山东省济南市章丘四中、章丘一中初中部直升班联考2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题

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1. 下列各运算中，计算正确的是（ ）
A. a2+2a2＝3a4B. b10÷b2＝b5
C. （m+n）2＝m2+n2D. （﹣2x2）3＝﹣8x6
【答案】D
【解析】
【分析】依据合并同类项，同底数幂相除，完全平方公式，积的乘方的运算法则可进行判断．
【详解】解：A．根据合并同类项的法则可知a2+2a2＝3a2，不符合题意；
B．根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减“的运算法则可知，不符合题意；
C．根据完全平方公式可得，不符合题意；
D．根据“积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘“，可得，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂相除，完全平方公式，积的乘方的运算法则，熟记运算法则是解题关键．
2. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A. 15B. 12C. 12或15D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：若3为腰长，6为底边长，
由于，则三角形不存在；
若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形周长为．
故选：A
3. 声音在空气中传播的速度（简称声速）与空气温度t的关系（如下表所示），则下列说法错误的是（ ）
A. 温度越高，声速越快
B. 在这个变化过程中，自变量是声速，因变量是温度
C. 当空气温度为20，声速为342
D. 声速与温度之间的关系式为
【答案】B
【解析】
【分析】根据表格中信息可判断选项A、C；根据自变量、因变量的定义判断选项B；设声速与温度之间的关系式为，利用待定系数法求得声速与温度之间的关系式，即可判断选项D．
【详解】解：由表格可知，温度越高，声速越快，故选项A正确，不符合题意；
在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，故选项B错误，符合题意；
由表格可知，当空气温度为20，声速为342，故选项C正确，不符合题意；
设声速与温度之间的关系式为，则有，解得，即声速与温度之间的关系式为，故选项D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、函数的表达方式、自变量和因变量的定义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
4. 如图，AB＝AD，∠B＝∠DAE，下列选项（ ）不可判定△ABC≌△ADE
A. AC＝DEB. BC＝AEC. ∠C＝∠ED. ∠BAC＝∠ADE
【答案】A
【解析】
【分析】结合题意，根据全等三角形的判定性质，对各个选项逐一分析，即可得到答案．
【详解】∵AC＝DE，不构成△ABC≌△ADE的条件
∴A符合题意；
∵BC＝AE，
∴△ABC和△ADE中

∴
∴B不符合题意；
∵∠C＝∠E
△ABC和△ADE中

∴
∴C不符合题意；
∠BAC＝∠ADE，
△ABC和△ADE中

∴
∴D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定性质，从而完成求解．
5. 如图，对于下列条件：①；②；③；④，其中一定能得到的条件有（ ）
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：，
，不能判断出，故①不符合题意；
，
，故②符合题意；
，
，故③符合题意；
，
，不能判断出，故④不符合题意；
综上所述，②③能得到，
故选：B．
6. 若的结果中不含项，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，由题可得含的平方的项的系数为，求出即可．
【详解】解：

，
的结果中不含项，
，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键．
7. 已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( )
A. 2a＋2b－2cB. 2a＋2bC. 2cD. 0
【答案】D
【解析】
【详解】∵a、b、c为△ABC的三条边长，
∴a+b-c＞0，c-a-b＜0，
∴原式=a+b-c+（c-a-b）
=0．
故选：D．
【点睛】考点：三角形三边关系．
8. 如图，直线，点是上一点，的角平分线交于点，若，，则的大小为（ ）
A. 136°B. 148°C. 146°D. 138°
【答案】B
【解析】
【分析】作辅助线，构建三角形，根据平行线的性质可得∠MAB=∠BAC=64°，根据三角形外角的性质可得结论．
【详解】解：延长QC交AB于D，
∵MN∥PQ，
∴∠2+∠MAB=180°，
∵∠2=116°，
∴∠MAB=180°-116°=64°，
∵AB平分∠MAC，
∴∠MAB=∠BAC=64°，
△BDQ中，∠BDQ=∠2-∠1=116°-20°=96°，
∴∠ADC=180°-96°=84°，
△ADC中，∠3=∠BAC+∠ADC=64°+84°=148°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质的综合应用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
9. 如图，是的中线，是的中线，是的中线，若，则等于（ ）

A. 16B. 14C. 12D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中线与三角形的面积关系，关键是掌握三角形中线把三角形面积平分．
10. 已知：如图，在，中，，，，点C，，三点在同一条直线上，连接，，以下四个结论：；；；．其中结论正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，根据全等三角形的判定与性质逐一判断即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∴，故正确；
，
∴，故正确，
因此：都正确，结论正确个数有个，
故选：．
二．填空题（共6小题，每题4分，共24分）
11. 计算：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】逆用同底数幂的乘法，积的乘方计算即可，本题考查了幂的计算，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】
，
故答案为：．
12. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的运算，根据，结合题意即可得出结果．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
13. 如图，漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位与时间满足某种确定的关系，下表是小明记录的部分数据，
则当h为时，对应的时间t为________．

【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，代入，即可求解．
【详解】解：由题意可得，时间每增加，增加，则水位与时间满足，
即，
将代入可得，，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了函数关系式，解题的关键是根据题意得到．
14. 如果多项式是一个完全平方式，则m的值是_____．
【答案】7或
【解析】
【分析】本题考查了求完全平方式中的字母，根据完全平方式得出，求出即可．
【详解】解：多项式是一个完全平方式，
，
解得：或，
故答案为：7或．
15. 如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的_______度
【答案】102
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，进而根据图，折叠的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：四边形是长方形，
，
，
在图中，，处重叠了2层，
在图中，，处重叠了3层，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
16. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，，
∵，
∴①当，时，，
此时，
解得，
∴，
此时，点Q的运动速度为厘米/秒；
②当，时，，
此时，，
解得，
∴点Q的运动速度为厘米/秒；
综上所述，点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．
三．解答题（共10小题）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1 （2）4
【解析】
【分析】（1）先计算乘方，再化简绝对值，最后加减；
（2）把化为，利用平方差公式计算即可．
【小问1详解】
原式

；
【小问2详解】
原式

．
【点睛】此题主要考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
18 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，完全平方公式的运算，绝对值的非负性，先利用平方差公式，完全平方公式化简括号里的式子，再利用多项式除以单项式进行计算，根据非负性求出x，y的值，代入求解即可．
【详解】原式
，
，
，
∴原式．
19. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上．

（1）画出边上的中线和边上的高线，并标出和的位置；
（2）的面积是________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的中线和高的定义，结合网格的特点作图即可；
（2）用包含长方形的面积减去四周小三角形的面积，计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：中，边上的中线和边上的高线，如图所示，
【小问2详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中线、高线，三角形的面积，熟练掌握网格的特点是解本题的关键．
20. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由得到，根据可得，又由，根据即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，根据题意找到证明全等需要的条件是解题的关键．
21. 规定新运算“”：，如：．
（1）求值；
（2）若，求x的值．
【答案】（1）8； （2）．
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．
（1）根据定义的新运算可得，然后进行计算即可解答；
（2）根据定义的新运算可得，从而可得，然后进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：由可得
．
【小问2详解】
解：由可得．
因为，
所以,
解得．
22. 如图，点在射线上，．点在射线上，，．
（1）求证：．
（2）试判断线段的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，可得结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在与中
，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
23. 阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①；
②；
③；
……
（1）【归纳】由此可得：________；
（2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：；
（3）【拓展】请运用上面的方法，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）；
【解析】
【分析】此题主要考查了平方差公式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键．
（1）利用已知得出式子变化规律，进而得出答案；
（2）利用（1）中变化规律进而得出答案；
（3）将转化为，再利用（2）中变化规律进而得出答案．
【小问1详解】
解：①；
②；
③；
……；
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
；
【小问3详解】
；
24. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．
（1）以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的括号里．
①甲到达终点 ②甲乙两人相遇 ③乙到达终点
（2）AB两地之间的路程为 千米：
（3）求甲、乙各自的速度；
（4）甲出发多长时间后，甲、乙两人相距180千米？
【答案】（1）P；②M；③N．
（2）240． （3）甲的速度是40千米/时，乙的速度是80千米/时．
（4）h或
【解析】
【分析】（1）甲到达终点时S应该最大，因为甲的速度小；甲乙两人相遇时S为0；乙到达终点时S不算最大，因为此时甲还没有到达终点．据此三点可得答案．
（2）（1）中S的最大值即为AB两地之间的路程．
（3）由（1）可得甲、乙的行驶时间，再根据速度=路程÷时间可以得到求解．
（4）根据路程差÷速度=时间差可以得解．
【小问1详解】
由分析可知P为甲到达终点时，M为甲乙两人相遇时，N为乙到达终点时．
故答案为：①P；②M；③N；
【小问2详解】
根据函数图象和图象中的数据可知甲、乙两人间的最大距离为240千米，所以AB两地之间路程为240千米．
故答案为：240；
【小问3详解】
由（1）可得甲、乙的行驶时间分别为6h和3h，
所以甲的速度是：240÷6=40 km/h，乙的速度是：240÷3=80km/h；
【小问4详解】
①相遇之前：（240﹣180）÷（40+80）=（小时）
②相遇之后：3+(180-120)÷40=（小时）．
故答案为： h或
【点睛】本题考查函数图象在实际问题中的应用，正确理解图象各点意义、熟练把握行程问题各量的等量关系是解题关键．
25. 阅读材料：若，求m，n的值．
解：∵．
∴，
∴，
∴，
解得
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若，则a＝________，b＝________；
（2）已知，求的值；
（3）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的周长．
【答案】（1）2，0 （2）
（3）7
【解析】
【分析】（1）利用配方法将三项配方成完全平方式的形式，利用非负数的性质求得a、b的值即可；
（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；
（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴解得：，
∴．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴的周长为．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，偶数次幂的非负性，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
26. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到的理由是________．
A. B. C. D.
（2）求得的取值范围是________．
A. B. C. D.
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，在四边形中，，的角平分线交于，连接，且平分，猜想①的度数；②、、的数量关系；说明理由．
【答案】（1）B （2）C
（3）①，理由见解析；②，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据，，，得出和全等即可；
（2）根据（1）得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据三角形三边关系，得出，求出即可；
（3）①根据平行线的性质，得出，再根据角平分线的定义，得出，，进而得出，再根据三角形的内角和定理，计算即可得出的度数；②延长交的延长线于点，根据①得出，进而得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据平行线的性质，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间数量关系，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵和中
，
∴，
故选：B；
【小问2详解】
解：∵由（1）知：，
∴，，
∵在中，，由三角形三边关系定理得：，
∴，
故选：C．
【小问3详解】
解：①，理由如下：
∵，
∴，
∵、分别是与的角平分线，
∴，，
∴，
∴；
②，理由如下：
如图，延长交的延长线于点，
∵由①可知：，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、平行线的性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．温度/℃
0
10
20
30
声速
318
324
330
336
342
348
……
1
2
3
5
……
……
3
……