2023-2024学年重庆市南川区三校联盟八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市南川区三校联盟八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若二次根式 x−1有意义，则x的取值范围为( )
A. x≥1B. x≥−1C. x≤1D. x≤−1
2.已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=∠CB. ∠A：∠B：∠C=1：2：3
C. a2=b2−c2D. a2=5，b2=12，c2=13
3.如图，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB/​/CD，AD=BC
B. AB=CD，AD=BC
C. ∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD
D. AO=CO，BO=DO
4.下列计算结果，正确的是( )
A. (−3)2=−3B. 2+ 5= 7C. 2 3− 3=1D. ( 5)2=5
5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=1.将AB边与数轴重合，点A，点B对应的数分别为−1和2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为( )
A. 3B. 10C. − 10−1D. 10−1
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB=25°，则∠AOB的大小是( )
A. 130°B. 65°C. 50°D. 25°
7.估计 2×(2 2+ 5)的值应在( )
A. 9和10之间B. 8和9之间C. 7和8之间D. 6和7之间
8.如图，在▱ABCD中，过对角线BD的中点O作MN⊥BD交AD、CB分别于M、N，E为BN中点，若∠OBN=30°，MN=8，则OE长为( )
A. 4B. 6C. 8D. 4 3
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别为AO、AB中点，若AE=1，AF=2，则BE的长为( )
A. 2 3
B. 3 3
C. 11
D. 13
10.有依次排列的一列式子： 1+112+122， 1+122+132， 1+132+142，小明对前两个式子进行操作时发现： 1+112+122=1+11×2=1+1−12， 1+122+132=1+12×3=1+12−13，根据操作，小明得出来下面几个结论：
① 1+132+142=1+13×4=1+13−14；
②对第n个式子进行操作可得 1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)=1+1n−1n+1；
③前10个式子之和为12011；
④如果前n个式子之和为n+45，那么n=4．
小明得出的结论中正确的有( )
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.( 2)2−(π−1)0= ______．
12.在平行四边形ABCD中，∠A=2∠B，则∠A= ______°.
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A(−2,1)，C(2,4)，点B在y轴上，则点B的坐标为______．
14.若最简二次根式 a+2与 3a−4可以合并，则a= ______．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，CD=3，AC=2，则BC的长为______．
16.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，点E是BC的中点，连结DE，且AB=6，AC=10，则DE=______．
17.若实数k使得关于x的分式方程1−kx−1−1=21−x有正整数解，且二次根式 k+1k−1有意义，则符合题意的整数k的和是______．
18.对于一个各个数位上的数字均不为0的三位自然数N，将N的各个数位上数字之和记为m，若N能被m整除，则称N是m的“整和数”，最小的“整和数”为______；若三位数A是15的“整和数”，a、b、c分别是数A中某个数位上的数字，在a、b、c任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F(A)，最小的两位数记为G(A)，若F(A)−G(A)15为整数，则满足条件的数A的最大值为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(−3)0+ 8+(−3)2−4× 22；
(2)( 3− 2)2−( 6+1)( 6−1)．
20.(本小题10分)
先化简，再求值：(a2a−b−2ab−b2a−b)÷a−bab，其中a= 3+1，b= 3−1．
21.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，AE平分∠BAO交BD于点E．
(1)用尺规完成基本作图：作∠ACD的角平分线交BD于点F，连接AF，EC；(保留作图痕迹，不写作法，不写结论)
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴AO=OC，AB//DC
∴ ______
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO
∴∠EAO=12∠BAO，∠FCO=12∠DCO
∴ ______
∵在△AEO和△CFO中
∠EAO=∠FCOAO=CO∠EOA=∠FOC
∴ ______
∴ ______
又∵AO=CO
∴四边形AECF是平行四边形
22.(本小题10分)
四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE=BF，AF=CE．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若DE=3，CF=1，EF=3，求四边形ABCD的周长．
23.(本小题10分)
如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江边的距离分别为2km和7km，且A、B两村相距13km．
(1)水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置；
(2)若铺设水管的费用为每千米4000元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省铺设水管的费用为多少元？
24.(本小题10分)
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若∠BAE=12∠EAD，求∠AOE的度数．
25.(本小题10分)
阅读下列材料并解决问题．
当a>0时，比如a=3，则|a|=|3|=3，此时a的绝对值是它本身；
当a=0时，|a|=|0|=0，此时a的绝对值是零；
当a<0时，比如a=−3，则|a|=|−3|=−(−3)=3，此时a的绝对值是它的相反数.由此可知：一个数的绝对值要分三种情况讨论，即：
|a|=a(a>0)0(a=0)−a(a<0)，
在此分析的过程中，主要渗透了数学分类讨论思想．
问题解决：
(1)请仿照上述分类讨论的方法，分析二次根式 a2的各种可能；
(2)猜想： a2与|a|的大小关系；
(3)当x满足什么条件时， (3x−1)2=( 1−3x)2．
26.(本小题10分)
如图，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC(或它们的延长线)于点M、N．
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，证明：MN=2BM．
(2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2)，求证：MN=BM+DN．
(3)当∠MAN绕点A旋转到如图3位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵二次根式 x−1有意义，
∴x−1≥0，
解得：x≥1．
故选：A．
根据二次根式的被开方数为非负数，可得出关于x的不等式，解出即可得出答案．
此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数，难度一般．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，故A不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×31+2+3=90°，
∴△ABC为直角三角形，故B不符合题意；
C、∵a2=b2−c2，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC为直角三角形，故C不符合题意；
D、∵a2=5，b2=12，c2=13，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、根据AB/​/CD，AD=BC，可能得出四边形ABCD可能是等腰梯形，不一定能推出四边形ABCD是平行四边形，
故本选项符合题意；
B、AB=CD，AD=BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形ABCD是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C、∵∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD，四边形内角和为360°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠ABC+∠BAD=180°，
∴AB/​/CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故本选项不符合题意；
D、AO=CO，BO=DO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形ABCD是平行四边形，
故本选项不符合题意；
故选：A．
根据平行四边形的判定方法逐个判断即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解： (−3)2=3，故选项A错误，不符合题意；
2+ 5不能合并，故选项B错误，不符合题意；
2 3− 3= 3，故选项C错误，不符合题意；
( 5)2=5，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵点A，点B对应的数分别为−1，2，
∴AB=3，
由勾股定理得，AC= 32+12= 10，
∴AD=AC= 10，
∴点D表示的数是− 10−1，
故选：C．
利用勾股定理求出AC的长，再根据数轴上点表示数的特征可得答案．
本题主要考查了勾股定理，实数与数轴等知识，求出AD的长是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=25°，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=25°+25°=50°，
故选：C．
由矩形的性质得OB=OC，再由等腰三角形的性质得∠OBC=∠ACB=25°，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解： 2×(2 2+ 5)=4+ 10，
∵9<10<16，
∴3< 10<4，
∴7<4+ 10<8．
故选：C．
先根据二次根式的运算法则进行计算，再对根式进行估算即可得出答案．
本题考查了二次根式的混合运算和估算无理数的取值范围，能估算出 10取值范围是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC/​/AD，
∴∠OBN=∠ODM，
∵O为BD的中点，
∴OB=OD，
在△OBN和△ODM中，
∠OBN=∠ODMOB=OD∠BON=∠DOM，
∴△OBN≌△ODM(ASA)，
∴ON=OM=12MN=12×8=4，
∵MN⊥BD于点O，
∴∠BON=90°，
∵∠OBN=30°，
∴BN=2ON=2×4=8，
∵E为BN中点，
∴OE=12BN=12×8=4，
故选：A．
由平行四边形的性质得BC/​/AD，则∠OBN=∠ODM，可证明△OBN≌△ODM，则ON=OM=12MN=4，由∠BON=90°，∠OBN=30°，得BN=2ON=2×4=8，而E为BN中点，则OE=12BN=4，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，证明△OBN≌△ODM是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是AB，AO的中点，AE=1，AF=2，
∴EF是△AOB的中位线，AE=OE=1，
∴EF/​/OB，OB=2EF，
∴AE⊥EF，
在Rt△AEF中，EF= AF2−AE2= 3，
∴OB=2EF=2 3，
在Rt△BOE中，BE= OB2+OE2= (2 3)2+12= 13，
故选：D．
据菱形的对角线互相垂直且平分，即可得AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，又由F，E分别是AB，AO的中点，AF=2，AE=2，根据勾股定理求得EF的值，再根据三角形中位线的性质，即可求得OB=2EF，在Rt△OBE中，求得BE= OB2+OE2即可．
此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质，掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质，勾股定理是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：根据规律可知 1+132+142=1+13×4=1+13−14， 1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)=1+1n−1n+1，故①②都正确；
前10个式子之和为1+1−12+1+12−13+1+13−14+……+1+110−111=12011，故③正确；
如果前n个式子之和为1+1−12+1+12−13+1+13−14+……1+1n−1n+1=n+1−1n+1=n+45，
则n=4，故④正确；
故选：D．
通过阅读题中给出的操作方法，总结出规律即可．
本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法则是关键．
11.【答案】1
【解析】解：( 2)2−(π−1)0
=2−1
=1；
故答案为：1．
根据算术平方根的性质和零指数幂的性质进行计算即可．
本题考查了算术平方根的性质和零指数幂，熟练掌握它们是解题的关键．
12.【答案】120
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，
又∵∠A=2∠B，
∴2∠B+∠B=180°，
解得：∠B=60°，
∴∠A=180°−60°=120°；
故答案为：120．
由平行四边形的性质得出∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，由已知条件求出∠B=60°，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等，邻角互补是解决问题的关键．
13.【答案】(0,5)
【解析】解：连接AC，
∵点A(−2,1)，C(2,4)，
∴AC= (−2−2)2+(1−4)2=5，
∵四边形ABCO是矩形，
∴OB=AC=5，
∴点B的坐标为(0,5)，
故答案为：(0,5)．
由两点距离公式可求AC的长，由矩形的性质可求OB=AC，即可求解．
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：由题意得，a+2=3a−4．
∴a=3．
故答案为：3．
根据同类二次根式、最简二次根式的定义解决此题．
本题主要考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握同类二次根式、最简二次根式的定义是解决本题的关键．
15.【答案】4 2
【解析】解：∵∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，
∴AB=2CD，
∵CD=3，
∴AB=6，
在Rt△ACB中，
由勾股定理得BC= AB2−AC2= 62−22=4 2．
故答案为：4 2．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出AB=2CD，求出AB，再根据勾股定理求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键．
16.【答案】2
【解析】解：延长BD交AC于F，
在△ADB和△ADF中，
∠BAD=∠FADAD=AD∠ADB=∠ADF，
∴△ADB≌△ADF(ASA)
∴AF=AB=6，BD=DF，
∴FC=AC−AF=4，
∵BD=DF，BE=EC，
∴DE=12FC=2，
故答案为：2．
延长BD交AC于F，证明△ADB≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AF=AB=6，BD=DF，求出FC，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
17.【答案】1
【解析】解：∵二次根式 k+1k−1有意义，
∴k−1≠0，k+1≥0．
∴k≠1且k≥−1．
1−kx−1−1=21−x，
去分母，得1−k−(x−1)=−2．
去括号，得1−k−x+1=−2．
移项，得x=4−k．
∵关于x的分式方程1−kx−1−1=21−x有正整数解，
∴4−k>0，且是正整数且4−k≠1．
∴−1≤k<4，k≠3且k≠1．
∵k是整数，
∴k=−1或0或2．
∴符合题意的整数k的和是−1+0+2=1．
故答案为：1．
根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、分式方程的解的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的解、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握分式方程的解的定义、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件是解决本题的关键．
18.【答案】111 825
【解析】解：∵三位自然数N的各个数位上的数字均不为0，
∴最小的“整和数”为：111；
∵三位数A是15的“整和数”，a、b、c分别是数A中某个数位上的数字，
∴a+b+c=15，且数A的个位数字必为5，
设c=5，则a+b=10，
令a≥b，F(A)−G(A)15
=10a+5−(10b+5)15
=10(a−b)15
=2(a−b)3，
∵F(A)−G(A)15为整数，
∴当a−b=0时，a=b=5，则A=555；
当a−b=3时，a=6.5，不符合题意；
当a−b=6时，a=8，b=2，则A=825或285；
当a−b=9时，a=9.5，不符合题意；
则满足条件的最大值为825．
故答案为：111，825．
(1)根据“整和数”的定义进行分析即可，再由题意可得a+b+c=15，则这个三位数的个位数字必为5，可设c=5，则a+b=10，再结合条件进行分析即可．
本题主要考查整式的加减，解答的关键是明确数A中的个位数字为5．
19.【答案】解：(1)(−3)0+ 8+(−3)2−4× 22
=1+2 2+9−2 2
=10；
(2)( 3− 2)2−( 6+1)( 6−1)
=( 3)2−2 3× 2+( 2)2−[( 6)2−12]
=3−2 6+2−(6−1)
=3−2 6+2−6+1
=−2 6．
【解析】(1)先计算零指数幂和化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求解即可；
(2)根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可．
本题考查二次根式的混合运算，实数的运算，零指数幂，熟知相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：
原式=a2−2ab+b2a−b⋅aba−b
=(a−b)2a−b⋅aba−b
=ab，
当a= 3+1，b= 3−1时，
原式=( 3+1)( 3−1)
=3−1
=2．
【解析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算．
根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案．
21.【答案】∠BAO=∠DCO ∠EAO=∠FCO △AEO≌△CFO(ASA) OE=OF
【解析】(1)解：图形如图所示：
(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，AB//DC，
∴∠BAO=∠DCO，
∵AE平分∠BAO，CF平分∠DCO，
∴∠EAO=12∠BAO，∠FCO=12∠DCO，
∴∠EAO=∠FCO，
∵在△AEO和△CFO中
∠EAO=∠FCOAO=CO∠EOA=∠FOC，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴OE=OF，
又∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：∠BAO=∠DCO，∠EAO=∠FCO，△AEO≌△CFO(ASA)，OE=OF．
(1)利用尺规作出图形即可；
(2)证明△AEO≌△CFO(ASA)，推出OE=OF，可得结论．
本题考查作图−基本作图，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
22.【答案】(1)证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠CED=∠AFB=90°，
在△ABF和△CDE中，
AF=CE∠AFB=∠CEDBF=DE，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，
∴AB=CD，∠BAF=∠DCE，
∴AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：∵CF=1，EF=3，
∴EC=CF+EF=4，
∵∠CED=90°，
∴CD= DE2+CE2= 32+42=5，
由(1)知：△ABF≌△CDE，
∴BF=DE=3，
∵BF⊥AC，
∴∠BFC=90°，
∴BC= BF2+CF2= 32+12= 10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，AD=BC= 10，
∴平行四边形ABCD的周长=2(CD+BC)=10+2 10．
【解析】(1)证△ABF≌△CDE(SAS)，得AB=CD，∠BAF=∠DCE，再证AB/​/CD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)由勾股定理得CD=5，BC= 10，再由平行四边形的性质得AB=CD=5，AD=BC= 10，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
23.【答案】解：(1)作点A关于河边所在直线的对称点A′，连接A′B交直线于P，
则点P为水泵站的位置，

此时，PA+PB的长度之和最短，即所铺设水管最短；
(2)过B点作l的垂线，过A′作l的平行线，
设这两线交于点C，则∠C=90°．
又过A作AE⊥BC于E，
依题意BE=5，AB=13，
∴AE2=AB2−BE2=132−52=144．
∴AE=12．
由平移关系，A′C=AE=12，
△BA′C中，∵BC=7+2=9，A′C=12，
∴A′B2=A′C2+BC2=92+122=225，
∴A′B=15．
∵PA=PA′，
∴PA+PB=A′B=15．
∴4000×15=60000(元)，
答：最节约铺设水管的费用为60000元．
【解析】(1)作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置；
(2)利用了轴对称的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质即可求解．
本题意考查最短路线问题；作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解答本题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵AE⊥BD，DF⊥AC，
∴∠AEO=∠DFO=90°，
在△AEO和△DFO中，
∠AEO=∠DFO∠AOE=∠DOFAE=DF，
∴△AEO≌△DFO(AAS)，
∴AO=DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=DO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)解：由(1)得：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°×13=30°，AO=BO，
∴∠OAB=∠ABE，
在直角三角形ABE中，∠ABE=90°−∠BAE=60°=∠OAB，
∴∠AOE=180°−∠OAB−∠ABE=60°．
【解析】(1)证△AEO≌△DFO(AAS)，得出OA=OD，则AC=BD，即可得出四边形ABCD是矩形．
(2)由矩形的性质得出∠ABC=∠BAD=90°，OA=OB，则∠OAB=∠OBA，然后在直角三角形ABE中，∠ABE=90°−∠BAE=60°=∠OAB，进一步解答即可．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
25.【答案】解：(1)当a>0时， a2=a；
当a=0时， a2= 0=0，
当a<0时， a2= (−a )2=−a，
即 a2=a(a>0)0(a=0)−a(a<0)；
(2) a2=|a|；
(3)∵ 1−3x有意义，
∴1−3x≥0，
∴ (3x−1)2=−(3x−1)=1−3x，
∵ (3x−1)2=( 1−3x)2，
∴( 1−3x)2=1−3x，
∴1−3x≥0，解得x≤13．
即当x满足x≤13时， (3x−1)2=( 1−3x)2．
【解析】(1)讨论：当a>0时，直接利用二次根式的性质得到 a2=a；当a=0时，利用零的算术平方根的定义得到 a2=0，当a<0时，先把 a2变形为 (−a )2，再根据二次根式性质化简；
(2)由题中结论和(1)中的结论可得 a2=|a|；
(3)先根据二次根式有意义的条件得1−3x≥0，所以 (3x−1)2=3x−1，则 (3x−1)2=1−3x，所以只要满足1−23x≥0即可．
本题考查了二次根式的性质与化简：灵活运用二次根式的性质是解决问题的关键．
26.【答案】(1)证明：如图1，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，
∴△ABE≌△ADN，
∴AE=ANM，∠ABE=∠D，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABE=∠ABC=90°，
∴点E、B、M三点共线．
∴∠EAM=90°−∠NAM=90°−45°=45°，
又∵∠NAM=45°，
在△AEM与△ANM中，
AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，
∴△AEM≌△ANM(SAS)，
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN，
∵BM=DN，
∴MN=2BM；
(2)证明：如图2，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，
∴△ABE≌△ADN，
∴AE=ANM，∠ABE=∠D，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABE=∠ABC=90°，
∴点E、B、M三点共线．
∴∠EAM=90°−∠NAM=90°−45°=45°，
又∵∠NAM=45°，
在△AEM与△ANM中，
AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，
∴△AEM≌△ANM(SAS)，
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；
(3)DN−BM=MN．
理由：如图3，在线段DN上截取DQ=BM，连接AQ，
在△ADQ与△ABM中，
AD=AB∠ADQ=∠ABMDQ=BM，
∴△ADQ≌△ABM(SAS)，
∴∠DAQ=∠BAM，
∴∠QAN=∠MAN．
在△AMN和△AQN中，
AQ=AM∠QAN=∠MANAN=AN，
∴△AMN≌△AQN(SAS)，
∴MN=QN，
∴DN−BM=MN．
【解析】(1)把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，证得B、E、M三点共线，即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN；
(2)证明方法与(1)类似；
(3)在线段DN上截取DQ=BM，判断出△ADQ≌△ABM，同(2)的方法，即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．