甘肃省金昌市金川区龙门学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分，请把正确答案填到答题卡上）
1. 函数y＝中自变量x的取值范围是( )
A. x＞4B. x＜4C. x≥4D. x≤4
【答案】D
【解析】
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以4-x≥0，可求x的范围．
【详解】解：4-x≥0，
解得x≤4，
故选：D．
【点睛】此题考查函数自变量的取值，解题关键在于掌握当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，该选项符合题意；
B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
3. 下列曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
B．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
C．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合题意；
D．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数故本选项不符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了函数的基本概念，熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量是解题的关键．
4. 如图，边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的性质，结合坐标的意义即可求解．
【详解】解：∵边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，
∴
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，熟练掌握正方形的性质，数形结合是解题的关键．
5. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A. 20B. 15C. 10D. 5
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：：∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE=AC，同理 EF=BC，DF=AB，∴C△DEF=DE+EF+DF=（AC+BC+AB）=×20=10．
故选C．
考点：三角形的中位线定理
6. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）
A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 正方形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的的判定．如图，根据三角形的中位线得出，，进而得证平行四边形．
【详解】解：如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形，
故选：C．
7. 在中，、、的对边分别为a、b、c．下列条件中，不能说明是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，设，，，
则，故不是直角三角形；
B、∵，故是直角三角形；
C、∵，且，
∴，即，故是直角三角形；
D、∵，设，，，
则，解得，
∴，故是直角三角形；
故选：A．
【点睛】题考查了勾股定理的逆定理，及三角形内角和定理，熟记定理并应用是解题的关键．
8. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知AD＝10，BD＝14，AC＝8，则△OBC的周长为（ ）
A. 16B. 19C. 21D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出OA＝OC＝4，OB＝OD＝7，BC＝AD＝10，即可求出△OBC的周长．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝7，BC＝AD＝10，
∴△OBC的周长＝OB+OC+AD＝4+7+10＝21．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
9. 王老师在讲“实数”时画了一个图（如图），即“以数轴的单位长度的线段为边作一个正方形，然后以表示－1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”.则数轴上点A所表示的数是（ ）
A. －1B. －＋1C. D. －
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数-较小的数，便可求出-1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．
【详解】数轴上正方形的对角线长为：，由图中可知-1和A之间的距离为．
∴点A表示的数是-1．
故选A．
【点睛】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
10. 如图，菱形中，，，，垂足分别为B，D，若，（ ）
A. 4B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接交于O，则，，根据菱形的性质得到，，，求得，根据勾股定理得到，证明，得出，根据勾股定理得出，求得，进而可得出答案．
【详解】解：连接交于O，则，，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴；
∴，
∴，
∵
∴
∴，即，
∴，
∴，
故选：B
二、填空题（每小题3分，共18分．请将答案填入答题卡，否则不得分）
11. 命题“如果，那么与互为补角”的逆命题为______．
【答案】如果与互为补角，那么
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，把原命题的结论与条件互换作为命题的条件和结论即可得到答案．
【详解】解：命题“如果，那么与互为补角”的逆命题为如果与互为补角，那么．
故答案为：如果与互为补角，那么．
12. 已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】本题考查平行线之间的距离，关键是要分两种情况讨论．分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解．
【详解】解：
如图①，a与c之间的距离为；
如图②，a与c之间的距离为．
∴a与c之间的距离为或，
故答案为：或．
13. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，根据直角三角形斜边中线定理得出，求出，再根据三角形的外角性质求解，即可解题．
【详解】解：在中，是斜边上的中线，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14. 如图，在四边形中，，于点．请添加一个条件：______，使四边形成为菱形．

【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意，先证明四边形是平行四边形，根据，可得四边形成为菱形．
【详解】解：添加条件
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形成为菱形．
添加条件
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形成为菱形．
添加条件
∵，
∴
∵，，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形成为菱形．
添加条件
在与中，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形成为菱形．
故答案为：（或或等）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
15. 如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_____cm（杯壁厚度不计）．
【答案】20
【解析】
【详解】分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
详解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）．
故答案为20．
点睛：本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
16. 如图，矩形边沿折痕折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则等于______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查矩形与折叠，根据矩形的性质结合三角形的面积求出的长，勾股定理求出的长，进而得到的长，则可求出，设，则，
在中，由勾股定理得，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵矩形，
∴，，，，
∴的面积，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴
故答案为：．
三、解答题（本题共5小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式混合运算，正确计算是解题的关键：
（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
18. 如图所示，一架长为2.5米的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部B到墙的距离为0.7米．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到D，求梯子底部B向外移动的距离．
【答案】梯子底部B向外移动的距离为0.8米
【解析】
【分析】此题主要考查勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．由勾股定理先求的高度，即可求出的长度．从而可以求得，即可求．
【详解】在中，由勾股定理，得米，
（米）.
在中，由勾股定理，得米，
（米），
故梯子底部B向外移动的距离为0.8米．
19. 在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度（千米）与此高度处气温（℃）的关系．
根据上表，回答以下问题：
（1）写出气温与海拔高度的关系式；
（2）当气温-40℃时，其海拔高度是多少？
【答案】（1）
（2）10千米
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据,可以求得气温t与海拔高度h的关系式；
（2）将代入(1)中的函数关系式,即可得到h的值;
【小问1详解】
由表格中的数据可知，t与h符合一次函数关系，设t与h的函数关系式为，依题意得：
∴
∴；
【小问2详解】
当时，即，
解得．
答：海拔高度是10千米．
【点睛】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
20. 如图，某住宅小区在施工后留下了一块空地，已知米， 米，米，米，，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪．若草坪每平方米30元，则用该草坪铺满这块空地需花费多少元？

【答案】铺满这块空地共需花费元
【解析】
【分析】连接，在中利用勾股定理计算出长，再利用勾股定理逆定理证明，再利用可得草坪面积，然后再计算花费即可．
【详解】连接，

在中，米， 米，，
∴，
∵，
∴，
∴，
该区域面积（平方米），
铺满这块空地共需花费元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．
21. 如图，在中，．
（1）尺规作图：作边的垂直平分线，分别交、边于点、（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）100°
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）由可得，由垂直平分线段可得，即可求解；
【小问1详解】
如图，直线即为所求；
【小问2详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
四、解答题（本题共6小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
22. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC，
求证：四边形ABED是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明，题中已经给了一组平行的对边，只需要证明另一组对边平行即可．
【详解】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，能够根据题中所给的条件选择合适的判定方法时解决本题的关键．
23. 如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，．
（1）求证：是矩形；
（2）求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据矩形的判定即可得证；
（2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
是等边三角形，
，
，
是矩形；
（2）是等边三角形，，
，
，
由（1）已证：是矩形，
，
则在中，．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．
24. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．
求证：四边形正方形．
【答案】证明过程见解析
【解析】
【分析】菱形的两条对角线相互垂直且平分，再根据两条对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形即可证明四边形AECF是正方形．
【详解】证明：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，
又∵ BE=DF
∴ OB-BE=OD-DF
即OE=OF
∵OE=OA
∴OA=OC=OE=OF且AC=EF
又∵AC⊥EF
∴ 四边形DEBF是正方形．
【点睛】此题考查了菱形的性质和正方形的判定，解题的关键是掌握上述知识．
25. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】（1）证△AEF≌△DEC（AAS），得△AEF≌△DEC（AAS），再证四边形ADBF是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD=BD=BC，即可由菱形判定定理得出结论；
（2）连接DF交AB于O，由菱形面积公式S菱形ADBF==40，求得OD长，再由菱形性质得OA=OB，证得OD是三角形的中位线，由中位线性质求解可．
【小问1详解】
证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE
∵AFBC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴AF=BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∵D是BC的中点，
∴AD=BD=BC，
∴四边形ADBF是菱形；
【小问2详解】
解：连接DF交AB于O，如图
由（1）知：四边形ADBF是菱形，
∴AB⊥DF，OA=AB=×8=4， S菱形ADBF==40，
∴=40，
∴DF=10，
∴OD=5，
∵四边形ADBF是菱形，
∴O是AB的中点,
∵D是BC的中点，
∴OD是△BAC的中位线，
∴AC=2OD=2×5=10．
答：AC的长为10．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
26. 【规律探究题】观察下列运算：
①由，得；
②由，得；
……
问题：
（1）______；______；
（2）利用（1）中发现的规律计算：
．
【答案】（1）；（n正整数）
（2）2024
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
（1）根据已知算式得出规律即可；
（2）根据（1）中得出的规律进行变形，再根据二次根式的加法法则进行计算，最后根据平方差公式求出答案即可．
【小问1详解】
，
（n为正整数）
【小问2详解】
原式
27. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿CA方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是秒（）．过点作于点F，连接DE，EF．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）t=10； （3）当t=或12时，△DEF为直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由题意得∠BCA=30°，CD=4tcm，AE=2tcm，再由含30°角的直角三角形的性质得DF=DC=2tcm， 即可得到AE=DF；
（2）由AE=AD，得四边形AEFD为菱形，得2t=60-4t，进而求得t的值；
（3）分∠EDF=90°、∠DEF=90°两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可．
【小问1详解】
证明：由题意可知CD=4tcm，AE=2tcm，
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
∴DF=DC=2t cm．
∵AE=2t cm，DF=2t cm，
∴AE=DF．
【小问2详解】
解：∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴．
∵AE=DF，，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE=AD，
即2t=60-4t，
解得t=10，
∴当t=10时，四边形AEFD为菱形，
故答案为：10．
【小问3详解】
当∠EDF=90°时，如图①，
∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴，
∴四边形DFBE为矩形．
∴
∴AD=2AE，即60-4t=2t×2，
解得，t=，
当∠DEF=90°时，如图②，
∵，
∴DE⊥AC，
∴．
∴AE=2AD，即2t=2×（60-4t），
解得，t=12，
综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
海拔高度（千米）
0
1
2
3
4
5
…
气温（℃）
20
14
8
2
-4
-10
…