106，四川省乐山市2024届高三第二次调查研究考试文科数学试题

这是一份106，四川省乐山市2024届高三第二次调查研究考试文科数学试题，共21页。试卷主要包含了 已知数列满足，， 已知平面区域，则的最大值为， 已知函数，给出下列4个图象等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､座位号和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用并集、补集的定义求解即得.
【详解】由，，得，
而，所以.
故选：C
2. 复数，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的运算结合模长公式计算即可.
【详解】因为，
所以，
故选：D.
3. 某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A. 决定系数变小B. 残差平方和变小
C. 相关系数的值变小D. 解释变量与预报变量相关性变弱
【答案】B
【解析】
【分析】从图中分析得到去掉点后，回归效果更好，再由决定系数，残差平方和，相关系数和相关性的概念和性质作出判断.
【详解】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，
故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，
相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1，
即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强，
故A、C、D错误，B正确.
故选：B.
4. 已知，分别为的边，的中点，若，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的数乘运算，向量坐标与终点、始点的关系可解.
【详解】因为，分别为，的中点，
所以，
设，又，所以
即，解得.
故选：A

5. 已知数列满足，（），则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】列举出数列的前几项，即可找到规律，从而得解.
【详解】因为，，
所以，，
，，，
又，所以
故选：A
6. 已知平面区域，则的最大值为（ ）
A. 8B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】画出可行域，作直线，其中可视为直线在轴上的截距，当直线经过区域中的点时，直线在轴上的截距最小，此时取最大值.
【详解】如下图所示，不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分表示，
在直线方程，令，解得，
得点的坐标为，作直线，
其中可视为直线在轴上的截距，
当直线经过区域中的点时，
直线在轴上的截距最小，此时取最大值，
即.
故选：B.
7. 在区间随机取1个数，则使得的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据得出的区间长度，再求出总区间长度，利用几何概型公式求得答案.
【详解】因为，又，
所以，，，
即有时，成立，
.
在区间上随机取一个数，则使得的概率为.
故选：C.
8. 已知函数，则下列说法中，正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 在区间上单调递增
C. 的最小正周期为
D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】因为，
因为，所以，所以，故A错误；
当时，因为在上不单调，
所以在区间上不单调，故B错误；
的最小正周期，故C错误；
将的图象向右平移个单位得到
，故D正确.
故选：D
9. 如图，菱形的对角线与交于点，是的中位线，与交于点，已知是绕旋转过程中的一个图形﹐且平面.给出下列结论：
①平面；
②平面平面；
③“直线直线”始终不成立.
其中所有正确结论的序号为（ ）
A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】利用线面平行的判定判断①；利用面面垂直的判定推理判断②；举例说明判断③.
【详解】菱形的对角线与交于点，是的中位线，则，
而平面，平面，因此平面，①正确；
连接，由，得，而平面，
则平面，又平面，因此平面平面，②正确；
显然是二面角的平面角，由绕旋转过程中，
从逐渐减小到（不包含和），当时，，
平面，则平面，而平面，于是，③错误，
所以所有正确结论的序号为①②.
故选：B
10. 已知函数，给出下列4个图象：
其中，可以作为函数的大致图象的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】对的情况进行分类讨论，借助于导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象.
【详解】由题意知，定义域为，
当时，，由指数函数的单调性可知函数单调递增，可对应①；
当时，，令可得：，所以当时，，当时，，所以，函数先减后增，且当时，，此时可对应②；
当时，，当时，当时，，当时，，所以，函数先增后减，
当时，，且此时，所以可对应③，
当时，，此时，所以可对应④.
故选：D.
11. 已知，分别是双曲线（，）的左右焦点，若过的直线与圆相切，与在第一象限交于点，且轴，则的离心率为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，根据题意求得，又轴，可求得，利用，列式运算得解.
【详解】如图，设，圆的圆心为，半径为，
过点的直线与圆相切于点，则，，
，则，所以，
因为轴，所以易得，，
化简得，即，解得，
.
故选：D.
12. 已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将所求拆分成，，，令，，，，且，可看作函数与，，的交点，通过函数单调性以及函数的增长速度结合零点存在性定理可比较出的大小.
【详解】解：可变形为：，可变形为：，可变形为：，
令，，，，且，
可知分别为函数与，，的交点横坐标，
当时，单调递增且，，
，，这三个函数全部单调递减，且，，，，
由零点存在性定理可知：，所以只需判断，，这三个函数的单调性，在范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大，
由图象可知，下降速度最慢，所以最大，
，，时，，所以交点，
故选：B

【点睛】关键点点睛：将等式变形为函数交点的问题，通过比较函数增长的快慢来求解.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数.则的值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】先求的值，结合所求结果的符号，再代入解析式求得.
【详解】，
.
故答案为：.
14. 已知，则曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导数，再根据导数的几何意义求出切线方程.
【详解】由求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
故答案为：
15. 已知数列的前项和为，且，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用累加法求出数列通项，再分组求和即可得解.
【详解】数列中，由，得当时，，
则，
显然满足上式，因此，
所以.
故答案为：
16. 一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为________.
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径为，高为，分圆锥顶点与底面在球心的异侧和同侧两种情况讨论，由图可得，得结合不等式求最大值.
【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的体积为，
当圆锥顶点与底面在球心的同侧时，有，，
，
，
当且仅当，即时等号成立，又，所以等号不成立.
当圆锥顶点与底面在球心的异侧时，，，
，
，当且仅当，即时等号成立.
此时，即.
所以当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：由题意可知圆锥顶点与球心在底面同侧或异侧，设圆锥的底面半径为，高为，根据图形关系可得，则可转化为，利用基本不等式求最值，注意取等号条件是否成立.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生依据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 某校在课外活动期间设置了文化艺术类活动和体育锻炼类活动，为了解学生对这两类活动的参与情况，统计了如下数据：
（1）通过计算判断，有没有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关系？
（2）为收集学生对课外活动建议，在参加文化艺术类活动的学生中按性别用分层抽样的方法抽取了名同学.若在这名同学中随机抽取名，求所抽取的名同学中至少有名女生的概率.
附表及公式：
其中，.
【答案】（1）有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关
（2）
【解析】
【分析】（1）根据表格计算得到，对比临界值表可得结论；
（2）根据分层抽样原则可得男女生人数，由古典概型和对立事件概率公式可求得结果.
【小问1详解】
由表格数据可得：，
有的把握认为该校学生所选择课外活动的类别与性别有关.
小问2详解】
抽取的名同学中，男生有人，女生有人，
记事件为“抽取的名同学中至少有名女生”，
则，，
即抽取的名同学中至少有名女生的概率为.
18. 如图，在三棱锥中，为边上的一点，，，，.
（1）证明：平面；
（2）设点为边的中点，试判断三棱锥的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由，，，求得AC，进而求得AM，然后利用余弦定理求得BM，从而得到，进而得到，然后利用线面垂直的判定定理证明；
（2）根据点为边的中点，得到，从而有，由平面，得到平面平面，得到点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，再根据为定值，由高最大时，体积最大求解.
【小问1详解】
解：因为，，，
所以，由射影定理得，
所以，由余弦定理得，
所以，则，即，
又因为，，
所以平面；
【小问2详解】
因为点为边的中点，
所以，又，
所以，
因为平面，所以平面平面，
所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h，
因为为定值，
当h最大时，所以三棱锥的体积最大，
而，则，
当h=1时，.
19. 已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若是的角平分线，，的面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换求解角度即可.
（2）利用三角形的面积公式和余弦定理列出方程，求解即可.
【小问1详解】
由及正弦定理得，，
所以，因为，
所以，又，所以
【小问2详解】
由，得，
又，
所以，
由余弦定理得
所以.
20. 在直角坐标系中，设为抛物线（）的焦点，为上位于第一象限内一点.当时，的面积为1.
（1）求的方程；
（2）当时，如果直线与抛物线交于，两点，直线，的斜率满足.证明直线是恒过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）
（2）恒过定点
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，设，代入抛物线方程求得，由，求得的值，得解；
（2）由已知条件求出点的坐标为，设，，，与抛物线联立可得，，结合化简可得，进而即得.
【小问1详解】
由，所以，设，，
，
，解得，
所以抛物线方程为.
【小问2详解】
如图，设，，，，
，解得，
所以点的坐标为.
由题意直线的斜率不为0，设，，，
联立，消去整理得，
则，，，
因为，所以，
即，整理得，
将，代入上式，
，满足，
所以直线为，恒过定点.
【点睛】关键点睛：第二问，由题意直线的斜率不为0，关键是设直线方程为，再与抛物线联立求解，这种设法有利于简化运算.
21. 已知函数.
（1）若存在极值，求的取值范围；
（2）若，，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求函数的导函数，分、两种情况讨论，即可得到函数的单调性，从而得到函数的极值点，即可得解；
（2）依题意即证明在时恒成立，设，，利用导数说明函数的单调性，即可得证.
【小问1详解】
由，，得，
当时，，则单调递增，不存极值；
当时，令，则，
当，则，即在上单调递减，
当，则，即在上单调递增.
所以是的极小值点，
所以当时，存在极值，
综上所述，存在极值时，的取值范围是.
【小问2详解】
欲证不等式在时恒成立，
只需证明在时恒成立.
设，，
则，
令，，
则.
当时，，所以，
所以即在上单调递增，
所以，
因为，所以，
故，所以在上单调递增，
所以，
即当，时，不等式恒成立.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修：坐标系与参数方程]（10分）
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设直线与轴相交于点，动点在上，点满足，点的轨迹为，试判断曲线与曲线是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.
【答案】（1）C的普通方程为，l直角坐标方程为.
（2）存在，坐标为
【解析】
【分析】（1）首先分析题意，进行消参，化简参数方程，结合极坐标与直角坐标的互化求解即可.
（2）设出所求点的坐标，求出其轨迹的参数方程，再进行消参，得出轨迹的直角坐标方程，利用圆与圆的位置关系判断其有公共点，联立求解即可.
【小问1详解】
由题设曲线的参数方程，消参得，
由，且得，，化简得，
C的普通方程为，l直角坐标方程为.
【小问2详解】
当时，，易知，设，
可得，（a是参数），
消参得方程为且，
则圆心距离得，
则两圆相交，故两圆存公共点，联立方程组，
解得或，故坐标为.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知，，均为正数，且.
（1）是否存在，，，使得，说明理由；
（2）证明：.
【答案】（1）不存在，理由见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意可得，则，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可说明；
（2）将平方，再利用基本不等式计算可得.
【小问1详解】
不存在，，，使得.理由如下：
因为，，都是正数，且，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为，
所以不存在，，，使得.
【小问2详解】
因为
，当且仅当时等号成立，
所以.
文化艺术类
体育锻炼类
合计
男
女
合计