黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高三第二次模拟考试数学试题

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高三第二次模拟考试数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题必须使用2B铅笔填涂，定义，已知双曲线C，已知a，，，，则，已知圆C，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

（本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、学生代号填写清楚。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在稿纸、试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”是真命题的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
3．已知方程在复数范围内有一根为，其中i为虚数单位，则复数在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知随机变量X，Y分别满足，，且期望，又，则（ ）
A．B．C．D．
5．密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫作1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“”，578密位写成“5-78”．若，则角α可取的值用密位制表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：．已知满足，则p可以是（ ）
A．23B．31C．32D．19
7．已知双曲线C：的左焦点为，直线与双曲线C交于P，Q两点，且，，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．2D．
8．已知a，，，，则（ ）
A．B．C．D．
二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知圆C：的圆心坐标为，则（ ）
A．，B．圆C的半径为2
C．圆C上的点到直线距离的最小值为D．圆C上的点到直线距离的最小值为
10．下列说法正确的是（ ）
A．若事件M，N互斥，，，则
B．若事件M，N相互独立，，，则
C．若，，，则
D．若， ，，则
11．已知函数，且，的最小正周期T，，则（ ）
A．B．C．为奇函数D．关于对称
12．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）
A．勒洛四面体最大的截面是正三角形
B．若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值为4
C．勒洛四面体ABCD的体积是
D．勒洛四面体ABCD内切球的半径是
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定位置上。
13．已知等比数列中，，，则________
14．设平面向量，的夹角为，且，则在上的投影向量是________
15．一组数据为148，150，151，153，153，154，155，156，156，158，163，165，则这组数据的第75百分位数是________
16．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容．例如，用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图）．
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好经过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和步骤3，就能得到越来越多的折痕．
圆面上所有这些折痕围成一条曲线，记为C．
现有半径为4的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸，在C上任取一点M，O为线段EF的中点，则的最小值为________
四．解答题：本题共6小题，满分70分（17题10分，18题至22题12分）。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
（1）求角C；
（2）若，D为BC中点，，求AD的长．
18．已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设数列满足
若对一切正整数k均成立，求实数m的最小值．
19．为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据，部分数据如下：
经计算得：，，，．
（1）利用最小二乘法估计建立y关于x的线性回归方程；
（2）该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致，
（i）求这两条直线的公共点坐标.
（ii）比较与的斜率大小，并证明；附：y关于x的线性回归方程中，
，，
20．已知函数
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）证明：函数在上有且只有一个零点．
21．在直角梯形中，，，，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点P，Q分别在线段，BC上，二面角的大小为θ．
（1）若，，，证明：平面；
（2）若，点P为上的动点，点Q为BC的中点，求PQ与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值．
22．已知椭圆C：，设过点的直线l交椭圆C于M，N两点，交直线于点P，点E为直线上不同于点A的任意一点．
（1）若，求b的取值范围；
（2）若，记直线EM，EN，EP的斜率分别为，，问是否存在，，的某种排列，，（其中），使得，，成等差数列或等比数列？若存在，写出结论，并加以证明；若不存在，说明理由．
哈尔滨市第九中学2023届高三第二次模拟考试
数学试卷答案
一．单选题DBBCBADA
二．多选题9．AC 10．ABC 11．BD 12．BD
三．填空题
13．8 14． 15．157 16．
四．解答题
17．（1）∴∴ 2分
∵ 3分
由正弦定理得∴，∴
∴ 4分，解得 5分
（2），，∴ 7分
由正弦定理得 8分，
在中，由余弦定理得，解得 10分
18．（1）∵，∴，∴ 2分
又∵，∴，
所以数列是首项，公比均为的等比数列 5分
（2）由（1）知， 8分
∴
10分
∵单调递增，时，，
∴，∴ 12分
19．（1）， 2分； 4分， 5分
故回归方程为 6分
（2）设，的斜率分别为，，
x关于y的线性回归方程为， 7分
， 8分
（i）注意到两条直线都过，且（注：此条件在（2）中哪个位置体现均给分），
故公共点只有一个 9分；
（ii）∵，，，，∴ 11分
若，则，即恒成立，代入表格一组数据得：
，矛盾，故 12分
20．（1）因为 1分
， 3分
所求切线方程为：，即 5分
（2）因为，所以分，，，
所以，所以 10分，
所以在上是减函数，且 11分
所以在上有且仅有一个零点 12分
21．（1）解法一：因为，所以，所以，
又，AB，面ABC，所以面ABC，
又面ABC，所以， 1分
如图，以A为原点，AB，AQ，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由于，所以，
则，， 2分
又，所以，则
，所以 3分
又y轴面，故为平面的法向量
，又面 4分，
所以面 5分
解法二：因为，所以，所以，由于
，，所以， 1分，
取AC上一点M，使，∵，
连接QM，MP，
∴，又∵面，面∴面 2分
过点作的平行线交AC于点N，
在中，，∴，∵∴
又∵面，面∴面 4分
又∵，∴面面，∵面
∴面 5分
（2）因为，所以，所以
如图，以A为原点，AB，AQ，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，设
6分
又x轴面，所以面的法向量
设PQ与面的成角为，
则 7分
所以当时，，即 8分
设此时平面APQ的法向量，，
∴ 10分，
11分，
因为二面角为锐角，即二面角的余弦值为，
所以PQ与面所成最大角的正切值为，
此时二面角的余弦值为 12分
22．（1）设点，其中，，则
2分
由，得 4分
∵，，∴，，∴即
只需，∴ 6分
（2），，或，，成等差数列．证明如下： 7分
若，则C：，设点，
①若直线l的斜率为0，则点，不妨令点，，则，，，
此时，，的任意排列均不构成等比数列，，，或，，成等差数列． 8分
②若直线l的斜率不为0，
设直线l：，，，易知点．
由得∴， 10分
因为，，，
所以
∴，，或，，成等差数列．
综上，，或，，成等差数列 12分x
…
2.7
3.6
3.2
…
y
…
57.8
64.7
62.6
…