，并依据的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响.
（Ⅱ）后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为，且的因发烧请假的男生需要输液治疗，的因发烧请假的女生需要输液治疗.学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率.
附：.
17.（15分）
图1为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该接收器的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，以顶点为坐标原点，以直线为轴建立如图2所示的平而直角坐标系.
图1图2
（Ⅰ）求该抛物线的方程；
（Ⅱ）设是该抛物线的准线与轴的交点，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程.
18.（17分）
如图所示，在长方体中，，，为棱的中点.
（Ⅰ）若是线段上的动点，试探究：是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由.
（Ⅱ）过作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围.
19.（17分）
已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，为函数的两个零点，求证：.
因发烧请假
非发烧请假
合计
流感暴发前
10
30
流感暴发后
30
合计
70
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
合肥六中2024届高三最后一卷
数学·答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.答案：A
解析：：由题意得，所以.
2.答案：D
解析：设，则由已知得，由实部、虚部分别相等解得，.
3.答案：C
解析：当时，与方向相同，得；当时，，得.
4.答案：B
解析：在区间上单调递增，在区间上单调递减，且的图象关于直线对称，又，所以，
又，故.
5.答案：C
解析：由已知得，.设的外接圆圆心为，则动点的轨迹为优弧（不包括、点）.设，则是关于的函数，且是增函数，
当，即B，O，M三点共线时，最大，此时，
当时，，即，所以的取值范围为.
6.答案：B
解析：由已知得，.
由，得，又，当，时，，
当，时，.
7.答案：D
解析：若，则或，与已知矛盾，另外可得也是等差数列，经验证知选项A，B，C能成立.
8.答案：C
解析：当点在第一象限时，圆，的方程为的形式，代入点的坐标，可得关于的方程，圆，的半径，是该方程的两个不同实根，所以.同理，当点在第二、三、四象限时也可得.
当点在轴上时，，此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在点处相切，且，满足.同理，当点在轴上时，，同样满足.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.答案：AC
解析：选项A正确，若最大数不小于8，则最小数不小于4，平均数大于4，与已知矛盾.符合条件的例子：1个2，1个6，其余数均为4.
选项B错误，反例：1个6，1个8，其余数均为0.
选项C正确，若有一个数据不小于8，则，与方差为2矛盾.符合条件的例子:0，0，0，1，1，2，2，2，2，3，3，4，4，4.
选项D错误，反例：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，3，9.
10.答案：BCD
解析：选项A错误，当时，函数为偶函数，当时，求导可得函数在上单调递减，在上单调递增，为其极小值点，同理当时，为其极小值点.
选项B正确，由相关概念可知.
选项C正确，，，，满足条件.
选项D正确，由已知得，，，，
设，则是减函数，又，
所以，，又，故，.
11.答案：BCD
解析：选项A错误，四边形为平行四边形.
选项B正确，设，，则，
所以，即.
选项C正确，计算可得.
选项D正确，由选项B知，，设，，
当时，的取值有2种可能，的取值有2种可能，所以点有个；
当时，的取值有3种可能，的取值有3种可能，所以点有个；
当时，点有个；当时，点有个；
当时，点有个，故不同的点共42个.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案：360
解析：.
13.答案：
解析：设三棱锥的高为，则，所以，设的边上的高为，
则，所以，所以，又，所以.
14.答案：
解析：由题意知，点在以为圆心，6为半径的圆上运动，点在以，为焦点，长轴长为10的椭圆上运动（长轴两端点除外）.为方便计算，可将，视为定点，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，以的中点为坐标原点，直线为轴建立如图的直角坐标系，设点和，则点的轨迹方程为，由图可知，当，，三点共线时（在，之间或，重合），等号成立.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解析：（Ⅰ）因为，，，
所以，，
则，，的长为，
所以广告带的总长度为（米）.
（Ⅱ）如图，连接.设.
因为，所以，，
因为，所以，所以，
所以
，
因为，所以，
当，即时取得最大值.
所以促销展示区的面积的最大值为平方米.
16.解析：（Ⅰ）零假设为：流感暴发与请假的同学中发烧的人数之间相互独立.
完成列联表如下所示.
根据列联表中的数据，经计算得
.
所以不成立，即可以认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响.
（Ⅱ）设A事件表示请假的同学为女生，B事件表示需要输液治疗，
则.
所以这名同学是女生的概率为.
17.解析：（Ⅰ）设抛物线的方程为.
因为，，所以点在抛物线上，
所以，故，所以抛物线的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.设直线：，，，，
由可得，
由，得，且，，.
由，可得，
整理得.
又，
所以点的轨迹方程为（且）.
18.解析：（Ⅰ）因为是的中点，所以，
所以，，，
因为，所以，又点在线段上，
所以向量在上的投影向量为，故，为定值.
（Ⅱ）设球心为，外接球半径为，最小截面圆的半径为.
由已知可得，则最大的截面面积为.
以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，.
取，，则，.
所以点到直线的距离为，
即点到过的截面的距离最大值为.
所以过的最小截面圆的半径，
因此最小的截面面积为，
综上，截面面积的取值范围是.
19.解析（I），.
当时，，则在上单调递增.
当时，令，得，解得.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ）设，则，，
所以，
所以，，
记，要证，
只需证，只需证，
只需证.
记，，则，
记，，
由（I）可知，取，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即，所以在上单调递增，
又，所以，所以成立.因发烧请假
非发烧请假
合计
流感暴发前
10
20
30
流感暴发后
30
10
40
合计
40
30
70
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