2024年高考第三次模拟考试题：数学（全国卷）（理科）（解析版）

这是一份2024年高考第三次模拟考试题：数学（全国卷）（理科）（解析版），共21页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，函数的部分图象大致为，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得或，
所以，
又，
所以.
故选：A
2．已知（，是虚数单位），若，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.
【详解】由题意知，，
所以，解得.
故选：C.
3．如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为是的边上的中线，
所以，所以
.
故选：C
4．已知函数的最小正周期为，直线是图象的一条对称轴，则的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据的最小正周期确定的值，根据函数的对称轴求出，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由于的图象是将的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，
且仅有单调递增区间，
故和的最小正周期相同，均为，
则，即，
又直线是图象的一条对称轴，则，
即，结合，得，
故，令，则，
即的单调递减区间为，
故选：B
5．已知直线过点交圆于两点，则“是直线的斜率为0”的（ ）
A．必要而不充分条件B．充分必要条件
C．充分而不必要条件D．即不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.
【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为，代入方程中，得，显然；
当直线的不存在斜率时，直线的方程为，代入方程中，得，显然，
因此是必要而不充分条件，
故选：A
6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）
A．24种B．54种C．96种D．120种
【答案】B
【分析】根据题意，分2种情况讨论：
①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，
②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．
【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，
分2种情况讨论：
①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
则一共有种不同的名次情况，
故选：B．
7．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD，再求出特殊点的函数值，得到答案.
【详解】定义域为，
且，
所以函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B、D．
又，故A错误.
故选：C．
8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面与半球底面之间的几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
分别求得面截圆锥时所得小圆锥的体积和平面与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.
【详解】平面截圆柱所得截面圆半径，
平面截圆锥时所得小圆锥的体积，
又平面与圆柱下底面之间的部分的体积为
根据祖暅原理可知：平面与半球底面之间的几何体体积.
故选：C.
9．已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】用定义证明函数的奇偶性及在上的单调性，利用函数的奇偶性及单调性，对数函数的性质及对数运算可得结果.
【详解】因为函数的定义域为，
又，所以为偶函数，
当时，任取，
，
即，所以在上为减函数，
因为，
所以，即，
设，则，
，若，则，所以，
因为，所以，
又，即，
所以，即，
故选：B.
10．已知数列满足，若，的所有可能取值构成集合，则中的元素的个数是（ ）
A．7个B．6个C．5个D．4个
【答案】B
【分析】
由，利用递推关系，分类讨论逆推出的不同取值，进而可得答案.
【详解】若，又，
根据上述运算法进行逆推，可得，，
所以或；
若，则或；
当时，或；
若时，或；
当，则或；
当时，；
当时，，
故时，的所有可能的取值集合
即集合中含有个元素．
故选：B
11．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】根据斜率及双曲线的对称性得为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出，由双曲线定义可得，从而得到离心率.
【详解】由题意，直线的斜率为，，又，
所以为等边三角形，故，，
在中，，则为锐角，
则，
，
由正弦定理，，
，
,
由，得，.
故答案选：.
12．已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于点对称
C．D．若，则
【答案】D
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.
【详解】解：对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误；
对于B，取，满足及，
因为，所以的图象不关于点对称，
所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，令，，代入已知等式得，
可得，结合得，，
再令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故C错误；
对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，
两式相加易得，所以有，
即：，
有：，
即：，所以为周期函数，且周期为3，
因为，所以，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知数列的前项和，当取最小值时， .
【答案】3
【分析】根据求得，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.
【详解】因为，则当时，，
又当时，，满足，故；
则，
又在单调递减，在单调递增；
故当时，取得最小值，也即时，取得最小值.
故答案为：.
14．若函数在上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得.
【详解】依题意，函数，由，得，
则或，
由，得，由在上恰有5个零点，
得，解得，
由，得，即函数在上单调递增，
因此，即，且，解得，
所以正实数的取值范围为.
故答案为：
15．已知，则 ．（用数字作答）
【答案】
【分析】根据条件，两边求导得到，再取，即可求出结果.
【详解】因为，
两边求导可得，
令，得到，即，
故答案为：.
16．已知定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是 .
①是奇函数 ②
③ ④时，
【答案】②③
【分析】
根据构造函数的规律由令，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.
【详解】令，则，
若是奇函数，则，取时，即，但，故①错误；
因为恒成立，且，所以恒成立，在上为单调递增函数，所以，故②正确；
由②可知，③正确；
因为在上为单调递增函数，所以当时有，所以，故④错误；
故答案为：②③
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知，垂直，其中，，为的内角．
(1)求的大小；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)；(2)4.
【详解】（1）由，垂直，得，分
即，
整理得，分
在中，由正弦定理得，分
由余弦定理得，所以的大小为分
（2）由（1）知，在中，，则，分
由，得，
即，分
当且仅当时取等号，分
因此的面积，分
所以的面积的最大值是分
18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：
(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成列联表，据此调查你是否有的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？
(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．
附：参考公式及附表
【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；
(2)
【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为，不关注流行语居民人数为，分
所以列联表如下：
的观测值，分
所以有的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”分
依题意，男居民选出（人），分
记为，女居民选出2人，记为，
从6人中任选3人的样本空间
，共20个，分
选出的3人为2男1女的事件，共12个，分
所以选出的3人为2男1女的概率分
19．（12分）在几何体中，底面是边长为2的正三角形．平面，若．
(1)求证：平面平面；
(2)是否在线段上存在一点，使得二面角的大小为．若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析(2)存在；
【详解】（1）证明：如图，设分别为边的中点，连接，..1分
因为平面，
所以，,进而，
即四边形为平行四边形，可得，分
在底面正三角形中，为边的中点，则，分
又平面，且平面，所以．
由于，且平面，所以平面．分
因为平面，则平面，
又平面，则平面平面．分
（2）如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则．
设点，则．分
设平面的法向量为，平面的法向量为．
由题意知即
令，则，即，分
即取，则，分
由，
，解得：，由于点为线段上一点，故，所以，分
当时，二面角所成角为锐角，即存在点满足，此时．分
20．（12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）求面积的最大值．
【答案】(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）点在椭圆上，且垂直于轴，则有
设椭圆的焦距为，则，分
点代入椭圆方程，有，
解得，则，
所以椭圆的方程为分
（2）（ⅰ）设直线l的方程为，由，
消去y，整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，
设，所以，分
因为直线和直线关于对称，
所以
所以
所以
解得分
所以直线l的方程为，
所以直线l过定点. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,分
（ⅱ）设直线l的方程为，由，
消去，整理得，
因为l交椭圆C于两点，所以，
解得，分
，
所以，
所以分
令
则，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为分
21．（12分）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为：，单调递减区间为：和；极大值，极小值；(2)
【详解】（1）当时，
分
令，解得或，分
所以的关系如下表：
所以函数的单调递增区间为：，单调递减区间为：和；分
极大值，极小值；分
（2）
分
令，其中，
设，
令，解得：，分
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，且当时，，
所以函数的值域为；分
又，
设，，则，
当时，，且等号不同时成立，即恒成立；
当时，，即恒成立，
所以在上单调递增，又，，
所以存在，使得，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，且分
当即时，恒成立，符合题意；
当即时，取，必有，不符合题意.
综上所述：的取值范围为分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程；
(2)设直线与轴相交于点，动点在上，点满足，点的轨迹为，试判断曲线与曲线是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.
【答案】(1)C的普通方程为，l直角坐标方程为.
(2)存在，坐标为
【详解】（1）由题设曲线的参数方程，消参得，分
由，且得，，化简得，分
C的普通方程为，l直角坐标方程为分
（2）当时，，易知，设，
可得，分（a是参数），
消参得方程为分
且，
则圆心距离得，
则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组，
解得或，故坐标为分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知.
(1)求的解集；
(2)记的最小值为，且，求证：.
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1），
当时，，解得，分
当时，，解得，分
当时，，解得，分
当时，，解得，分
综上所述，的解集为或分
由已知可得，所以当时，的最小值为
分
，，
当且仅当取等,分
令，则，
，
当且仅当取等，此时分参与调查问卷次数
参与调查问卷人数
8
14
8
14
10
6
男
女
合计
关注流行语
8
不关注流行语
合计
40
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
男
女
合计
关注流行语
30
8
38
不关注流行语
10
12
22
合计
40
20
60
单调递减
单调递增
单调递减