2024年广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学中考三模数学试题（含解析）

这是一份2024年广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学中考三模数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分100分．考试时间90分钟．
第一部分 选择题
一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用2B铅笔填涂在答题卡上）
1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票，根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．a，b，c是三个连续的正偶数，以b为边长的正方形面积的为，分别以a，c为长和宽的长方形的面积为，则与的数量关系是（ ）
A．B．C．D．
6．“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表”示意图如图所示，，米，测得某地夏至正午时“表”的影长米，冬至时的正午太阳高度角，则夏至到冬至，影长差的长为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
7．探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．①~③是其作图过程：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点A为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D；③连接，则四边形即为所求作的图形．在小明的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
8．下列命题中，真命题的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直
B．一个正数的算术平方根一定比这个数小
C．点关于x轴的对称点坐标是
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
9．深外为了纪念党的生日，计划组织540名学生去外地参观学习，现有爱国，求知两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆求知型客车比每辆爱国型客车多坐15人，单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆，设爱国型客车每辆坐人，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图（1），点P为菱形对角线上一动点，点E为边上一定点，连接，，．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，的面积y随的长度x变化的关系图象（当点P在上时，令），则菱形的边长为（ ）
A．5B．6C．D．
第二部分 非选择题二、填空题（本题有5小题，每题3分，共15分，把答案填在答题卡上）
11．废旧电池含有少量重金属，随意丢弃会污染环境有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池，大约会污染水．数据用科学记数法可表示 ．
12．实现中国梦，必须弘扬中国精神．在如图所示除正面图案不同外，其余无差别的四张不透明卡片上分别写有“红船精神”、“长征精神”、“延安精神”、“特区精神”，将卡片置于暗箱摇匀后随机抽取一张，则所抽取卡片为“特区精神”的概率为 ．
13．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是 ．
14．在平面直角坐标系中，P是双曲线上的一点，点P绕着原点O顺时针旋转的对应点落在直线上，则代数式的值是 ．
15．已知等腰中，，，点D是边的中点，沿翻折，使点A落在同一平面的点E处，若，则 ．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．计算：．
17．已知，．
(1)化简A；
(2)若a是方程的一个根，求A的值．
18．党的二十大报告提出：传承中华优秀传统文化，满足人民日益增长的精神文化需求．经开区某校积极开展活动，从诗词歌赋、戏剧戏曲、国宝非遗、饮食文化、名人书法五个方面让传统文化“活”起来，在某次竞赛活动中，学校随机抽取部分学生进行知识竞赛，竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：，B：，C：，D：，E：，并绘制出如图的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)图1中A组所在扇形的圆心角度数为________，并将条形统计图补充完整．
(2)若“”这一组的数据为：，，，，，96，，95，，．求这组数据的众数为________，中位数为________．
(3)若此次竞赛进入初赛后还要进行三轮知识问答，将这三轮知识问答的成绩按的比例确定最后得分，得分达到90分及以上可进入决赛，小敏这三轮的成绩分别为85，90，94，问小敏能参加决赛吗？请说明你的理由．
19．人工智能与实体经济融合能够引领产业转型，提升人们生活品质．某科创公司计划投入一笔资金购进、两种型号的芯片．已知购进2片型芯片和1片型芯片共需900元，购进1片型芯片和3片型芯片共需950元．
(1)求购进1片型芯片和1片型芯片各需多少元？
(2)若该科创公司计划购进、两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？
20．如图，为直径，C、D为上不同于A，B的两点，连接，过点C作，垂足为E，直线与相交于F点．

(1)下列条件：①；②；③点B是弧的中点．请从中选择一个能证明直线是的切线的条件，并写出证明过程；
(2)若直线是的切线，当，时，求的长．
21．【项目式学习】
项目主题：数学眼光仪式设计
项目背景：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名．学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协助彩旗队进行队列设计．
任务一 测量建模
（1）如图1，研习小组测得表演场地宽度米，在A、B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米．以线段所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围）
任务二 方案设计
（2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持3.6米．为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列队员所持彩旗顶端与水柱间的铅直距离为0.4米，彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距．
任务三 创意设计
（3）为使下一次“过水门”的设计更具创意，研习小组通过进一步分析发现：两个喷头同时向后移动相同的距离m米，此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，在喷头底端的同一直线上各安装一台射灯，射灯射出的光线与地面的夹角为且相交于一点．若光线与水柱之间的最小距离为米，此时右侧射灯与右侧喷头底端的水平距离为n米，则m的值为______，n的值为______．
22．综合探究
【问题思考】
（1）如图1，已知正方形，M，N分别是边上一点，连接，且，若延长到P，使得，连接．运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段之间的数量关系是______；
【探究应用】
（2）如图2，正方形的边长为5，点E是射线上一动点（不与点B重合），连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点H，连接．
①当点E在上时，若是等腰三角形，求此时的长．
②当点E在的延长线上时，若，请直接写出线段的长．
1．C
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．B
【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数、方差的意义．
根据众数的实际意义求解即可．
【详解】解：班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是众数，
故选：B．
3．C
【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理．
【详解】解：A. ，原运算错误，本选项不合题意；
B. ，原运算错误，本选项不合题意；
C. ，符合运算法则，本选项符合题意；
D. ，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查了平行线、角平分线、余角的知识；
过点B作，根据余角性质计算得；根据平行线性质，即可得的度数．
【详解】如图，过点B作，

∵，
∴
∴
∵与平行，
∴，
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查了平方差公式，整式的运算等知识点，根据a，b，c是三个连续的正偶数，可设，则，，进而求出，即可，解决本题的关键是用含b的式子表示a和c．
【详解】∵a，b，c是三个连续的正偶数，
∴可设，则，，
∴，，
∴，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；根据题意，利用正切函数求出的长，则影长差，即可求解．
【详解】解：在中，米，，
∵，
∴（米），
∴米，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．
根据作图步骤可知，得出，从而可以判断．
【详解】解：根据作图得，，
∴四边形为平行四边形，
判定四边形为平行四边形的条件是：两组对边分别相等，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了命题的真假以及矩形的性质、算术平方根、轴对称以及正方形性质，据此相关性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、矩形的对角线相等，故原说法是错误的，不符合题意；
B、1的算术平方根是1，故一个正数的算术平方根不一定比这个数小，故该选项是错误的，不符合题意；
C、点关于x轴的对称点坐标是，故该选项是正确的，符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法是错误的，不符合题意；
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了列分式方程，设爱国型客车每辆坐人，则求知型客车每辆坐人，根据“单独选择求知型客车比单独选择爱国型客车少租6辆”，进行列式，即可作答．
【详解】解：依题意，设爱国型客车每辆坐人，则求知型客车每辆坐人，
∴，
故选：A．
10．A
【分析】根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．
【详解】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时，
∴，
当时，此时点与点重合，即，连接，交于点，
则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的边长为；
故选A．
11．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
12．##0.25
【分析】本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
全部情况的总数是四种，符合条件的情况的是一种，二者的比值就是其发生的概率．
【详解】由于概率为所求情况数与总情况数之比，而抽取卡片为“特区精神”的情况数只有一种，从暗箱随机抽取一张的情况数为四种，
故抽取卡片为“特区精神”的概率为，
故答案为．
13．##
【分析】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有实数根时．
根据一元二次方程有实数根，可知，然后即可求得a的取值范围．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
14．
【分析】过点P作轴于点Q，过点作轴于点，由题意可得出，，．易证，即得出，，即可求出，进而得出，最后将所求式子通分变形为，再整体代入求值即可．
【详解】解：如图，过点P作轴于点Q，过点作轴于点，

∵，且在直线上，
∴，，，
∴．
由旋转的性质可知，，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴．
∵P是双曲线上的一点，
∴，即．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题为一次函数与反比例函数的综合题，考查函数图象上的点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，坐标与图形，代数式求值．画出大致图象并正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
15．
【分析】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
记的交点为F，设，，则，，，由翻折的性质可知，，，，证明，则，即，可得，则，由勾股定理得，，即，整理得，；，即，整理得，；得，，可求，则，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解，，进而可求的值．
【详解】解：如图，记的交点为F，设，，则，，，
由翻折的性质可知，，，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，即，整理得，；
，即，整理得，；
得，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，
故答案为：．
16．3
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，实数的混合运算，先进行开方，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值的计算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查异分母分式的减法运算，一元二次方程的解；
（1）通分，化成同分母，进行计算即可；
（2）把代入方程，得到，整体代入（1）中结果进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）∵a是方程的一个根，
∴，
∴．
18．(1)，见解析
(2)96，96
(3)小敏能参加决赛，见解析
【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，根据圆心角的计算方法，计算即可．
（2）利用中位数，众数的定义解答即可．
（3）利用加权平均数公式计算解答即可．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图数据相关联，求中位数、众数，以及加权平均数，解题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义，加权平均数的求法以及正确从统计图中获取需要的信息．
【详解】（1）∵(人)，
A组的百分比为：，
根据题意，得．
故答案为：．
B组的人数：(人)，补图如下：
．
（2）排序如下：，，，，， 96，，，，．
根据题意，得众数为96，中位数是．
故答案为：96，96．
（3）根据题意，得，
故小敏能参加决赛．
19．(1)购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元；
(2)该公司购买型芯片8万片，型芯片2万片所需资金最少,最少资金是万元
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确理解题意，找出数量关系是解题关键．
（1）设购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元，根据“购进2片型芯片和1片型芯片共需900元，购进1片型芯片和3片型芯片共需950元”列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进型芯片的数量为万片，则购进型芯片数量为万片，根据“购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍”列不等式，求出的取值范围，令购买芯片所需资金为，根据题意得到关于的一次函数，利用一次函数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：设购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元，
由题意得：，解得：，
答：购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元；
（2）解：设购进型芯片的数量为万片，则购进型芯片数量为万片，
由题意得：，
解得；，
令购买芯片所需资金为，
则，
，
随的增大而增大，
当时，最小，最小值为万元，
万片，
答：该公司购买型芯片8万片，型芯片2万片所需资金最少,最少资金是万元
20．(1)选择①，证明见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定方法，解直角三角形是解决问题的关键．
（1）连接，由圆周角定理结合已知得出，得出，由平行线的性质得出，即可证明为的切线；
（2）连接，，由圆周角定理得出，由，得出，由三角形内角和定理及，得出，利用解直角三角形求出．
【详解】（1）解：当时，直线是的切线，证明如下：
如图，连接，
，，
，
，
，
，
为的半径，
为的切线；
（2）解：如图，连接，，
为直径，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
21．（1），（2）彩旗队每相邻两列的间距为1.6米，（3）4，3
【分析】（1）根据题意取中点为O，建立直角坐标系，设函数表达式为，利用待定系数法求解即可；
（2）如图，分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线，，垂足为点，，分别交抛物线于点、，分别求出点、的坐标，即可求解．
（3）过T点作于点S，根据光线与水柱之间的最小距离为米，可得，设，，设直线的解析式为：，即有，可得直线的解析式为：；根据平移的性质可得右侧的抛物线的解析式为：，结合两水线新的交点相较于原交点C下降了1米，可得，即可得，右侧的抛物线的解析式为：，联立，得：，根据相切可得，可得，即直线的解析式为：，问题随之得解．
【详解】解：（1）由题可知，建立如图所示的平面直角坐标系，
设所求抛物线的函数表达式为，
由题可知，，，，，
点N的坐标为，点C的坐标为，
将、代入，
得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）如图，分别过最外侧队员彩旗顶端作x轴的垂线，，垂足为点，，分别交抛物线于点、，
由题意可知，（米），
点、的纵坐标均为4，
当时，，
解得，
点、的坐标分别为和，
最外侧两列彩旗队之间的距离为（米），
即（米），
答：彩旗队每相邻两列的间距为1.6米；
（3）如图，右侧射灯的光线所在直线用表示，交x轴于点Q，交y轴于点P，将直线向左平移至与右边抛物线相切，平移后的直线交x轴于点T，交y轴于点W，过T点作于点S，
即有，
∵光线与水柱之间的最小距离为米，
∴与之间的距离为，
∵，，
∴，
结合题意有：，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴结合，有是等腰直角三角形，
∴，
∴设，，
设直线的解析式为：，
即有，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵右侧的抛物线是由原抛物线向右平移m个单位所得，
∴右侧的抛物线的解析式为：，
∵两水线新的交点相较于原交点C下降了1米，
∴，
将代入，有，
解得：(负值舍去），即m的值为4；
∴右侧的抛物线的解析式为：，
联立，
得：，
∵直线与抛物线相切，
∴有两个相等的解，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，解得：，
∴，
∵，
∴，
∵平移之前，右侧喷头所在点N的坐标为，
∴向右平移4米之后，现在点N的坐标为，
∴此时点B的坐标为：，即，
∴右侧射灯与右侧喷头底端的水平距离为，
故答案为：，．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的平移，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的判定与性质等知识，根据光线与水柱之间的最小距离为米，可得，且通过相切得出方程的，是解答本题的关键．
22．（1）（2）①的长为或②
【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）①过点作，交的延长线于点，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质求得．设，则，，，再利用分类讨论的思想方法分三种情况推论解答：I．当时，，此种情况不存在；Ⅱ．当时，，则，点与点重合；Ⅲ．当时，．则，利用勾股定理解答即可；
②过点作，交的延长线于点，延长，交于点，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质和矩形的判定与性质得到，设，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】解：（1），之间的数量关系是：．理由：
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
即．
，
．
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：；
（2）①过点作，交的延长线于点，如图，
四边形和四边形为正方形，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
设，则，，．
．
Ⅰ．当时，，
．
，
．
此时，不合题意，舍去；
Ⅱ．当时，，
，
此时，点与点重合，
点与点重合，
；
Ⅲ．当时，．
则，
．
，
．
解得：
综上，若是等腰三角形，的长为或；
②过点作，交的延长线于点，延长，交于点，如图，
四边形和四边形为正方形，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形为矩形，
，，
同理：四边形为矩形，
．
，
．
设，则，
．
，
．
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，添加恰当的辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．