2024版高考数学微专题专练23正弦定理和余弦定理解三角形理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练23正弦定理和余弦定理解三角形理（附解析），共8页。

[基础强化]
一、选择题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝eq \r(2)，b＝eq \r(3)，B＝eq \f(π,3)，则A＝( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(5,6)π
C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,4)或eq \f(3,4)π
2．在△ABC中，b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是( )
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
3．[2022·安徽省江南十校一模]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(2b－eq \r(3)c)·csA＝eq \r(3)acsC，则角A的大小为( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3)D．eq \f(5π,12)
4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为( )
A．eq \f(1,2)B．1
C．eq \r(3)D．2
5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsinA＝3csinB，a＝3，csB＝eq \f(2,3)，则b＝( )
A．14B．6
C．eq \r(14)D．eq \r(6)
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcsC＋ccsB＝asinA，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
7．钝角三角形ABC的面积是eq \f(1,2)，AB＝1，BC＝eq \r(2)，则AC＝( )
A．5B．eq \r(5)
C．2D．1
8．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50eq \r(2)mB．50eq \r(3)m
C．25eq \r(2)mD．eq \f(25\r(2),2)m
9．[2022·陕西省西安中学模拟]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2＋c2－a2＝bc，bcsC＋ccsB＝2，则△ABC的面积的最大值为( )
A．1B．eq \r(3)
C．2D．2eq \r(3)
二、填空题
10．[2021·全国乙卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为eq \r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝____________．
11．[2022·安徽舒城中学模拟]托勒密(Ptlemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．
12．[2022·陕西省西安中学二模]△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C＝________．
[能力提升]
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2csC)＝2sinAcsC＋csAsinC，则下列等式成立的是( )
A．a＝2bB．b＝2a
C．A＝2BD．B＝2A
14．[2021·全国甲卷]2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B, C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(eq \r(3)≈1.732)( )
A.346B．373
C．446D．473
15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当eq \f(AC,AB)取得最小值时，BD＝________．
16．[2022·江西省临川模拟]已知在四边形ABCD中，AB＝7，BC＝13，CD＝AD，且csB＝eq \f(1,7)，∠BAD＝2∠BCD.则AD＝________．
专练23 正弦定理和余弦定理、解三角形
1．C 由正弦定理得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)，∴sinA＝eq \f(asinB,b)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，又a1，∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．A 由(2b－eq \r(3)c)csA＝eq \r(3)acsC得2bcsA＝eq \r(3)(acsC＋ccsA)，由正弦定理得
2sinBcsA＝eq \r(3)(sinAcsC＋sinCcsA)＝eq \r(3)sin (A＋C)＝eq \r(3)sinB，又sinB≠0，
得csA＝eq \f(\r(3),2)，A＝eq \f(π,6).
4．C 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccsA，又a2＝b2＋c2－bc，∴2csA＝1，csA＝eq \f(1,2)，∴sinA＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(\r(3),2)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
5．D ∵bsinA＝3csinB，由正弦定理得ab＝3bc，∴a＝3c，又a＝3，∴c＝1，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·csB＝9＋1－2×3×eq \f(2,3)＝6，
∴b＝eq \r(6).
6．B ∵bcsC＋ccsB＝asinA，∴sinBcsC＋sinCcsB＝sin2A，∴sinA＝1，又A为△ABC的内角，∴A＝90°，∴△ABC为直角三角形．
7．B ∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB×BC×sinB＝eq \f(\r(2),2)sinB＝eq \f(1,2)，∴sinB＝eq \f(\r(2),2)，若B＝45°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs45°＝1＋2－2×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝1，则AC＝1，则AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不合题意；当B＝135°时，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs135°＝1＋2＋2×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝5，∴AC＝eq \r(5).
8．A 由正弦定理得eq \f(AC,sinB)＝eq \f(AB,sinC)，
∴AB＝eq \f(AC·sinC,sinB)＝eq \f(50×\f(\r(2),2),sin（180°－45°－105°）)＝50eq \r(2).
9．B 在△ABC中，由余弦定理，b2＋c2－a2＝bc可化为csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3).
由余弦定理，bcsC＋ccsB＝2可化为beq \f(a2＋b2－c2,2ab)＋ceq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝2，解得：a＝2(a＝0舍去).
因为b2＋c2－a2＝bc，所以a2＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤4(当且仅当b＝c＝2时取等号).
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsinA≤eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
10．2eq \r(2)
解析：由题意得S△ABC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(\r(3),4)ac＝eq \r(3)，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accsB＝12－2×4×eq \f(1,2)＝8，则b＝2eq \r(2).
11．9eq \r(3)
解析：在△ABD中，设AB＝a，由余弦定理得
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cs∠BAD＝3a2，所以BD＝eq \r(3)a，
由托勒密定理可得a(BC＋CD)＝AC·eq \r(3)a，
即BC＋CD＝eq \r(3)AC，
又∠ABD＝∠ACD＝30°，
所以四边形ABCD的面积
S＝eq \f(1,2)BC·ACsin30°＋eq \f(1,2)CD·ACsin30°
＝eq \f(1,4)(BC＋CD)·AC＝eq \f(\r(3),4)AC2＝9eq \r(3).
12.eq \f(π,4)
解析：由余弦定理可得csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，所以a2＋b2－c2＝2abcsC，
△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(a2＋b2－c2,4)＝eq \f(2abcsC,4)，
所以sinC＝csC, 即tanC＝1，由0