浙教版八年级数学下册专题2.1一元二次方程(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册专题2.1一元二次方程(知识解读)(原卷版+解析)，共12页。
1.掌握一元二次方程有关概念；
2.会把一元二次方程化成一般形式并确定各项及各项系数；
3.会用整体思想求解
【知识点梳理】
知识点1：一元二次方程的概念 ：
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
知识点2： 一元二次方程的一般形式：
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：
（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。

知识点3 ：一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
知识点4：一元二次方程的重要结论：
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
【典例分析】
【考点 1：一元二次方程的概念】
【典例1】（2023秋•惠城区校级期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．y2+x﹣5＝0B．ax2+bx+c＝0C．D．x2+1＝0
【变式1-1】（2023秋•宁强县期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．+x﹣1＝0B．3x+1＝5x+42C．ax2+bx+c＝0D．m2﹣2m+1＝0
【变式1-2】（2023秋•深圳期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+1＝0B．2x＞2C．D．x2+1＝5
【典例2】（2023秋•襄州区期末）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a＞1B．a＝1C．a≠1D．a≥0
【变式2-1】（2023春•福山区期末）方程（a+3）x+ax+2＝0为一元二次方程，字母a的取值为（ ）
A．±3B．3C．﹣3D．0
【变式2-2】（2023秋•盐池县校级期中）若关于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1B．a＝1C．a≥1D．a≠0
【考点 2： 一元二次方程的一般形式】
【典例3-1】（2023秋•龙胜县期中）方程x2＝3（2x﹣1）的一般形式（ ）
A．x2+6x﹣3＝0B．x2+6x﹣1＝0C．x2﹣6x+1＝0D．x2﹣6x+3＝0
【典例3-2】（2023秋•荆州月考）把方程x2+2x＝3（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．1，﹣1，﹣6B．1，﹣1，6C．1，5，6D．1，5，﹣6
【变式3-1】（2023秋•禹州市期中）将一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化成一般形式，正确的是（ ）
A．2x2﹣7x﹣8＝0B．2x2﹣5x﹣8＝0C．2x2﹣7x+2＝0D．2x2﹣5x+2＝0
【变式3-2】（2023秋•川汇区期中）把方程x2＝2（x﹣3）化成一般式x2+mx+n＝0，则正确的是（ ）
m＝2，n＝6 B．m＝2，n＝﹣6
C．m＝﹣2，n＝6 D．m＝﹣2，n＝﹣6
【典例4】（2023秋•惠东县期中）把一元二次方程4x2+5x＝81化为一般形式后，二次项系数为4，则一次项系数及常数项分别为（ ）
A．5，81B．5x，81C．5，﹣81D．﹣5x，﹣81
【变式4-1】（2023秋•龙江县期末）一元二次方程3（x2﹣3）＝5x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．3，﹣5；9B．3，﹣5，﹣9C．3，5，9D．3，5，﹣9
【变式4-2】（2023秋•修水县期中）一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的一次项系数为（ ）
A．﹣6B．﹣1C．1D．6
【考点 3：一元二次方程的解】
【典例5】（2023秋•宜宾期末）一元二次方程x2+mx＝2的一个根为2，则m的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【变式5-1】（2023秋•龙江县期末）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【变式5-2】（2023•南京模拟）一元二次方程（x﹣1）2+k﹣3＝0的一个根是x＝1，则k＝（ ）
A．3B．2C．﹣3D．﹣2
【典例6】（2023秋•金湖县期末）若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则a2+2a﹣8的值为（ ）
A．2B．4C．﹣4D．﹣12
【变式6-1】（2023秋•龙沙区期末）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【变式6-2】（2023秋•天河区校级期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
专题2.1 一元二次方程（知识解读）
【学习目标】
1.掌握一元二次方程有关概念；
2.会把一元二次方程化成一般形式并确定各项及各项系数；
3.会用整体思想求解
【知识点梳理】
知识点1：一元二次方程的概念 ：
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
知识点2： 一元二次方程的一般形式：
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
注意：
（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。

知识点3 ：一元二次方程的解：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
知识点4：一元二次方程的重要结论：
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
【典例分析】
【考点 1：一元二次方程的概念】
【典例1】（2023秋•惠城区校级期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．y2+x﹣5＝0B．ax2+bx+c＝0C．D．x2+1＝0
答案:D
【解答】解：A、y2+x﹣5＝0，是二元二次方程，故A不符合题意；
B、ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），是一元二次方程，故B不符合题意；
C、x2+＝1，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D、x2+1＝0，是一元二次方程，故D符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（2023秋•宁强县期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．+x﹣1＝0B．3x+1＝5x+42C．ax2+bx+c＝0D．m2﹣2m+1＝0
答案:D
【解答】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式1-2】（2023秋•深圳期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+1＝0B．2x＞2C．D．x2+1＝5
答案:D
【解答】解：A．方程x+1＝0是一元一次方程，选项A不符合题意；
B.2x＞2是一元一次不等式，选项B不符合题意；
C．方程＝4是分式方程，选项C不符合题意；
D．方程x2+1＝5是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
【典例2】（2023秋•襄州区期末）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a＞1B．a＝1C．a≠1D．a≥0
答案:C
【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：C．
【变式2-1】（2023春•福山区期末）方程（a+3）x+ax+2＝0为一元二次方程，字母a的取值为（ ）
A．±3B．3C．﹣3D．0
答案:B
【解答】解：∵方程（a+3）x+ax+2＝0为一元二次方程，
∴a2﹣7＝2，且a+3≠0．
解得a＝3．
故选：B．
【变式2-2】（2023秋•盐池县校级期中）若关于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1B．a＝1C．a≥1D．a≠0
答案:A
【解答】解：由题意，得a﹣1≠0，
解得a≠1．
故选：A．
【考点 2： 一元二次方程的一般形式】
【典例3-1】（2023秋•龙胜县期中）方程x2＝3（2x﹣1）的一般形式（ ）
A．x2+6x﹣3＝0B．x2+6x﹣1＝0C．x2﹣6x+1＝0D．x2﹣6x+3＝0
答案:D
【解答】解：将方程x2＝3（2x﹣1）转化为一般形式得x2﹣6x+3＝0．
故选：D．
【典例3-2】（2023秋•荆州月考）把方程x2+2x＝3（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．1，﹣1，﹣6B．1，﹣1，6C．1，5，6D．1，5，﹣6
答案:B
【解答】解：将原方程转化为一般形式为x2﹣x+6＝0，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝6．
故选：B．
【变式3-1】（2023秋•禹州市期中）将一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化成一般形式，正确的是（ ）
A．2x2﹣7x﹣8＝0B．2x2﹣5x﹣8＝0C．2x2﹣7x+2＝0D．2x2﹣5x+2＝0
答案:B
【解答】解：将一元二次方程（2x+1）（x﹣3）＝5化成一般形式得2x2﹣5x+8＝0．
故选：B．
【变式3-2】（2023秋•川汇区期中）把方程x2＝2（x﹣3）化成一般式x2+mx+n＝0，则正确的是（ ）
m＝2，n＝6 B．m＝2，n＝﹣6
C．m＝﹣2，n＝6 D．m＝﹣2，n＝﹣6
答案:C
【解答】解：∵将原方程转化成一般式为x2﹣2x+6＝0，
∴m＝﹣2，n＝6．
故选：C．
【典例4】（2023秋•惠东县期中）把一元二次方程4x2+5x＝81化为一般形式后，二次项系数为4，则一次项系数及常数项分别为（ ）
A．5，81B．5x，81C．5，﹣81D．﹣5x，﹣81
答案:C
【解答】解：一元二次方程4x2+5x＝81化为一般形式为4x2+5x﹣81＝0，
∴一次项系数为5，常数项为﹣81，
故选：C．
【变式4-1】（2023秋•龙江县期末）一元二次方程3（x2﹣3）＝5x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．3，﹣5；9B．3，﹣5，﹣9C．3，5，9D．3，5，﹣9
答案:B
【解答】解：去括号得3x2﹣9＝5x，
移项得3x2﹣5x﹣9＝0，
所以二次项系数为3，一次项系数为﹣5，常数项为﹣9．
故选：B．
【变式4-2】（2023秋•修水县期中）一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的一次项系数为（ ）
A．﹣6B．﹣1C．1D．6
答案:A
【解答】解：一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的一次项系数为﹣6，
故选：A．
【考点 3：一元二次方程的解】
【典例5】（2023秋•宜宾期末）一元二次方程x2+mx＝2的一个根为2，则m的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
答案:C
【解答】解：把x＝2代入方程x2+mx＝2得22+2m＝2，
解得m＝﹣1．
故选：C．
【变式5-1】（2023秋•龙江县期末）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
答案:B
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，
∴9﹣3k﹣6＝0，
解得k＝1．
故选：B．
【变式5-2】（2023•南京模拟）一元二次方程（x﹣1）2+k﹣3＝0的一个根是x＝1，则k＝（ ）
A．3B．2C．﹣3D．﹣2
答案:A
【解答】解：将x＝1代入原方程得（1﹣1）2+k﹣3＝0，
即k﹣3＝0，
解得k＝3．
故选：A．
【典例6】（2023秋•金湖县期末）若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则a2+2a﹣8的值为（ ）
A．2B．4C．﹣4D．﹣12
答案:C
【解答】解：∵a为方程x2+2x﹣4＝0的解，
∴a2+2a﹣4＝0，
∴a2+2a＝4，
∴a2+2a﹣8＝4﹣8＝﹣4，
故选：C．
【变式6-1】（2023秋•龙沙区期末）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
答案:C
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2020＝1+2020＝2021．
故选：C．
【变式6-2】（2023秋•天河区校级期末）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2018的值为（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
答案:D
【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴6m2﹣9m+2018
＝3（2m2﹣3m）+2018
＝3×1+2018
＝3+2018
＝2021，
故选：D．