易错03 函数及其图象-备战2024年中考数学考试易错题（全国通用）

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易错点一：忽略
二次函数：一般地，形如是常数，）的函数
易错提醒： 题目中未指明函数是一次还是二次，要对函数进行分类讨论．
例1．若 是二次函数，则 m 的值为（ ）
A．1B．C．1 或D．0
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的定义以及直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：由于 是二次函数，
且，
且，
．
故选B．
例2．若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．0B．1或9C．或D．0或或
【答案】D
【分析】分两种情况讨论：当时，函数为一次函数；当时，为二次函数，即可求解．
【详解】解：当时，原函数是一次函数，显然与轴只有一个交点；
当时，原函数是二次函数，与轴只有一个交点，
故，即，可得的值为或，
综上所述，常数m的值为0或或．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了函数图像与x轴的交点问题，注意本题中函数可能是二次函数，也可能是一次函数，需要分类讨论是解题的关键．
变式1．已知二次函数，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：形如，这样的函数叫做二次函数，得到，，进行求解即可．解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，，
∴．
故答案为：．
变式2．已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
【答案】C
【分析】分情况讨论，当时，函数是一次函数，为：，此时图象和x轴有交点；当时，函数是二次函数图像与x轴有公共点，说明一元二次方程的，建立一个关于k的不等式，解不等式即可．
【详解】当时，函数是一次函数，
解析式为：，
此时图象和x轴有交点，
即满足要求；
当时，函数是二次函数图像与x轴有公共点，
∴一元二次方程的，
即：，
解得且，
综上：则k的取值范围是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和二次函数图像与x轴交点个数的关系，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．解答时注意分类讨论的思想．
变式3．抛物线的对称轴是，且它的最高点在直线上，则 ， .
【答案】 2
【分析】根据抛物线的对称轴是，且它的最高点在直线上，得到，解得，或，根据，得到；得到抛物线的解析式为，得到顶点为，代入，解得．
【详解】∵抛物线的对称轴是，且它的最高点在直线上，
∴，
∴，
∴，或，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的顶点为，
代入，
得，，
∴．
故答案为：，2．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数，解决问题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点，点和直线的位置关系．
变式4．已知关于x的函数的图像与x轴总有交点，求a的取值范围．
【答案】．
【分析】分类讨论：当时，可得或，此时函数图象与x轴有交点；当，此函数为二次函数，根据抛物线与x轴的交点问题得，解得a的取值范围，然后综合两种情况即可得到a的取值范围．
【详解】解：当时，
解得：或，
当时，函数解析式为，此函数为一次函数，它与x轴有一个交点；
当时，函数解析式为，此函数为常函数，它与x轴没有交点；
当，即或时，此函数为二次函数，
当时，二次函数的图象与x轴有交点，
即，
解得，
所以当且时，抛物线与x轴有交点，
综上所述，a的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：二次函数（a,b,c是常数，）的交点与一元二次方程的解之间的关系，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
1．若函数是关于的二次函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，将二次函数化为一般式，从而得出，求解即可得出答案，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键．
【详解】解：，
函数是关于的二次函数，
，
，
故选：C．
2．已知函数是关于的二次函数，则m的值是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的定义，注意到是关键．
3．若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足( )
A．a＝B．a≤C．a＝0或a＝﹣D．a＝0或a＝
【答案】D
【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y=ax2-x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得Δ=0，从而解出a值；②函数为一次函数，此时a=0，从而求解．
【详解】解：①函数为二次函数，y=ax2﹣x+1（a≠0），
∴Δ=1﹣4a=0，
∴a=；
②函数为一次函数，
∴a=0，
∴a的值为或0；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．
4．若函数为常数）的图象与轴有且只有一个交点，那么满足( )
A．且B．C．D．或
【答案】D
【分析】当该函数是一次函数时，满足条件；当是二次函数时，当时，一元二次方程根的判别式为0，进而得出结果．
【详解】解：当时，，
此时一次函数与轴只有一个公共点，
当时，令，则，
二次函数与轴只有一个交点，
△，
解得，
综上所述，或．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数及其图象的性质，二次函数图象与轴的交点与一元二次方程的关系等知识，解决问题的关键是分类讨论．
5．二次函数y＝m2x2+(2m+1)x+1与x轴有交点，则m的取值范围 ．
【答案】m且m≠0
【分析】根据二次函数的定义及一元二次方程根的判别式即可求得．
【详解】解：∵二次函数y＝m2x2+（2m+1）x+1与x轴有交点，
∴ ，
解得m且m≠0，
故答案为：m且m≠0．
【点睛】本题考查了二次函数的定义及一元二次方程根的判别式，注意二次函数的二次项系数不为0．
6．抛物线与x轴有两个交点，则m的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据抛物线与轴有两个交点，得判别式的值大于零，并且要注意二次项系数不为0，进而即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，
∴即，
∴，
∵抛物线的解析式，
∴，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与x轴的交点情况与判别式的值之间的关系，掌握抛物线与轴有两个交点，则判别式的值大于零，是解题的关键．
7．若二次函数的图象开口向下，求m的值．
晓丽的解题过程如下：
请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误，写出正确的解题过程．
【答案】晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误．正确的解题过程见解析．
【分析】根据二次函数的定义及开口方向进行求解判断即可．
【详解】解：晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误．
正确的解题过程如下：
∵是二次函数，
∴，解得或，
∵抛物线图象开口向下，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的定义与图象性质，熟练掌握定义及图象性质是解题的关键．
易错点二：没有确定函数的增减性画出图象
一次函数的增减性：
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小
反比例函数的增减性：当时，在同一象限内，随的增大而减小：当时，在同一象限内，随的增大而增大
二次函数的增减性：当时，在对称轴的左边，随的增大而减小；在对称轴的右边，随的增大而增大；
当时，在对称轴的左边，随的增大而增大；在对称轴的右边，随的增大而减小；
易错提醒：先确定函数图像增减性，再数形结合比较大小
例3．如果点，在函数图像上，则 （请在横线上选择，，＝，≤，≥填写）
【答案】
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数当时，随增大而增大直接判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∴随增大而增大，
∵点，在函数图像上，
∴，
∴，
故答案为：．
例4．，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据开口向下的二次函数离对称轴越远函数值越小进行求解是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，，三点都在二次函数，，
∴，
故选A．
变式1．已知，，是反比例函数的图象上的三个点，且，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的增减性．先根据反比例函数的性质得出，，然后再得出结论即可．
【详解】解：∵，，是反比例函数的图象上，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
变式2．点，都在直线上，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式可得y随x增大而减小，据此可得答案．
【详解】解：∵一次函数解析式为，
∴y随x增大而减小，
∵点，都在直线上，且，
∴，
故选：B．
变式3．若三点、、都在双曲线上，则下列的不等关系正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点．先根据函数图象得出此函数在每一象限内的增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
【详解】解：，
双曲线在二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
，，，
点，在第二象限，在第四象限，
，．
．
故选：B．
变式4．已知点，是抛物线上的两个点，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．与，的值有关
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到结果．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，两点关于对称轴对称，
∴，
故选：C．
1．若点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像是解题的关键．根据反比例函数的图像和性质解题即可．
【详解】解：，
故反比例函数经过一、三象限，
所以每一象限y随x的增大而减小，
所以，
故答案为：．
2．已知点都在直线上，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法比较
【答案】A
【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握求函数值的方法是解题的关键．分别求出与的值即可比较大小．
【详解】解：将点代入直线，
得，
，
．
故选：A．
3．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数解析式的特点，确定其开口方向和对称轴，根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵点，，都在二次函数的图象上，
∴，
故选：A．
4．如果两点和都在反比例函数的图象上，有下列几种选项：，，，，其中可能正确的选项有（ ）种．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，分和两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，
当时，双曲线过一，三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；
∵两点和都在反比例函数的图象上，且，
∴；
当时，双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大；
∵两点和都在反比例函数的图象上，且，
∴；
故选B．
5．若二次函数的图象，经过，，，三点大小关系是 （用“＜”连接）
【答案】
【分析】根据二次函数的解析式得出图像的开口方向向上，对称轴是直线，根据开口向上的抛物线，离对称轴越远，函数值越大，即可得解；
【详解】解：，
∴开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质的运用，熟练掌握二次函数的图像和性质，数形结合的进行推理是解答此题的关键．
6．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，随的增大而增大，即可得出答案．
【详解】解：，
函数图象的开口向上，对称轴是直线，
关于直线的对称点是，
，
，
故答案为：
7．已知二次函数的图象开口向上，若点都在该函数图象上，则的大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据函数开口向上，得到离对称轴越远函数值越大，再求出A、B、C到对称轴的距离，然后比较距离的大小即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，
∴二次函数对称轴为直线，离对称轴越远函数值越大，
∵点都在该函数图象上，，
∴，
故答案为：．
易错点三：混淆不同函数间字母的意义
在一次函数与二次函数图象识别题型中，
二次函数字母的意义：①决定抛物线的开口方向和大小；②和共同决定对称轴的位置；③决定抛物线与轴交点；
一次函数字母的意义：表示该直线的斜率、表示该直线的截距．
易错提醒：虽然字母相同，但在不同的函数中，代表的意义完全不同，切不可一概而论
例5．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象与系数的关系，由二次函数图象判定系数大小、由系数正负决定一次函数与反比例函数的图象，牢记各函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：由二次函数的图象开口向下
对称轴在轴左侧，由左同右异得
函数图象与轴交点位于轴正半轴
则反比例函数的图象位于一、三象限
一次函数图象的图象位于二、三、四象限
所以选项符合题意．
故选：．
例6．反比例函数与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与反比例函数图象的综合判定，根据二次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：A、由二次函数图象开口向上，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的负半轴，可得，两者矛盾，故此选项错误；
B、由二次函数图象开口向下 ，可得，由反比例函数图象位于第一、三象限，可得，两者矛盾，故此选项错误；
C、由二次函数图象开口向上，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的正半轴，可得，由反比例函数图象位于第一、三象限，可得，符合要求，故此选项正确；
D、由二次函数图象开口向下 ，可得，由二次函数图象与y轴交点位于y轴的正半轴，可得，两者矛盾，故此选项错误；
故选C．
变式1．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一次函数与二次函数图象共存的问题，掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数和一次函数图象性质分别得出、的符号，即可得答案．
【详解】解：A、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故该选项符合题意；
B、由二次函数图象可得，，由一次函数图象可得，，故该选项不符合题意；
C、由二次函数图象可得，，由次函数图象可得，，故该选项不符合题意；
D、由二次函数图象可得得，，由一次函数图象可得，，故该选项不符合题意．
故选：A．
变式2．已知一次函数和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出、、的正负．根据一次函数与反比例函数图象找出、、的正负，再根据抛物线的对称轴为，得出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数图象过第一、二、四象限，
∴，
∴，
∴二次函数开口向下，对称轴在轴右侧；
∵反比例函数的图象在第一、三象限，
∴，
∴与轴交点在轴上方，
满足上述条件的函数图象只有选项B．
故选：B．
变式3．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，
则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，
故选：C．
变式4．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与性质、一次函数图象与性质、反比例函数的图象与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据二次函数图象确定系数a， c的符号，再根据一次函数、反比例函数的图象与性质解题．
【详解】解：解：二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，
，，
一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过一、三象限，只有选项A图象符合，
故选：A．
1．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数及一次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数及一次函数的图象与系数的关系．根据一次函数和二次函数的图像确定a、c的符号，逐一判断即可得答案．
【详解】解：A、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项错误，故不符合题意；
B、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项正确，故符合题意；
C、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项错误，故不符合题意；
D、由一次函数图象，得，由二次函数图象，得，此选项错误，故不符合题意，
故选：B．
2．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数、二次函数图象综合判断，由选项中图象可判断a，b符号不同，分类讨论求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
当抛物线对称轴在y轴右侧时，，
，符号不同，
当，时，抛物线开口向上，直线上升，直线与轴交点在轴下方，
当，时，抛物线开口向下，直线下降，直线与轴交点在轴上方，
故选：B．
3．已知二次函数的图象有最小值，则反比例函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出a的符号情况是解题的关键．
根据二次函数图象开口方向判断出a的正负情况，再根据反比例函数图象与系数的关系，判断出图象的大致情况即可得解．
【详解】解：∵二次函数的图象有最小值，
，
∴反比例函数位于第一、三象限，
∴只有B选项符合题意．
故选：B．
4．二次函数的图象如图，则函数与函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，正确记忆相关图象的分布是解题关键．
直接利用抛物线图象得出a,b,c的符号，进而利用一次函数和反比例函数的性质得出符合题意的图象．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴a.b同号，
，
∵抛物线与y轴交在正半轴，
，
，
则函数的图象分布在第二、四象限，
函数的图象经过第一、二、四象限．
故选：B．
5．函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，分类讨论：当时，当时，利用数形结合即可求解，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：当时，则，
抛物线的开口向上，且与轴交于负半轴，
反比例函数的图象经过一、三象限，
当时，
抛物线的开口向下，且与轴交于正半轴，
反比例函数的图象经过二、四象限，
综上所述，在同一直角坐标系中的图象可能，
故选A．
6．反比例函数与二次函数在同一坐标轴中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，以及二次函数的图象，熟练掌握二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间关系是解题的关键．
根据二次函数、反比例函数中系数与图象位置之间关系解答即可．
【详解】解：A、抛物线开口方向向下，则，对称轴，
反比例函数的图象位于第二、四象限，故本选项正确，符合题意；
B、抛物线开口方向向上，则，对称轴，故本选项错误，不符合题意；
C、抛物线开口方向向上，则，对称轴，与反比例函数的图象位于第二、四象限矛盾，故本选项错误，不符合题意；
D、抛物线应该经过原点，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
7．函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与反比例函数的图象的综合，关键是熟知两个函数的图象与系数的关系．先利用反比例函数图象得到，再根据二次函数图象与系数关系即可得出答案．
【详解】解：∵函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴函数的图象的开口向下，与y轴的正半轴相交，又对称轴为y轴，
故选项A中图象符合题意，选项B、C、D中图象不符合题意，
故选：A．
易错点四：不会结合不等号与图象关键点
函数与不等式：可以看作当一个函数的函数值大（小）于另一个函数的函数值，通过两个函数的交点可求自变量相应的取值范围
易错提醒：容易把这类题型与求函数解析式题型混淆，直接去求函数解析式，思路错误后容易出现求解不出解析式的情况，导致无法做出答案
例7．一次函数（）与的图象如图所示，当时，，则满足条件的的取值范围是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．或
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一元一次函数与一元一次不等式的关系，计算出对应的的函数值，把代入得，解得：，然后根据时，一次函数（为常数，）的图象在直线的下方确定的范围，数形结合是解题的关键．
【详解】解：在中，当时，，
把代入得，
解得：，
此时，由图可得当时，，满足题意；
当时，两条直线平行，且的图象在直线的下方，所以，当时，，满足题意；
由图象可知当且时，，
故选：B．
例8．已知关于直线对称的抛物线经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是 （填或），若此时，则的取值范围是 ．
【答案】 B /
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是掌握二次函数的增减性．根据抛物线对称轴为，开口向上，根据已知条件分类讨论得出点B在对称轴的左侧；根据，进而得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：抛物线关于直线对称，经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，
若点A位于对称轴左侧，
则，
解得，不等式组无解，不符合题意；
若点B位于对称轴左侧，
则，
解得，
不等式组的解为；
此时，
，
解得：，
，
综上，时，则的取值范围是，
故答案为：B，．
变式1．如图，直线：与直线：交于点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，解题关键是通过函数图像判断两条函数的大小关系．根据函数图像，要使，则表示在上方的部分，读图可得答案．
【详解】解：∵
∴在函数图像上反映为在上方的部分
∴
故答案为：
变式2．已知一次函数经过点，与x轴交于点A．
(1)求b的值和点A的坐标；
(2)画出此函数的图象；
(3)观察图象，当时，x的取值范围是______．
【答案】(1)．；
(2)见解析
(3)x的取值范围是．
【分析】本题考查了图形与坐标、一次函数的解析式、一次函数的图象及性质，正确画出图象是解题的关键．
（1）将点B的坐标代入一次函数的解析式中，即可得出的值，从而求出一次函数的解析式，令时，得出的值即可得出点A的坐标；
（2）根据点A和点B的坐标确定位置，作直线即可；
（3）先求得当时，，根据图象，即可确定x的取值范围．
【详解】（1）解：∵一次函数经过点，
∴．
∵当时，，
解得．
∴；
（2）解：由（1）知，，，
画图如下：
；
即为所求；
（3）解：当时，则，解得，
由图知，当时，x的取值范围是．
变式3．如图，二次函数与反比例函数的图象交于．
(1)求k的值；
(2)根据图象，写出二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与二次函数综合，图象法求不等式的解集．熟练掌握反比例函数解析式反比例函数与二次函数综合，图象法求不等式的解集是解题的关键．
（1）将代入得，可求，则，将代入，计算求解可得的值；
（2）根据二次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为二次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的的取值范围，结合图象作答即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴k的值为；
（2）解：由图象可知，二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围为或．
变式4．如图所示，二次函数的图象经过、、三点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)方程有两个实数根，m的取值范围为__________．
(3)不等式的解集为__________；
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键．
（1）利用待定系数法，设二次函数的解析式为，进而代值求解a值即可；
（2）先求得二次函数的最小值，再结合图象，求得使直线与二次函数图象有两个交点时的m值的取值范围即可；
（3）先判断出二次函数的图象与直线的交点坐标为，，再根据图象，求得使二次函数的图象位于直线上方部分的点的横坐标取值范围即可．
【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的解析式，
将代入，得，
∴二次函数的解析式为，即；
（2）解：∵，
∴当时，y有最小值，
∴当时，直线与二次函数的图象有一个交点，即方程有两个相等的实数根，
当时，直线与二次函数的图象有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，
故答案为：；
（3）解：由图可知，二次函数的图象与直线的交点坐标为，，
∴当或时，二次函数的图象位于直线上方，
故不等式的解集为或，
故答案为：或．
1．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】本题考查了根据交点确定不等式的解集．数形结合是解题的关键．
根据不等式的解集是抛物线图象在直线图象下方所对应的的取值范围，结合图象作答即可．
【详解】解：由题意知，不等式的解集是抛物线图象在直线图象下方所对应的的取值范围，
∴由图象可知，不等式的解集为或，
故选：C．
2．二次函数的图象如图所示，则当函数值时，x的取值范围是（ ）

A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的上方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键．
【详解】由图象可知，当或时，函数图象在轴的上方，，
故选：．
3．已知直线经过抛物线的顶点，且当时，，则当时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数与不等式，涉及到二次函数和一次函数的性质，画出函数大致图象是本题解题的关键．由，则该直线过点，则抛物线和x轴的交点为和，结合当时，，得到抛物线和直线的大致图象，进而求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
将代入并整理得：，
，
由，则该直线过点，
则抛物线和x轴的交点为和，结合当时，，
则抛物线和直线的大致图象如下图所示，
结合函数图象知，当时，，
∴x的取值范围是：，
故答案为：
4．如图，抛物线交x轴于点，，交y轴于点，则关于x的不等式的解集是 .
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式的关系的运用，由函数图象可以得出当或时，y的值为0，根据，就可以结合图象得出的解集．
【详解】解：由题意，得或时，y的值为0，
由图象可知于x的不等式的解集是．
故答案为：．
5．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得的自变量的取值范围就是直线落在二次函数的图象上方的部分对应的自变量的取值范围．
【详解】根据图象可得出：当时，的取值范围是：．
故答案为：．
6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点．
(1)求点的坐标．
(2)根据图象直接写出的自变量的范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查反比例函数和一次函数结合问题，待定系数法求反比例函数解析式．
（1）先求出点坐标，再求出反比例函数解析式，联立方程组即可求出本题答案；
（2）根据图像即可得出本题答案．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，
∴将代入中得：，即：，
∴，
∴将代入中得： ，
∴，解得：或，
∴点的坐标为：；
（2）解：∵通过函数图像可知：
，
点，点，
∴的自变量的范围：或．
7．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象直接写出时的取值范闱；
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，利用函数图象与不等式的关系解不等式．
（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形的面积公式，利用三角形面积的和差：，可得答案；
（3）根据反比例函数图象在一次函数图象下方的部分是不等式的解集，可得答案．
【详解】（1）解：将代入反比例函数得，，
∴，
∴；
将代入反比例函数得，，
∴，则，
将，代入一次函数得，，
∴ ，
∴；
（2）当时，，
∴，
∴；
（3）使得成立时，反比例函数图象在一次函数图象下方，
则x的取值范围为：或．
易错点五：混淆二次函数中系数的意义
在二次函数中：①决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；
②和共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左边；当a与b异号时，对称轴在轴右边．
③决定抛物线与轴交点，抛物线与y轴交于．
易错提醒：需熟悉二次函数中系数代表的意义
例9．已知抛物线（是常数，）与轴的一个交点为，，其对称轴是直线．有下列结论：①；②；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，顶点坐标，对称轴，增减性与系数符号的关系是解题的关键．
根据对称轴可得，可判定结论①；根据时，可判定结论②；根据时，，及对称轴等知识可判定结论③；由此即可求解．
【详解】解：∵抛物线（是常数，）与轴的一个交点为，，其对称轴是直线，
∴，
∵对称轴直线，
∴，
∴，故①正确；
∵当时，，
∴，即，故②正确；
∵，
∴，
∵当时，，
∴，故③正确；
故选：．
例10．已知二次函数（，为常数且）经过，且，下列结论：；；若关于的方程有整数解，则符合条件的的值有个；当时，二次函数的最大值为，则.
其中一定正确的有 .（填序号即可）
【答案】/①③②//②①③/③②①/③①②
【分析】本题考查了二次函数的性质，当时，，则，根据得，根据，得，根据得，则，即可判断正确，根据，得，即可得点在轴的下方，根据抛物线的对称轴为直线，，得抛物线与直线交点的横坐标为整数的有，则关于x的方程有整数解，则符合条件的的值有个，故正确；根据抛物线对称轴为直线，与轴的交点为，得抛物线过，根据当时，二次函数的最大值为得或，即可得；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数，当时，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
∴正确，
∵，，
∴，
∴点在轴的下方，
∵抛物线的对称轴为直线，，，
∴抛物线与直线交点的横坐标为整数的有，
∴关于的方程有整数解，则符合条件的的值有个，
故正确；
∵抛物线对称轴为直线，与轴的交点为，
∴抛物线过，
∵当时，二次函数的最大值为，且，
∴，
∴，
故错误，
综上，正确，
故答案为：．
变式1．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴为直线.若点的坐标为，有下列结论：①；②③；④点，在抛物线上，当时，．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线的图形和性质，对称性，交点坐标等，根据性质分析判断即可．
【详解】∵对称轴为，
∴，，
∵与轴交于点在负半轴上，
∴，
故，，
故①错误；②正确；
∵点的坐标为，
∴，
∴，
故，
故③正确；
∵
∴，
故④错误；
故选：B．
变式2．如图，抛物线与y轴负半轴相交，下列描述不正确的为（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．方程的根的判别式
C．当时，函数值y随x的增大而增大
D．不等式的解集为
【答案】D
【分析】二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式．观察图象得：抛物线与x轴交点坐标为，可得抛物线的对称轴为直线，可判断A；再由抛物线与x轴有2个交点，可判断B；然后二次函数的增减性可判断C；再由观察图象得：当或时，，可判断D．
【详解】解：观察图象得：抛物线与x轴交点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，故A正确，不符合题意；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴方程有2个不相等实数根，
∴方程的根的判别式，故B正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，
∴当时，函数值y随x的增大而增大，故C正确，不符合题意；
观察图象得：当或时，，
∴不等式的解集为或，故D不正确，符合题意；
故选：D
变式3．如图是二次函数的图象的一部分，对于下列结论：①；②；③；④关于x的方程的两根分别为和1；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断的符号； 然后结合对称轴判断的符号； 根据抛物线的对称轴、抛物线与的一个交点可以推知与的另一个交点的坐标；由二次函数图象上点的坐标特征可以推知满足该抛物线的解析式.
【详解】根据抛物线是开口方向向上可以判定；
∵对称轴 ，
；
∵该抛物线与轴交于负半轴，
，
；
故选项①正确；
由①知，；
故选项②错误；
∵该抛物线与轴交于点，
满足该抛物线方程，
；
故选项③正确；
设该抛物线与轴交于点，
则由对称轴，得
解得；
的两根分别为和；故选项④正确；
故选:．
变式4．二次函数的图像如图所示，对称轴为，给出下列结论：；；；，其中正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】解：由二次函数图象开口向上，得到，与轴交于负半轴，得到，
∵对称轴在轴右侧，且，即，
∴与异号，即，
∴，选项正确；
∵二次函数图象与轴有两个交点，
∴，即，选项错误；
∵原点与对称轴的对应点为，
∴时，，即，选项错误；
∵时，，
∴，
把代入得：，选项正确，
综上可知：正确，共个，
故选：．
1．二次函数的图象如图所示．下列结论：
①；
②；
③方程有两个不相等的实数根；
④不等式的解集是．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②④C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据二次函数与x轴交于，得到对称轴为直线，进而由对称轴公式即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据二次函数开口向上，得到，由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点，即可判断③；由函数图象可知，当时，，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数与x轴交于，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，即，故①正确；
∵当时，，
∴，故②错误；
∵二次函数开口向上，
∴，
由函数图象可知，二次函数与直线有两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，故③正确；
由函数图象可知，当时，，
∴当时，有，
∴，故④正确；
故选：C．
2．二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．若t为任意实数，则有
【答案】B
【分析】根据开口方向和对称轴的位置可判断A；根据当时，和可判断B；根据与x轴的交点可判断C；根据当时，y有最小值可判断D．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴．
∵抛物线的对称轴为直线，即，
∴．
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，故A正确；
根据图象，可得当时，，
∴．
∵，
∴，故B错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴，即，故C正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，y有最小值，
∴，即，故D正确．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与各系数关系，二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键．
3．二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴的其中一个交点在与之间，以下结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
由抛物线开口向上判断a的符号；由抛物线与y轴的交点判断c的符号；由抛物线的对称轴及抛物线与x轴的交点情况，判断b的符号；分别观察， ， 时的函数值对所得结论进行判断即可．
【详解】抛物线开口向上，
；
抛物线的对称轴为直线，
，
，，
抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
，
，故A选项正确，不符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
抛物线对称轴为直线，与x轴的其中一个交点在与之间，
抛物线与x轴的另一个交点在与之间，
当时，，则，
当时，，则，
，
，故C选项正确，不符合题意；
当时，，，
，
，故D选项错误，符合题意；
故选：D
4．如图，直线与抛物线交于A，B两点，且点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3，则以下结论：①，；②当时，直线与抛物线的函数值都随着x的增大而增大；③的长度可以等于5；④连接，，有可能是等边三角形；⑤当时，，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②⑤C．②③④D．①②④⑤
【答案】B
【分析】①由抛物线的开口向上，一次函数与轴的交点位置，即可判断；②观察图象，即可判断；③由点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3，若，可得出直线与轴平行，即可判断；④若，可得直线与轴平行，即可判断；⑤直线与关于轴对称，结合图象即可判断．
【详解】解：①抛物线的开口向上，
，
一次函数与轴的交点在轴的正半轴，
，
故①正确；
②由图象得，
一次函数的函数值都随着x的增大而增大；
抛物线的对称轴为轴，，
当时，抛物线的函数值都随着x的增大而增大；
故②正确；
③点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3，
若，可得出直线与轴平行，
即，
与已知矛盾，
故不可能为，
故③不正确；
④若，
直线与轴平行，
即，与已知矛盾，
，
即不可能为等边三角形，
故④不正确；
⑤直线与关于轴对称，如图所示：
直线与抛物线交点C、D横坐标分别为，，
由图象可得：当时，
，
即
故⑤正确；
综上所述：正确的结论是：①②⑤；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组），二次函数图象与系数的关系，等边三角形的判定与性质，掌握二次函数与不等式（组），以及二次函数图象与系数的关系，用数形结合思想求解是解题的关键．
5．二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，其中结论正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象及性质；能够从函数图象获取信息，结合函数解析式、判别式、对称轴的性质解题是关键．根据以上相关性质，逐项判定即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
即，
∴，故选项A不符合题意；
由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
则当 时，方程有两个不相等实数根，
∴，故选项B不符合题意；
由图象，抛物线与x轴交于，
代入，可得，
故选项C不符合题意；
由抛物线对称性可知，原点关于直线的对称点在抛物线上方，
∴当时，，故选项D符合题意；
故选：D
6．已知抛物线，当时，：当时，．下列判断：①；②若时，则；③已知点，，，在抛物线上，当 时，；④若方程的两实数根为，则．其中正确的为 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了不等式组的应用，一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质是解题关键．
根据二次函数的性质可得该抛物线开口向上，说明抛物线与轴有两个不同的交点，再运用根的判别式列不等式求解即可判定①；根据题意列不等式组结合可判定②；根据二次函数的增减性可判定③；先确定抛物线的对称轴，再结合b不确定可判定④．
【详解】解：，
该抛物线开口向上．
当时，；当时，；
该抛物线与轴有两个不同的交点，
，
．故①正确．
当时，；当时，；
，整理得．
若时，则．故②正确．
抛物线的对称轴为．
，、，均在抛物线对称轴左侧，其函数值随的增大而减小．故③正确．
方程两实数根为，
．
的范围无法确定，
④不正确．
故答案为：①②③．
7．抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：
①；
②；
③；
④若，和，是抛物线上的两点，则当时，；
⑤方程的两个根为，．
其中正确的有： ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质．①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号；②根据对称轴是直线和时，，即可得到和的关系；③当时，，当时，，可得，即可得出结论；④由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大；⑤由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断．
【详解】解：①抛物线图象开口向上，
，
对称轴在直线轴左侧，
，同号，，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，故①正确．
②对称轴是直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确．
③抛物线图象开口向上，对称轴是直线，图象过点，
图象过点，
当时，，当时，，
，
，
，
，
故③正确．
④，，
，
点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离，
，
故④错误．
⑤由可得方程的解，，
的抛物线与轴交于点，，
方程的两个根为，1，
，，
，
，，
而若方程的两个根为，，
则，，故⑤错误．
所以正确的有：①②③．
故答案为：①②③．
易错点六：①混淆图象与点的平移；②没有把系数变成“1”
点的平移规律：向左平移个单位得到；
点的平移规律：向右平移个单位得到；
函数图象的平移规律：向左平移个单位时，对直接进行加
函数图象的平移规律：向右平移个单位时，对直接进行减
易错提醒：（1）左右平移，图象的变换与点的变换刚好相反，切不可混淆；（2）图象平移中，记得把系数变成“1”
例11．在平面直角坐标系中，把点向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的平移规律，向上平移个单位，则纵坐标加；向下平移个单位，则纵坐标减；向右平移个单位，则横坐标加；向左平移个单位，则横坐标减；据此作答即可．
【详解】解：因为把点向上平移1个单位，再向左平移2个单位，
所以，
即得到的点的坐标是，
故答案为：
例12．在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点．若点与A关于原点O对称，则m的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣6D．6
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据x轴上点的坐标特征求得A、的坐标，由题意可知，解得．
【详解】解：∵直线（m为常数）与x轴交于点A，
∴，
将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，得到，
∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点，
∴，
∵点与A关于原点O对称，
∴，
解得，
故选：B．
变式1．将直线向左平移2个单位得到的直线是 ．
【答案】
【分析】本题考查函数平移的规律：上加下减，左加右减．根据函数平移的规律：上加下减，左加右减直接求解即可得到答案．
【详解】解：∵直线向左平移2个单位，
∴，
故答案为：．
变式2．已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对称轴为直线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线： （a、b、c为常数，且），则代数式与0的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质等知识，先根据平移方向和距离求出抛物线的对称轴为直线，可得出，顶点坐标为，由抛物线的图象可知，，即可判断与0的大小关系．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，，
∴，
由图知抛物线的顶点在x轴上方，
∴抛物线的顶点在x轴上方，
∴，
∴．
故选：C．
变式3．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上．
(1)将沿轴正方向平移3个单位得到．画出，并写出点的坐标；
(2)画出关于轴对称的，并写出点的坐标．
【答案】(1)图见解析，点的坐标为．
(2)图见解析，点的坐标为．
【分析】（1）本题考查平移作图，根据沿轴正方向平移3个单位，找到顶点平移后的对应点，再依次连接对应点，即可得到平移后的，利用图形写出点的坐标，即可解题．
（2）本题考查作轴对称图形，作出的顶点关于轴对称的对应点，再依次连接对应点，即可得到，利用图形写出点的坐标，即可解题．
【详解】（1）解：得到的如图所示：
由图知，点的坐标为．
（2）解：得到的如图所示：
由图知，点的坐标为．
变式4．在平面直角坐标系中的位置如图所示，点为坐标原点，顶点坐标分别为，，．将先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到．
(1)画出平移后的，并写出点的对应点的坐标________；
(2)直接写出的面积为________平方单位．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】本题考查了平移作图，写出坐标系中点的坐标，网格中求三角形的面积；
（1）利用点平移的坐标变换规律写出的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∴，
故答案为：．
（2）的面积为
故答案为：．
1．将点A(m+2，m﹣3)向左平移三个单位后刚好落在y轴上，则平移前点A的坐标是 ．
【答案】（3，2）；
【分析】先求出向左平移的点坐标，然后结合y轴上点的坐标过着求出m的值，即可求出答案．
【详解】解：点A(m+2，m﹣3)向左平移三个单位的坐标是：(m﹣1，m﹣3)，
∵点(m﹣1，m﹣3)在y轴上，
∴，
∴，
∴平移前点A的坐标为：（3，2）；
故答案为：（3，2）；
【点睛】本题考查了平移的性质，坐标轴上点的规律，解题的关键是熟练掌握平移的性质，正确求出m的值．
2．已知抛物线与x轴两个交点间的距离为2，将此抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线与x轴两个交点间的距离是（ ）．
A．4B．5C．8D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题、一元二次方程根与系数的关系、二次函数图象的平移，设抛物线与x轴两个交点坐标为，，则，求得，再求得平移后的解析式，设其与x轴的交点坐标为，，求得即可．熟知函数图象平移规则“左加右减，上加下减”和两点距离公式是解答的关键．
【详解】解：设抛物线与x轴两个交点坐标为，，
则，，
∴，
∴，
抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到一条新抛物线的表达式为
，
设平移后的抛物线与x轴的交点坐标为，，
则，，
∴
，
故选：A．
3．一次函数的图象可以由正比例函数的图象向左平移一个长度单位得到．类似地，反比例函数的图像可以由反比例函数的图像向左平移一个长度单位得到．下列关于反比例函数的图像性质描述错误的是（ ）
A．函数图像与y轴交点坐标为B．当时，y随x的增大而减小
C．函数图像与x轴没有交点D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】先画出函数图像，根据反比例函数的性质和函数的图像即可得．
【详解】解：如图所示，

当时，，
则函数图像与y轴交点坐标为；
根据函数图象得，当时，y随x的增大而减小；函数图像与x轴没有交点；
当时，y随x的增大而减小；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
4．我们在学习一次函数，二次函数图像的平移时知道：将一次函数的图像向上平移1个单位得到的图像；将二次函数的图像向左平移2个单位得到的图像，若将反比例函数的图像向右平移3个单位，则得到平移后的图像所对应的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是函数图像的平移，解题的关键是理解题干给定的平移信息．
【详解】解：利用题干给定的二次函数的图像向左平移2个单位得到的图像，
将反比例函数的图像向右平移3个单位，得到到平移后的图像所对应的函数关系式是，
故答案为：．
5．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，将抛物线向右平移个单位，点平移到点，点平移到点，连接，，若，则 ．
【答案】
【分析】由平移得，平移距离，证明，根据，可得，进而即可求解．
【详解】如图：令，解得：，则，
令，解得：，则
由平移得，平移距离，
，
，，
，
，
在中，；
在中，
∴
解得：
∴
即
故答案为：．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点在线段上，坐标为．

(1)(不用画图，直接写坐标)点关于直线对称的点坐标是 ，如果将向右平移个单位，平移后点对应点的坐标是 ；
(2)在线段上找一点，使．(不必写作法，保留作图痕迹，标出点)
【答案】(1)，；
(2)作图见解析．
【分析】（）根据轴对称和平移得性质即可求解；
（）连接，与相交于点，点即为所求；
本题考查了轴对称、平移，坐标与图形，作角相等，掌握轴对称和平移的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点关于直线对称的点为，
∴点的坐标是；
将向右平移个单位，平移后点对应点的坐标是；
故答案为：，；
（2）解：如图，点即为所求．
理由：∵点与点关于直线对称，
∴，
∵，
∴．
7．校考三模）已知函数 和函数（k为常数且）的图象交于点．
(1)求和的函数关系式；
(2)将向下平移个单位，平移后的图象与交于点B，若A，B两点关于原点中心对称，求t的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）将点分别代入函数解析式建立方程求解即可；
（2）先确定平移后的解析式为：，再由（1）得出，确定点，代入解析式求解即可．
【详解】（1）解：将点分别代入函数解析式得：，
解得：，
∴，；
（2）向下平移个单位，平移后的解析式为：，
由（1）得在上，
∴，
∴
∵平移后的图象与交于点B，A，B两点关于原点中心对称，
∴点，
将点代入得：，
解得：．
【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，一次函数的平移及交点，理解题意，熟练掌握运用一次函数及反比例函数的性质是解题关键．
易错点七：忽略自变量的取值范围
易错提醒：在利用函数解决实际问题时，要特别注意自变量的取值范围，例如确定有多少人、几条船等，那么自变量就不能取负数和小数，一定要是非负整数，
例13．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）

A．当时， B．I与R的函数关系式是
C．当时， D．当时，I的取值范围是
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
【详解】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
∴，
∴，
∴I与R的函数关系式是，故选项B不符合题意；
当时，，当时，，
∵反比例函数，I随R的增大而减小，
当时，，当时，，故选项A，C不符合题意；
∵时，，当时，，
∴当时，I的取值范围是，故D符合题意；
故选：D．
例14．乡村振兴战略是在党的十九大报告中提出的战略，小庆家为发展乡土特产“杏花鸡”，计划在农场中用篱笆围一个养鸡场．如图，利用一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形养鸡场，设的长为，的长为．
(1)求关于的函数关系式（包括自变量的取值范围）；
(2)如果篱笆的总长为，求出的长．
【答案】(1)
(2)的长为
【分析】本题考查了反比例函数的应用，一元二次方程的应用．熟练掌握反比例函数解析式，一元二次方程的应用是解题的关键．
（1）由题意知，，则，由，，可求，然后作答即可；
（2）当篱笆的总长为时，则，依题意得，，解得，，，然后计算求出满足要求的值即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴．
∵，，
∴，
解得，，
关于的函数关系式为．
（2）解：当篱笆的总长为时，
∴，
依题意得，，整理得，
解得，，．
当时，（不符合题意，舍去）；
当时，（符合题意）．
∴的长为．
变式1．某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如表：
已知这种商品的进价为元，设销售这种商品的日销售利润为元．
(1)求与的函数关系式；
(2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
【答案】(1)
(2)第天的销售利润最大，最大日销售利润为元
【分析】本题主要考查一次函数，二次函数与销售利润问题，掌握二次函数图象，一次函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据天数的不同，分类计算利润即可求解；
（2）根据二次函数、一次函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：当时，售价为元，商品的进价为元，日销售量为，
∴利润为：，
整理得，；
当时，售价为元，商品的进价为元，日销售量为，
∴利润为：，
整理得，；
综上所述，．
（2）解：由（1）可知，当时，，
∴当时，利润为元；
当时，，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，，
∴当时，利润为元；
∵，
∴第天的销售利润最大，最大日销售利润为元．
变式2．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点A对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要18分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】(1)A对应的指标值为20
(2)张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时注意力指标都不低于36
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用、求不等式组的解集．
（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将代入，即可得出A对应的指标值；
（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论．
【详解】（1）解：令反比例函数为，由图可知点在的图象上，
∴，
∴．
将代入得：
点对应的指标值为；
（2）解：设直线的解析式为，将、代入中，
得，解得．
∴直线的解析式为．
由题得，解得．
∵，
∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
变式3．春节期间，阿克苏市某商场积压了一批棉衣，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件棉衣盈利50元时，可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件．设每件棉衣降价x元．
(1)每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利________元，可售出棉衣________件（用含x的代数式表示）
(2)若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值．
(3)当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)；
(2)
(3)当每件棉衣降价元时，获利最大，最大利润是元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列代数式：
（1）用50减去降价的钱数即可求出现在的利润，根据每件棉衣每下降1元，则可多售出2件即可求出可售出棉衣的数量；
（2）根据利润每件棉衣获利棉衣数量列出方程求解即可；
（3）设所获利润为W，根据利润每件棉衣获利棉衣数量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利元，可售出棉衣件，
故答案为：；．
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵要尽快清仓，
∴；
（3）解：设所获利润为W，
由题意得，
，
∵，
∴当时，W有最大值，
∴当每件棉衣降价元时，获利最大，最大利润是元．
变式4．为加强学生的素质教育，让学生看到自己的劳动成果，某中学围建了一个如图所示的矩形苗圃园让学生种菜，苗圃园其中一边靠墙，可利用的墙长不超过16，另外三边由36长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）．
(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)
(2)当时，y有最大值，最大值是
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出与之间的函数关系式是解题关键．
（1）根据题意，垂直于墙的边，则，结合矩形面积公式可得与之间的函数关系式，然后利用“墙长不超过16”列出不等式组并求解，即可确定自变量的取值范围；
（2）将配方后，利用二次函数的性质，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意，垂直于墙的边，则，
∴矩形的面积，
又∵，
∴，
∴与之间的函数关系式为；
（2）∵，
∴当时，有最大值，且符合题意，
答：当时，y有最大值，最大值是160．
1．某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量（千克）与销售单价（元）存在如下图所示的一次函数关系．
(1)试求出与的函数关系式；
(2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4320元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出）．
【答案】(1)
(2)当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用：
（1）由图象过点和易求直线解析式；
（2）每天利润每千克的利润销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答；
（3）求出当时，x的直即可得到答案．
【详解】（1）解：设，由图象可知
解得
，
与的函数关系式为：；
（2）解：由题意得
．
，
有最大值．
∴当时，P有最大值，最大值为．
∴当销售单价为35元千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元．
（3）解：当时，则，
整理得，
解得，，
，
抛物线的开口向下，
∴当每天利润不得低于4320元时，销售单价的范围为．
2．通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，若规定指标达到或超过25时为认真听讲阶段，学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时图象是反比例函数的一部分．
(1)求点对应的指标值；
(2)请通过计算说明，距离下课剩余10分钟时，学生是否处于认真听讲阶段？
【答案】(1)20
(2)学生处于认真听讲阶段
【分析】（1）设反比例函数的解析式为，由求出k，可得点D坐标，从而求出点D的指标值；
（2） 把代入，求出x的值，再比较与35的大小可得结论．
【详解】（1）解：设当时，反比例函数的表达式为，
将代入，得，
解得，
反比例函数的表达式为，
当时，，
，
点对应的指标值为20．
（2）在中，当时，，
，，
距离下课剩余10分钟时，学生处于认真听讲阶段．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式是解决问题的关键．
3．一辆快车从甲地出发驶向乙地，在到达乙地后，立即按原路原速返回到甲地，快车出发一段时间后一辆慢车从甲地驶向乙地，中途因故停车后，继续按原速驶向乙地，两车距甲地的路程与慢车行驶时间之间的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)甲乙两地相距______，快车行驶的速度是______ ，图中括号内的数值是______ ；
(2)求快车从乙地返回甲地的过程中，y与x的函数解析式；
(3)慢车出发多长时间，两车相距
【答案】(1)400，100，7
(2)快车从乙地返回甲地的过程中，y与x的函数解析式为
(3)慢车出发1小时或小时或小时，两车相距
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题关键是能够从图象中获取正确的信息．
（1）根据图象可知：甲乙两地的距离为400米，由速度公式求出速度和时间；
（2）观察图象和（1）的结果求出和，再用待定系数法求出解析式；
（3）先求出慢车的速度，分三种情况讨论，根据路程差为120千米，设慢车出发x小时与快车相距120千米，列出方程，求出x即可．
【详解】（1）解：由图象可知：甲乙两地相距，快车行驶的速度为，括号内数值为小时，
故答案为：400，100，7；
（2）由图象可知：和，
设直线的函数解析式为：，
把和代入得：，
解之得，
快车从乙地返回甲地的过程中，y与x的函数解析式为；
（3）由图象可知：快车比慢车早出发1小时，
慢车的速度为：千米/小时，
设慢车出发x小时与快车相距120千米，
①快车从甲地开往乙地，由题意得：，
解之得：，
②快车从乙地返回甲地与慢车相遇前，由题意得：，
解之得：，
③快车从乙地返回甲地与慢车相遇后，由题意得：，
解之得：，
综上可知慢车出发1小时或小时或小时，两车相距．
4．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题：

(1)直接写出工厂离目的地的路程；
(2)求s关于t的函数表达式；
(3)当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？
【答案】(1)工厂离目的地的路程为880千米
(2)s关于t的函数表达式：
(3)t的取值范围是
【分析】本题考查一次函数的应用：
（1）由图象直接求出工厂离目的地的路程；
（2）用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）当油箱中剩余油量为10升时和当油箱中剩余油量为0升时，求出t的取值即可．
【详解】（1）解：由图象，得时，
∴工厂离目的地的路程为880千米，
答：工厂离目的地的路程为880千米；
（2）解：设，
将（0，880）和（4，560）代入得，
，
解得：，
∴s关于t的函数表达式：，
答：s关于t的函数表达式：；
（3）解：当油箱中剩余油量为10升时，
（千米），
∴，
解得：（小时），
当油箱中剩余油量为0升时，
（千米），
∴，解得：，
∵，
∴s随t的增大而减小，
∴t的取值范围是．
5．2023年8月8日，成都大运会闭幕式在成都露天音乐公园举行．成都露天音乐公园是一座以音乐为主题，集文化艺术、休闲娱乐、旅游观光等功能为一体的大型城市公园，公园的整体景观设计融入了太阳神鸟文化、天府文化、凤凰文化、古蜀音乐文化，同时其具国际化风格．王华在公园的游客中心售卖大运会陶瓷文创纪念品，她以50元/件的价格购进了一款陶瓷蓉宝手办，在销售过程中发现：每天的销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．设销售这款手办的日利润为（元）．

(1)求与之间的函数关系式：
(2)求与之间的函数关系式，并求出当日利润为600元时，每件手办的售价为多少元？
【答案】(1)
(2)80元/件或90元/件
【分析】本题考查了分式方程的应用及一次函数的应用及反比例函数的应用：
（1）分段讨论：当时，设，当时，设直线为，利用待定系数法即可求解；
（2）分类讨论：当时，当时，分别代入（1）中对应的函数解析式中即可求解；
理清题意，利用待定系数法求函数解析式及分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，
设，将，
代入得：，
，
当时，，
，
当时，
设直线为，因为，
由题意得：，
解得：，
与之间的函数关系式为，
综上所述：．
（2）当时，
，
由，解得：，
经检验，是原方程的解，
当销售价格为80元/件时，日利润为600元，
当时，
，
由，
解得：，，
当销售价格为80元/件或90元/件时，日利润为600元，
综上，当日利润为600元时，销售价格为80元/件或90元/件．
6．A品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，开心超市每天购进一批成本价为每千克4元的A品牌大米，以不低于成本价且不超过每千克8元的价格销售．当每千克售价为6元时，每天售出该大米900；当每千克售价为7元时，每天售出该大米850．通过分析销售数据发现：每天销售A品牌大米的质量与每千克售价x（元）满足一次函数关系．
(1)请求出y与x的函数关系式；
(2)当每千克售价定为多少元时，开心超市销售A品牌大米每天获得的利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)
(2)当每千克售价定为8元时，开心超市销售A品牌大米每天获得的利润最大，最大利润为3200元
【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的应用；
（1）根据题意利用待定系数法求函数关系式即可；
（2）设开心超市销售A品牌大米每天获利W元，根据题意列出W关于x的函数关系式；再根据自变量的取值确定函数的最值即可；
准确列出函数关系式以及掌握函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设，
由题意得，
解得：
则y与x的函数关系式；，
（2）设开心超市销售A品牌大米每天获利W元
根据题意可得：，
即，
，对称轴为直线，
当时，W随x的增大而增大，
又，
时，（元）
答：当每千克售价定为8元时，开心超市销售A品牌大米每天获得的利润最大，最大利润为3200元．
7．我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规定甲产品每天至少生产20件．设每天安排人生产乙产品．
(1)根据信息填表：
(2)为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？
【答案】(1)见解析
(2)安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，列代数式，正确理解题意列出W关于x的二次函数关系式是解题的关键．
（1）先求出每天安排人生产甲产品，再根据每人每天生产2件甲产品求出每天生产甲产品的数量，据此填表即可；
（2）设每天的生产总成本为W元，根据成本生产数量每件的生产成本列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据信息填表：
故答案为：，；
（2）解：设总成本为W元，根据题意得，
，
∵甲产品每天至少生产20件，
∴，
解得：，
，
当时，元，
∴安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元．
易错点八：系数符号位置，没有分类讨论
易错提醒：含参最值问题中，系数的符号不知道，函数的增减性就不清楚，故最值位置需分类讨论
例15．已知一次函数，其中．
(1)若点在y的图象上，求k的值．
(2)当时，若函数有最大值9，求y的函数表达式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了一次函数图象上的点，一次函数的性质；
（1）将点代入关系式，求出，即可求解；
（2）①当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解；②当时，即：，利用一次函数的增减性得当时，，将此代入即可求解；
掌握一次函数的性质中的增减性，并利用其确定取得最值的条件是解题的关键．
【详解】（1）解：点在的图象上，
，
解得：；
故答案为：；
（2）解：①当时，即：，
当时，函数的最大值为9，
当时，，
，
解得：，
一次函数解析式为；
②当时，即：，
当时，函数的最大值为9，
当时，，
，
解得：，
一次函数解析式为；
综上所述：一次函数解析式为或；
例16．已知二次函数．
（1）若抛物线经过点，则 ．
（2）若当时，其对应的函数值的最小值为4，则 ．
【答案】 3 0或4/4或0
【分析】本题考查二次函数图象及性质．
（1）根据题意先将点代入中即可求出的值；
（2）根据给定的，分情况讨论最小值情况即可求出本题答案．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点，
∴将点代入中得：，
∴；
（2）∵当时，其对应的函数值的最小值为4，
①当处取得最小值，则，解得：或，
∵抛物线对称轴是，当时，即对称轴为与讨论情况矛盾，故舍去，
∴；
②当处取得最小值，则，解得：或，
∵抛物线对称轴是，当时，即对称轴为与讨论情况矛盾，故舍去，
∴；
③当对称轴取得最小值，
∵，
∴对称轴为：，此时，
∴此种情况舍去，
故答案为：0或4．
变式1．若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（ ）
A．k的值为2或－2B．的值随的增大而减小
C．k的值为1或－1D．在的范围内，的最大值为
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：当时，
当时，
当时，随的增大而增大
则由题意可得：
此时在的范围内，的最大值为
当时，随的增大而减小
则由题意可得：
此时在的范围内，的最大值为
故选：．
变式2．已知一次函数（为常数且）．
（1）若该一次函数图象经过点，则 ；
（2）当时，函数有最大值，则的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
（1）把点代入一次函数的表达式中，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当时，当时，结合一次函数的增减性，即可求解．
【详解】（1）把点代入一次函数的表达式中，
得：，
解得：；
（2）当时，随增大而增大，则当时，有最大值，
，解得；
当时，随增大而减小，则当时，有最大值，
，解得．
综上所述，的值为或．
故答案为：；或．
变式3．若是非负数，且，的最大值为，最小值为，则的值是（ ）
A．B．10C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了求不等式组的解集，二次函数的性质，根据得出，将其代入，得出，再根据m和n为非负数，求出m的取值范围，最后根据二次函数的增减性，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是非负数，
∴，
解得：，
把代入得：，
设
∵，
∴当时，y的值随m的增大而增大，
∴当时，，即取最小值，
当时，，即取最大值，
∴，
故选：B．
变式4．已知抛物线．
(1)求出它的顶点坐标和对称轴；
(2)当时，有，求的值；
(3)当自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且，求m的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查二次函数的性质，
（1）将解析式化为顶点式即可；
（2）由题意得对称轴在范围内，最小值，根据给定范围x离对称轴的距离即可求得最大值，即可求得答案；
（3）抛物线对称轴与x取值范围分为4种情况，①时；②时；③时；④时，分别求得最大值和最小值求解即可．
【详解】（1）解：由抛物线，
则顶点坐标，对称轴；
（2）∵，且对称轴在范围内，
∴，
∵
∴，
则；
（3）由（1）知抛物线的对称轴为直线，
①当时，如图，
当时，，
当时，，
则，解得；
②当时，如图，
即，
当时，，
当时，，
则，解得(舍去)；
③当时，如图，
即，
当时，，
当时，，
则，解得(舍去)或(舍去)；
④当时，如图，
即，
当时，，
当时，，
则，解得；
综上所述，或．
1．在反比例函数中，当时，的最大值与最小值之差为4，则值为（ ）
A．8B．6或C．6D．5
【答案】B
【分析】根据反比例函数的增减性质，列一元一次方程解答即可．
【详解】解：当时，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值，则当时，y有最小值，
∴，解得；
当时，在每个象限内y随x的增大而增大，
∴设时，y有最小值，当时，有最大值，
∴，解得，
∴6或．
故答案为：6或．
【点睛】本题考查反比例函数的增减性、解一元一次方程等知识点，反比例函数的增减性，当时，在每个象限内y随x的增大而减小，当时，在每个象限内y随x的增大而增大．
2．已知，，对于任意，取与中较小的值，若当时有最大值，则 ．
【答案】或5
【分析】本题主要考查了不等式的应用，一次函数的性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质，注意进行分类讨论．分两种情况讨论，当，则，即时，当，则，即时，分别求出a的值即可．
【详解】解：当，则，
解得：，
即时，，
∵，
∴随x的增大而减小，
∴当时，m取最大值，即，
解得：，
当时，，符合题意；
当，则，
解得：，
即时，，
∵，
∴随x的增大而增大，
∴当时，m取最大值，即，
解得：，
当时，，符合题意；
综上分析可知，或．
故答案为：或．
3．已知函数，当其自变量的范围是时，其对应的函数值的最大值为，则的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，画出图象，分三种情况讨论即可得到值．
【详解】解：如图，函数，开口向上，对称轴为，

当时，，
解得，，
当时，即，随的增大而减小，
当时，取最大值，此时，
当时，随的增大而增大，
，，
当且时，此时没有最大值是．
综上分析，或．
故答案为：或．
4．已知反比例函数，当时，的最大值与最小值之差是4，则 ．
【答案】6或-6．
【分析】根据反比例函数的增减性质列解一元一次方程解答即可．
【详解】解：当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小，
∴设x=1时y=a，则当x=3时，y=a-4，
∴a=3（a-4），
解得a=6，
∴k=6；
当k0时，在每个象限内y随x的增大而减小，当k