北京市陈经纶中学2023-2024学年高一下学期期中练习数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 在复平面内，复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的体积为
A. B. C. D.
3. 已知非零向量,不共线，且，则向量
A. B.
C. D.
4. 如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（ ）．
A. 5千米B. 千米C. 4千米D. 千米
5. 设为平面向量，则“存在实数，使得”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 如图，四棱锥的底面是梯形，，若平面平面，则
A. B. C. 与直线相交D. 与直线相交
7. 如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则（ ）
A B.
C D.
8. 在中，，则BC边上的中线长为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积.如图1，在一个棱长为的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为的平面为，记平面截牟合方盖所得截面的面积为，则函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 已知复数的实部和虚部相等，且，则__________.
12. 已知是两个不共线的单位向量，，若与共线，则__________.
13. 已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则____________.
14. 已知圆锥的底面面积为，其侧面展开图的圆心角为，则过该圆锥顶点做截面，截面三角形面积最大值为__________.
15. 已知单位向量的夹角为，且（其中).当时，__________；当时，的最小值是__________.
16. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4．E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，对于平面EFH截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论：
①截面面积等于；
②截面是一个五边形；
③直线PC与截面所在平面EFH无公共点．
其中，所有正确结论的序号是_____．
三、解答题共5小题，每小题14分，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．
（1）求角大小；
（2）求的面积．
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
19. 中，.
（1）求;
（2）除上述条件外，同时满足____________，求的值;
请从①，②，③中选择一个符合题意的条件，补充到上面问题中，并完成解答.
（3）求面积的最大值.
20. 如图，已知正方体的棱长为1，点是棱上的动点，是棱上一点，.
（1）求证：；
（2）若直线平面，试确定点的位置，并证明你的结论；
（3）设点在正方体的上底面上运动，求总能使与垂直的点所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）
21. 元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．
（1）设，解决下面问题：
①求；
②设与的夹角为，求；
（2）对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．