山东省淄博市高青县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 两组对边分别平行B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直D. 两组对角分别相等
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若是方程的根，则代数式的值为( )
A. 1B. 2024C. 2025D.
4. 如图，在矩形中，对角线交于点O，，，则的长是（ ）
A. 4B. 2C. D.
5. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A. B. C. 1D.
6. 把方程化为的形式，则的值是（ ）
A 7B. 3C. 5D.
7. 如图，矩形中，，．点在边上，点在边上，点在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（ ）
A. B. 6C. D.
8. 对于有理数、，定义的含义为：当时，，例如：.已知，，且和为两个连续正整数，则的立方根为（ ）
A. B. C. D.
9. 若，且一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
10. 如图，在正方形中，点E，F分别在，上，满足，连接，，点P，Q分别是，中点，连接．若．则可以用α表示为（ ）
A. αB. C. D.
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11. 若与最简二次根式可以合并，则______．
12. 如图，菱形的对角线交点是坐标原点，已知点，则点的坐标为__________．
13. 已知m，n是的两个根，则______．
14. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为______．
15. 如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，垂足分别为点F，G，则__________．
三、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的解答过程．）
16. 计算：
（1）；
（2）．
17. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）求证：．
（2）若，试证明四边形是菱形．
18. 计算：
（1）（公式法）；
（2）．
19. 一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．
（1）求证：AFCE；
（2）当∠BAC＝ 度时，四边形AECF菱形？说明理由．
20. 已知关于x一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程根．
21. 【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
∵，
．
∴，即．
∴．
∴．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：______；
（2）计算：______；
（3）若，求的值．
22. 如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接．
（1）连接是等边三角形吗？为什么？
（2）求证：；
（3）①当M点在何处时，的值最小；
②如图②，当M点在何处时，的值最小，请你画出图形，并说明理由．
23. 如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ＝x cm(x≠0)，则AP＝2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2 cm，
(1)当x为何值时，点P，N重合；
(2)当x为何值是，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．