天津市北辰区2023-2024学年高二下学期期中数学试卷

这是一份天津市北辰区2023-2024学年高二下学期期中数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题.，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列函数的求导正确的是（ ）
A．（x﹣2）′＝﹣2x
B．（xcsx）′＝csx+xsinx
C．（ln10）′＝
D．（2ex）′＝2ex
2．（4分）已知P（AB）＝，P（A）＝，那么P（B|A）等于（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）如果记录了x，y的几组数据分别为（0，1），（1，3），（2，5），（3，7），（4，9），那么y关于x的经验回归直线必过点（ ）
A．（2，5）B．（1.5，2）C．（1，2）D．（1.5，4）
4．（4分）若5名学生报名参加数学、物理、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A．45种B．54种C．4×3×2种D．5×4×3×2种
5．（4分）在的二项展开式中，x的系数为（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）设随机变量X～N（2，σ2），P（0＜X＜4）＝0.4，则P（X＞0）＝（ ）
A．0.25B．0.35C．0.3D．0.7
7．（4分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，下列结论正确的是（ ）
A．y＝f（x）在x＝﹣1处取得极大值
B．x＝1是函数y＝f（x）的极值点
C．x＝﹣2是函数y＝f（x）的极小值点
D．函数y＝f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减
8．（4分）若函数f（x）＝x2+alnx﹣x+1（a∈R）在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．D．
9．（4分）从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24B．27C．30D．36
二、填空题．（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在答题卡上）
10．（4分）＝ ．
11．（4分）已知f（x）＝2xlnx﹣f'（1）x，则f（1）＝ ．
12．（4分）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占50%，乙厂产品占50%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为80%，若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为 ．
13．（4分）质点M按规律s（t）＝（t﹣1）2做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝5s时的瞬时速度为 m/s．
14．（4分）甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为 ；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为 ．
15．（4分）已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f'（x）是f（x）的导函数，f（1）≠0，且满足f'（x）lnx+＜0，则不等式（x﹣2）f（x）＜0的解集为 ．
三、解答题．（本大题共5个小题，共60分）
16．（12分）已知二项式（2x﹣1）n展开式中，前二项的二项式系数和是11．
（1）求n的值；
（2）求其二项式系数之和与各项系数之和的差；
（3）设（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，求a1+a3+a5+a7+a9的值．
17．（12分）已知箱中装有2个白球，2个红球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，
（1）求取出的三个球的颜色互不相同的概率；
（2）记随机变量X为取出3球中白球的个数，求X的分布列及期望．
18．（12分）已知函数．
（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）在x＝﹣1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及f（x）在[﹣2，2]的最大值与最小值．
19．（12分）在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制．根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是．
（Ⅰ）求中国队以3：0的比分获胜的概率；
（Ⅱ）求中国队在先失1局的前提下获胜的概率；
（Ⅲ）假设全场比赛的局数为随机变量X，在韩国队先胜第一局的前提下，求X的分布列和数学期望E（X）．
20．（12分）设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）
（1）若f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为，求a的值；
（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；
（3）若g（x）＝ax﹣ex，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）．
参考答案与试题解析
一、选择题.（本大题共9个小题，每小题4分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是正确的，请把它选出并填在答题卡上）
1．（4分）下列函数的求导正确的是（ ）
A．（x﹣2）′＝﹣2x
B．（xcsx）′＝csx+xsinx
C．（ln10）′＝
D．（2ex）′＝2ex
【分析】根据基本初等函数和积的导数的求导公式逐项求导即可．
【解答】解：（x﹣2）′＝﹣2x﹣3，（xcsx）′＝csx﹣xsinx，（ln10）′＝0，（2ex）′＝2ex．
故选：D．
【点评】本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，是基础题．
2．（4分）已知P（AB）＝，P（A）＝，那么P（B|A）等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用条件概率公式直接求解．
【解答】解：∵P（AB）＝，P（A）＝，
∴P（B|A）＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（4分）如果记录了x，y的几组数据分别为（0，1），（1，3），（2，5），（3，7），（4，9），那么y关于x的经验回归直线必过点（ ）
A．（2，5）B．（1.5，2）C．（1，2）D．（1.5，4）
【分析】利用经验回归直线必过样本中心点（，）求解．
【解答】解：由题意可知，＝＝2，＝＝5，
所以y关于x的经验回归直线必过点（2，5）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了经验回归直线的性质，属于基础题．
4．（4分）若5名学生报名参加数学、物理、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A．45种B．54种C．4×3×2种D．5×4×3×2种
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．
【解答】解：若5名学生报名参加数学、物理、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，
则不同的报名方式有4×4×4×4×4＝45．
故选：A．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题．
5．（4分）在的二项展开式中，x的系数为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用二项式的展开式及组合数的应用求出结果．
【解答】解：根据的展开式（r＝0，1，2，3，4，5，6）；
当r＝2时，x的系数为＝．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6．（4分）设随机变量X～N（2，σ2），P（0＜X＜4）＝0.4，则P（X＞0）＝（ ）
A．0.25B．0.35C．0.3D．0.7
【分析】利用正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：∵随机变量X～N（2，σ2），且P（0＜X＜4）＝0.4，
∴P（2＜X＜4）＝P（0＜X＜4）＝0.2，
∴P（X≥4）＝0.5﹣P（2＜X＜4）＝0.3，
∴P（X＞0）＝P（0＜X＜4）+P（X≥4）＝0.4+0.3＝0.7．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
7．（4分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，下列结论正确的是（ ）
A．y＝f（x）在x＝﹣1处取得极大值
B．x＝1是函数y＝f（x）的极值点
C．x＝﹣2是函数y＝f（x）的极小值点
D．函数y＝f（x）在区间（﹣1，1）上单调递减
【分析】由题意，根据导函数的正负即可求解y＝f（x）的单调性，结合选项进行逐一分析即可．
【解答】解：由图象知：当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x≥﹣2时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
所以当x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，无极大值，故选项C正确，选项A，B错误，
又函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和数形结合．
8．（4分）若函数f（x）＝x2+alnx﹣x+1（a∈R）在上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[0，+∞）B．（0，+∞）C．D．
【分析】由已知结合导数与单调性关系进行转化，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：因为函数f（x）＝x2+alnx﹣x+1在上单调递增，
所以≥0在上恒成立，
所以a≥﹣2x2+x在上恒成立，
根据二次函数的性质可知，当x时，﹣2x2+x≤0，
故a≥0．
故选：A．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的转化，属于中档题．
9．（4分）从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24B．27C．30D．36
【分析】根据题意，可分两类，有0时，和无0时，根据分类计数原理可得．
【解答】解：第一类，从0，2，4中选一个数字，选为0，则0只能排在十位，故有＝6，
第二类，从0，2，4中选一个数字，不选0，先排个位，再排其它，故有＝24，
故有6+24＝30个，
故选：C．
【点评】本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．
二、填空题．（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在答题卡上）
10．（4分）＝ ．
【分析】利用组合数公式和排列数公式求解．
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了组合数公式和排列数公式，属于基础题．
11．（4分）已知f（x）＝2xlnx﹣f'（1）x，则f（1）＝ ﹣1 ．
【分析】求出导函数f′（x），然后即可求出f′（1）的值，进而得出f（1）的值．
【解答】解：f′（x）＝2lnx+2﹣f′（1），
∴f′（1）＝2﹣f′（1），解得f′（1）＝1，
∴f（1）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，积的导数的求导公式，是基础题．
12．（4分）假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占50%，乙厂产品占50%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为80%，若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为 0.85 ．
【分析】利用全概率公式求解．
【解答】解：由题意可知，这个灯泡是合格品的概率为50%×90%+50%×80%＝0.85．
故答案为：0.85．
【点评】本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
13．（4分）质点M按规律s（t）＝（t﹣1）2做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝5s时的瞬时速度为 8 m/s．
【分析】先对函数求导，然后结合函数瞬时变化率的定义即可求解．
【解答】解：因为s′（t）＝2t﹣2，
则质点M在t＝5s时的瞬时速度为2×5﹣2＝8m/s．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了瞬时变化率的定义的应用，属于基础题．
14．（4分）甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为 2 ；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为 ．
【分析】利用二项分布的期望公式，以及独立事件的概率乘法公式求解．
【解答】解：设甲射击3次，击中目标次数为X，则X～B（3，），
则E（X）＝3×＝2，
甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为1﹣（1﹣）2×（1﹣）2＝．
故答案为：2；．
【点评】本题主要考查了二项分布的期望公式，考查了独立事件的概率公式，属于基础题．
15．（4分）已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f'（x）是f（x）的导函数，f（1）≠0，且满足f'（x）lnx+＜0，则不等式（x﹣2）f（x）＜0的解集为 （﹣∞，0）∪（2，+∞） ．
【分析】由已知结合导数与单调性及函数的奇偶性即可求解不等式．
【解答】解：∵f'（x）lnx+＜0，
∴f′（x）lnx＜0，
∴g（x）＝f（x）lnx在（0，+∞）上为减函数，而g（1）＝0，
∴在（0，1）上lnx＜0，g（x）＞0；在（1，+∞）上lnx＞0，g（x）＜0，而f（1）≠0，
∴在（0，+∞）上，f（x）＜0，又函数f（x）为奇函数，
∴在（﹣∞，0）上f（x）＞0，
不等式（x﹣2）f（x）＜0等价于或，
解得，x＜0或x＞2，
∴x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
三、解答题．（本大题共5个小题，共60分）
16．（12分）已知二项式（2x﹣1）n展开式中，前二项的二项式系数和是11．
（1）求n的值；
（2）求其二项式系数之和与各项系数之和的差；
（3）设（2x﹣1）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，求a1+a3+a5+a7+a9的值．
【分析】（1）直接利用组合数的应用求出结果；
（2）利用赋值法求出二项式和与系数的和；
（3）利用赋值法的应用建立方程组，进一步求出结果．
【解答】解：（1）二项式（2x﹣1）n展开式中，前二项的二项式系数和是11，
所以，所以1+n＝11，
解得：n＝10．
（2）二项式系数之和为210＝1024，
令x＝1，可得各项系数之和为（2﹣1）10＝1，
所以二项式系数之和与各项系数之和的差为1024﹣1＝1023，
（3）设f（x）＝（2x﹣1）10，则f（1）＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝1，①，
所以，②，
①﹣②得：．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，二项式的系数和，系数的和的求法，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17．（12分）已知箱中装有2个白球，2个红球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，
（1）求取出的三个球的颜色互不相同的概率；
（2）记随机变量X为取出3球中白球的个数，求X的分布列及期望．
【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；
（2）由题意可知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望公式求解即可．
【解答】解：（1）设取出的三个球的颜色互不相同的事件为M，
则；
（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为：
所以E（X）＝0×＝0＝．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
18．（12分）已知函数．
（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）在x＝﹣1处取得极值，求f（x）的单调区间，以及f（x）在[﹣2，2]的最大值与最小值．
【分析】（1）结合导数的几何意义，即可求解；
（2）对f（x）求导，利用极值的定义，推得f'（x）＝0，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．
【解答】解：（1）．
当a＝0时，，
则，，又，
所以切线方程为，即x+4y﹣1＝0；
（2）．
则，
f（x）在x＝﹣1处取得极值，
则，解得a＝4，
所以，，
当x＜﹣1或x＞4时，f'（x）＞0，当﹣1＜x＜4时，f'（x）＜0，
所以f（x）的增区间是（﹣∞，﹣1），（4，+∞），减区间是（﹣1，4），
故a＝4满足题意，
当x∈[﹣2，3]时，f（x）在[﹣2，﹣1）上递增，
在（﹣1，3）上递减，f（﹣1）＝1，又，，
所以f（x）在[﹣2，2]上最大值是1，最小值是．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
19．（12分）在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制．根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是．
（Ⅰ）求中国队以3：0的比分获胜的概率；
（Ⅱ）求中国队在先失1局的前提下获胜的概率；
（Ⅲ）假设全场比赛的局数为随机变量X，在韩国队先胜第一局的前提下，求X的分布列和数学期望E（X）．
【分析】（Ⅰ）根据相互独立事件乘法公式列式计算即可；
（Ⅱ）根据相互独立事件乘法公式列式计算即可；
（Ⅲ）求得X的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）中国队以3：0的比分获胜的概率为（）3＝．
（Ⅱ）中国队在先失1局的前提下获胜有2种情况，
①中国队连赢3局：（）3＝；
②中国队在2﹣4局中赢2局，再赢第5局：＝，
∴中国队在先失1局的前提下获胜的概率为．
（Ⅲ）X的可能取值为3，4，5，
P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝，
P（X＝5）＝＝，
∴X的分布列为：
E（X）＝3×＝．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
20．（12分）设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）
（1）若f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为，求a的值；
（2）当a＞0时，求f（x）的单调区间；
（3）若g（x）＝ax﹣ex，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）．
【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，解方程即可得到所求值；
（2）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（3）当x＞0时，要证f（x）﹣ax+ex＞0，即证ex﹣lnx﹣2＞0，令h（x）＝ex﹣lnx﹣2（x＞0），只需证h（x）＞0，求得h（x）的导数，判断单调性，求得h（x）的单调性，可得最小值，证明大于0即可．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx的导数为f′（x）＝a﹣，
若f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为，
，
得．
（2）由，
当a＞0时，令f'（x）＝0解得：，
当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0．
则f（x）在上是单调减函数，在上是单调增函数，
所以，当a＞0时，f（x）的单调减区间为，单调增区间为；
（3）证明：当x＞0时，要证f（x）﹣ax+ex＞0，即证ex﹣lnx﹣2＞0，
令h（x）＝ex﹣lnx﹣2（x＞0），只需证h（x）＞0
∵，
由指数函数及幕函数的性质知：在（0，+∞）上是增函数，
又，
∴，
h'（x）在内存在唯一的零点，也即h'（x）在（0，+∞）上有唯一零点．
设h'（x）的零点为t，则，即，
由h'（x）的单调性知：
当x∈（0，t）时，h'（x）＜h'（t）＝0，h（x）为减函数，
当x∈（t，+∞）时，h'（x）＞h'（t）＝0，h（x）为增函数，
所以当x＞0时，h（x）≥h（t）＝et﹣lnt﹣2＝﹣ln﹣2＝+t﹣2≥2﹣2＝0，
又，等号不成立，
∴h（x）＞0．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查构造法和化简整理的运算能力，属于难题．
X
0
1
2
P
X
3
4
5
P